Cho a,b,c >0 và 1/a + 1/b + 1/c = 2024. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Do a, b > 0 nên ta có:

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)

\(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{4}{b+c}\)

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{c}\ge\frac{4}{a+c}\)

=> \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge2\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}\right)\ \ \left(a,b,c>0\right)\) (1)

Áp dụng (1) ta được

\(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}\ge2\left(\frac{1}{2a+b+c}+\frac{1}{a+2b+c}+\frac{1}{a+b+2c}\right)\ \ \left(a,b,c>0\right)\) (2)

Áp dụng (1) và (2) ta được:

=> \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge 4\left(\frac{1}{2a+b+c}+\frac{1}{a+2b+c}+\frac{1}{a+b+2c}\right)\)

Mà theo đề bài có \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=2024\)

=>\(P=\frac{1}{2a+b+c}+\frac{1}{a+2b+c}+\frac{1}{a+b+2c}\le\frac{2024}{4}=506\)

=> Suy ra GTLN của P = 506 khi a = b = c = \(\frac{3}{2024}\)

Do a, b > 0 nên ta có:

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)

\(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{4}{b+c}\)

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{c}\ge\frac{4}{a+c}\)

=> \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge2\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}\right)\ \ \left(a,b,c>0\right)\) (1)

<=> \(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}\ge2\left(\frac{1}{2a+b+c}+\frac{1}{a+2b+c}+\frac{1}{a+b+2c}\right)\ \ \left(a,b,c>0\right)\) (2)

Từ (1) và (2) ta có:

=> \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge 4\left(\frac{1}{2a+b+c}+\frac{1}{a+2b+c}+\frac{1}{a+b+2c}\right)\)

Vì \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=2024\)

=>\(P=\frac{1}{2a+b+c}+\frac{1}{a+2b+c}+\frac{1}{a+b+2c}\le\frac{2024}{4}=506\)

Suy ra GTLN của P = 506 khi và chỉ khi a = b = c = \(\frac{3}{2024}\)

Cảm ơn nhé