Cho a,b,c >0 và 1/a + 1/b + 1/c = 2024. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Do a, b > 0 nên ta có:

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge \frac{4}{a+b}$

$\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge \frac{4}{b+c}$

$\frac{1}{a}+\frac{1}{c}\ge \frac{4}{a+c}$

=> $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge 2(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c})(a,b,c>0)$ (1)

Áp dụng (1) ta được

$\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}\ge 2(\frac{1}{2a+b+c}+\frac{1}{a+2b+c}+\frac{1}{a+b+2c})(a,b,c>0)$ (2)

Áp dụng (1) và (2) ta được:

=> $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge 4(\frac{1}{2a+b+c}+\frac{1}{a+2b+c}+\frac{1}{a+b+2c})$

Mà theo đề bài có $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=2024$

=>$P=\frac{1}{2a+b+c}+\frac{1}{a+2b+c}+\frac{1}{a+b+2c}\le \frac{2024}{4}=506$

=> Suy ra GTLN của P = 506 khi a = b = c = $\frac{3}{2024}$

Do a, b > 0 nên ta có:

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge \frac{4}{a+b}$

$\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge \frac{4}{b+c}$

$\frac{1}{a}+\frac{1}{c}\ge \frac{4}{a+c}$

=> $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge 2(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c})(a,b,c>0)$ (1)

<=> $\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}\ge 2(\frac{1}{2a+b+c}+\frac{1}{a+2b+c}+\frac{1}{a+b+2c})(a,b,c>0)$ (2)

Từ (1) và (2) ta có:

=> $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge 4(\frac{1}{2a+b+c}+\frac{1}{a+2b+c}+\frac{1}{a+b+2c})$

Vì $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=2024$

=>$P=\frac{1}{2a+b+c}+\frac{1}{a+2b+c}+\frac{1}{a+b+2c}\le \frac{2024}{4}=506$

Suy ra GTLN của P = 506 khi và chỉ khi a = b = c = $\frac{3}{2024}$