Chứng minh bất đẳng thức: a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca

Xét VT -VP = a^2 + b^2 +c^2 -ab -bc -ca

= 1/2 ( 2a^2 + 2b^2 + 2c^2 - 2ab -2bc -2ac )

=1/2 ( a^2 -2ab - b^2 ) (b^2 - 2bc + c^2 ) ( a^2 -2ac + c^2 )

=1/2 {( a - b )^2 ( b - c )^2 ( a - c )^2}

Vì 1/2 > 0

Và {( a - b )^2 ( b - c )^2 ( a - c )^2} >0

Thì 1/2 {( a - b )^2 ( b - c )^2 ( a - c )^2} > 0

=> a^2 + b^2 +c^2 > ab + bc +ca

xét hiệu a²+b²+c²-ab-ac-bc=.2(a²+b²+c²-ab-ac-bc)

=(2a²+2b²+2c²-2ab-2ac-2bc)

=[(a²-2ab+b²)+(a²-2ac+c²)+(b²-2bc+c²)]

=.[(a-b)²+(a-c)²+(b-c)²]

vì (a-b)²+(a-c)²+(b-c)²>=0

nên .[(a-b)²+(a-c)²+(b-c)²]>=0

hay a²+b²+c²-ab-ac-bc >=0<=> a²+b²+c²>=ab+ac+bc

Ok

xét hiệu a2+b2+c2-ab-ac-bc=\frac{1}{2}.2(a2+b2+c2-ab-ac-bc)

=\frac{1}{2}(2a2+2b2+2c2-2ab-2ac-2bc)

=\frac{1}{2}[(a2-2ab+b2)+(a2-2ac+c2)+(b2-2bc+c2)]

=\frac{1}{2}.[(a-b)2+(a-c)2+(b-c)2]

vì (a-b)2+(a-c)2+(b-c)2>=0

nên \frac{1}{2}.[(a-b)2+(a-c)2+(b-c)2]>=0

hay a2+b2+c2-ab-ac-bc >=0<=> a2+b2+c2>=ab+ac+bc

hay

a^2+b^2+c^2>=ab+bc+ca

<=>a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca>=0

<=>2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca>=0

<=>(a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)+<=><=>(c^2-2ac+a^2)>=0

<=>(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2>=0 ( luôn đúng)

pov bất đẳng thức cơ bản nhất trong toán chuyên