Cho hình chữ nhật ABCD (AD < AB), O là giao điểm hai đường chéo

a) Xét tam giác DBE và tam giác CDE có:

\(\hat{BDE}=\hat{DCE}=90^{\circ}\)

\(\hat{E}\) chung

=> ∆ DBE ∽ ∆CDE (g.g)

b) Ta có: ∆ DBE ∽ ∆CDE (g.g)

=> \(\hat{DBE} =\hat{CDE}\) (2 góc tương ứng)

Xét tam giác BDC và tam giác DCH có:

\(\hat{BCD} =\hat{DHC}= 90^{\circ}\)

\(\hat{DBC} =\hat{CDH}\)

=> ∆ BDC ∽ ∆DCH (g.g)

=> \(\frac{BD}{DC}=\frac{DC}{CH}\)

=> DC² = CH.BD (đpcm)

c) Ta có BD và CH cùng vuông góc với DE

=> BD // CH

Xét tam giác DBE có CH // BD

=> \(\frac{EH}{ED}=\frac{CH}{BD}\) (Talet) (1)

Xét tam giác ODE có HK // DO

=> \(\frac{EH}{ED}=\frac{HK}{DO}\) (Talet) (2)

Từ (1) và (2) => \(\frac{HK}{DO}=\frac{HC}{DB}\)

=> \(\frac{HK}{HC}=\frac{DO}{DB}\) \(=\frac{1}{2}\)

=> HC = 2 HK

=> K là trung điểm HC

d) Gọi I là giao điểm của BH và DC

Xét tam giác BID có HC // BD

=> \(\frac{IH}{IB}=\frac{IC}{ID}=\frac{HC}{BD}\)

Mà KH = HC; OB = OD

=> \(\frac{IH}{IB}=\frac{HK}{BO}\) (*)

HC // BD => \(\hat{CHB}=\hat{DBH}\) (so le trong)

hay \(\hat{KHI}=\hat{OBI}\) (**)

Từ (*) (**) suy ra tam giác IBO ∽ tam giác IHK

=> \(\hat{KIH}=\hat{OIB}\)

=> O, I, K thẳng hàng

hay O, I, E thẳng hàng

Vậy BH, CD, OE đồng quy tại I