Cho ba số thực a, b, c dương thỏa mãn: a² + b² + c² = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Ta có:

\(\sqrt{1+8a^3}=\sqrt{\left(1+2a\right)\left(1-2a+4a^2\right)}\le\frac{1+2a+1-2a+4a^2}{2}=1+2a^2\)

=> \(\frac{1}{\sqrt{1+8a^3}}\ge\frac{1}{1+2a^2}\)

Tương tự \(\frac{1}{\sqrt{1+8b^3}}\ge\frac{1}{1+2b^2}\)

\(\frac{1}{\sqrt{1+8c^3}}\ge\frac{1}{1+2c^2}\)

=> \(A\ge\frac{1}{1+2a^2}+\frac{1}{1+2b^2}+\frac{1}{1+2c^2}\)

Mặt khác: \(\frac{1}{1+2a^2}=\frac{1}{1+2a^2}+\frac{1+2a^2}{9}-\frac{1+2a^2}{9}\ge2\sqrt{\frac{1}{1+2a^2}.\frac{1+2a^2}{9}}-\frac{1+2a^2}{9}=\frac{2}{3}-\frac{1}{9}-\frac{2a^2}{9}=\frac{5}{9}-\frac{2a^2}{9}\)

Tương tự \(\frac{1}{1+2b^2}\ge\frac{5}{9}-\frac{2b^2}{9}\)

\(\frac{1}{1+2c^2}\ge\frac{5}{9}-\frac{2c^2}{9}\)

=> \(A\ge\frac{5}{9}-\frac{2a^2}{9}+\frac{5}{9}-\frac{2b^2}{9}+\frac{5}{9}-\frac{2c^2}{9}=\frac{5}{3}-\frac{2}{9}\left(a^2+b^2+c^2\right)=\frac{5}{3}-\frac{2}{9}.3=1\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a^{2}+b^{2}+c^{2}=3 \\ 1+2a=1-2a+4a^{2} \\ \frac{1}{1+2a^{2}}=\frac{1+2a^{2}}{9} \end{matrix}\right.\) và vai trò của a,b,c là như nhau => a = b = c =1

Vậy A_min = 1 khi và chỉ khi a = b = c = 1

cảm ơn b nhé