Tìm số nguyên tố p sao cho p+10 và p+14 là số nguyên tố

Bài 1:

\(A=1+3^2+3^4+3^6+...+3^{2008}\)

\(9A=3^2.A=3^2+3^4+3^6+...+3^{2008}+3^{2010}\)

=> \(8A=\left(3^2+3^4+3^6+...+3^{2008}+3^{2010}\right)-\left(1+3^2+3^4+3^6+...+3^{2008}\right)\)

=> \(8A=2^{2010}-1\)

\(B=8A-3^{2010}=3^{2010}-1-3^{2010}=-1\)

Bài 2:

\(2^x+2^{x+1}+2^{x+2}=960-2^{x+3}\)

\(2^x+2^x.2+2^x.2^2+2^x.2^3=960\)

\(2^x.\left(1+2+2^2+2^3\right)=960\)

\(2^x.15=960\)

\(2^x=64\)

\(2^x=2^6\)

x=6

Bài 3:

a) p = 2 => p + 10 = 12 là hợp số => loại

p = 3 => p + 10 = 13; p+ 14 = 17 đều là số nguyên tố => p = 3 thỏa mãn

Nếu p > 3 , p có thể có dạng

+ p = 3k + 1 => p + 14 = 3k + 15 chia hết cho 3 => loại p = 3k + 1

+ p = 3k + 2 => p + 10 = 3k + 12 là hợp số => loại p = 3k + 2

Vậy p = 3

b) 

Gọi ba số tự nhiên liên tiếp là a, a + 1, a + 2

Nếu a chia hết cho 3 thì bài toán được chứng minh

Nếu a không chia hết cho 3 thì a = 3k + 1 hoặc a = 3k + 2 (k ∈ N)

Nếu a = 3k + 1 thì a + 2 = 3k + 1 + 2 = 3k + 3 ⋮ 3

(vì 3k ⋮ 3 và 3 ⋮ 3 nên 3k + 3 ⋮ 3)

Nếu a = 3k + 2 thì a + 1 = 3k + 2 + 1 = 3k + 3 ⋮ 3

(vì 3k ⋮ 3 và 3 ⋮ 3 nên 3k + 3 ⋮ 3)

Vậy trong ba số tự nhiên liên tiếp, có một số chia hết cho 3

Bài 4:

Từ trang 3 đến trang 9 có tất cả :

( 9 -3 ) : 1 + 1 = 7 ( số có 1 chữ số )

Từ trang 10 đến trang 99 có tất cả :

( 99 - 10 ) : 1 + 1 = 90 ( số có 2 chữ số )

Từ trang 100 đến trang 132 có tất cả :

( 132 - 100 ) :1 + 1 = 33 ( số có 3 chữ số )

Vậy các chữ số phải dùng là :

1 x 7 + 90 x 2 + 33 x 3 = 286 ( chữ số )

Đáp số : 286 chữ số

Bài 5:

Ta có: \(\frac{1}{2^2}<\frac{1}{1.2};\ \frac{1}{3^2}<\frac{1}{2.3};\frac{1}{4^2}<\frac{1}{3.4};...;\ \frac{1}{n^2}<\frac{1}{\left(n-1\right).n}\)

=> \(M=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{n^2}<\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{\left(n-1\right).n}\)

=> \(M<1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\)

=> \(M<1-\frac{1}{n}<1\)

Vậy M<1