Cách tính số phức liên hợp của số phức z

Tìm số phức liên hợp của số phức z Toán 12

VnDoc xin giới thiệu tới bạn đọc Công thức giải toán Số phức, nội dung tài liệu được cập nhật nhanh và chính xác nhất sẽ là nguồn thông tin hay để giúp các bạn học sinh học tốt hơn môn Toán 12 phục vụ cho kì thi THPT Quốc Gia. Chúc các bạn học tập tốt!

A. Kiến thức cần nhớ

- Cho số phức z = a + bi. Số phức liên hợp của số phức z là \(\overline z = a - bi\)

- Tính chất: Cho số phức \(z = a + bi,a,b \in \mathbb{R},{i^2} = - 1\)

· \(z = \overline z \Leftrightarrow\) Số phức z là số thực

· \(z = - \overline z \Leftrightarrow\) Số phức x là số thuần ảo

· \(\overline {{z_1} \pm {z_2}} = \overline {{z_1}} \pm \overline {{z_2}}\)

· \(\overline {{z_1}.{z_2}} = \overline {{z_1}} .\overline {{z_2}}\)

· \(\overline {\left( {\frac{{{z_1}}}{{{z_2}}}} \right)} = \frac{{\overline {{z_1}} }}{{\overline {{z_2}} }},\overline {{z_2}} \ne 0\)

B. Bài tập ví dụ minh họa

Bài tập 1: Cho số phức z = 2 – 3i. Số phức liên hợp của số phức z là:

A. \(\overline z = - 2 + 3i\)	B. \(\overline z = - 2 - 3i\)
C. \(\overline z = 3 + 2i\)	D. \(\overline z = 2 + 3i\)

Hướng dẫn giải

Số phức liên hợp của số phức z = a + bi là \(\overline z = a - bi\)

Suy ra số phức liên hợp của số phức z = 2 – 3i là \(\overline z = 2 + 3i\)

Đáp án C

Bài tập 2: Cho số phức \(z = \frac{{2 + 3i}}{{1 + i}}\). Tìm số phức liên hợp của số phức z:

A. \(\overline z = \frac{5}{2} + \frac{1}{2}i\)	B. \(\overline z = \frac{5}{2} - \frac{1}{2}i\)
C. \(\overline z = - \frac{5}{2} + \frac{1}{2}i\)	D. \(\overline z = - \frac{5}{2} - \frac{1}{2}i\)

Hướng dẫn giải

\(z = \frac{{2 + 3i}}{{1 + i}} = \frac{{\left( {2 + 3i} \right)\left( {1 - i} \right)}}{{\left( {1 + i} \right)\left( {1 - i} \right)}} = \frac{{2 - 2i + 3i - 3{i^2}}}{{{1^2} - {i^2}}} = \frac{{2 + i + 3}}{{1 + 1}} = \frac{{5 + i}}{2} = \frac{5}{2} + \frac{1}{2}i\)

Vậy số phức liên hợp của số phức z là \(\overline z = \frac{5}{2} - \frac{1}{2}i\)

Đáp án B

Bài tập 3: Tìm số phức liên hợp của số phức: \(z = \left( {1 + 2i} \right)\left( {3 - i} \right) + \frac{{ - 4 + i}}{{ - 1 + 2i}}\)

A. \(\overline z = \frac{{32}}{5} + \frac{{31}}{5}i\)	B. \(\overline z = - \frac{{31}}{5} - \frac{{32}}{5}i\)
C. \(\overline z = - \frac{{31}}{5} + \frac{{32}}{5}i\)	D. \(\overline z = \frac{{31}}{5} - \frac{{32}}{5}i\)

Hướng dẫn giải

\(\begin{matrix} z = \left( {1 + 2i} \right)\left( {3 - i} \right) + \dfrac{{ - 4 + i}}{{ - 1 + 2i}} \hfill \\ = 3 - i + 6i + 2 + \dfrac{{\left( { - 4 + i} \right)\left( { - 1 - 2i} \right)}}{{\left( { - 1 + 2i} \right)\left( { - 1 - 2i} \right)}} \hfill \\ = 3 + 5i + 2 + \dfrac{{4 + 8i - i + 2}}{{{{\left( { - 1} \right)}^2} - {{\left( {2i} \right)}^2}}} \hfill \\ = 5 + 5i + \dfrac{{6 + 7i}}{{1 + 4}} = 5 + 5i + \dfrac{{6 + 7i}}{5} \hfill \\ = \dfrac{{31}}{5} + \dfrac{{32}}{5}i \hfill \\ \end{matrix}\)

Vậy số phức liên hợp của số phức z là \(\overline z = \frac{{31}}{5} - \frac{{32}}{5}i\)

Đáp án D

Bài tập 4: Cho số phức z thỏa mãn phương trình: \(z + \left( {2 - 3i} \right)\overline z = - 5 + 8i\). Phần thực và phần ảo của số phức z lần lượt là:

A. \(\frac{{13}}{4};\frac{{ - 19}}{{12}}\)	B. \(- \frac{{13}}{4};\frac{{ - 19}}{{12}}\)
C. \(\frac{{13}}{4};\frac{{19}}{{12}}\)	D. \(\frac{{ - 13}}{4};\frac{{19}}{{12}}\)

Hướng dẫn giải

Gọi số phức z = a + bi suy ra số phức liên hợp là \(\overline z = a - bi\)

\(\begin{matrix} z + \left( {2 - 3i} \right)\overline z = - 5 + 8i \hfill \\ \Leftrightarrow \left( {a + bi} \right) + \left( {2 - 3i} \right)\left( {a - bi} \right) = - 5 + 8i \hfill \\ \Leftrightarrow a + bi + 2a - 2bi - 3ai - 3b = - 5 + 8i \hfill \\ \Leftrightarrow 3a - 3b - bi - 3ai = - 5 + 8i \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {3a - 3b = - 5} \\ { - b - 3a = 8} \end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a = - \dfrac{{13}}{4}} \\ {b = \dfrac{{ - 19}}{{12}}} \end{array}} \right.} \right. \hfill \\ \end{matrix}\)

Vậy số phức z là: \(z = - \frac{{13}}{4} - \frac{{19}}{{12}}i\)

Đáp án B

------------------------------------

Trên đây VnDoc.com đã giới thiệu tới bạn đọc tài liệu: Cách tính số phức liên hợp của số phức z. Để có kết quả cao hơn trong học tập, VnDoc xin giới thiệu tới các bạn học sinh tài liệu Toán lớp 12, Giải bài tập Hóa học lớp 12 mà VnDoc tổng hợp và đăng tải.