Cho ba số thực a, b, c dương thỏa mãn: a² + b² + c² = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Ta có:

$\sqrt{1+8a^3}=\sqrt{(1+2a)(1-2a+4a^2)}\le \frac{1+2a+1-2a+4a^2}{2}=1+2a^2$

=> $\frac{1}{\sqrt{1+8a^3}}\ge \frac{1}{1+2a^2}$

Tương tự $\frac{1}{\sqrt{1+8b^3}}\ge \frac{1}{1+2b^2}$

$\frac{1}{\sqrt{1+8c^3}}\ge \frac{1}{1+2c^2}$

=> $A\ge \frac{1}{1+2a^2}+\frac{1}{1+2b^2}+\frac{1}{1+2c^2}$

Mặt khác: $\frac{1}{1+2a^2}=\frac{1}{1+2a^2}+\frac{1+2a^2}{9}-\frac{1+2a^2}{9}\ge 2\sqrt{\frac{1}{1+2a^2}.\frac{1+2a^2}{9}}-\frac{1+2a^2}{9}=\frac{2}{3}-\frac{1}{9}-\frac{2a^2}{9}=\frac{5}{9}-\frac{2a^2}{9}$

Tương tự $\frac{1}{1+2b^2}\ge \frac{5}{9}-\frac{2b^2}{9}$

$\frac{1}{1+2c^2}\ge \frac{5}{9}-\frac{2c^2}{9}$

=> $A\ge \frac{5}{9}-\frac{2a^2}{9}+\frac{5}{9}-\frac{2b^2}{9}+\frac{5}{9}-\frac{2c^2}{9}=\frac{5}{3}-\frac{2}{9}(a^2+b^2+c^2)=\frac{5}{3}-\frac{2}{9}.3=1$

Dấu "=" xảy ra $\iff \{\begin{array}{c}{a}^2+b^2+c^2=3\\ 1+2a=1-2a+4a^2\\ \frac{1}{1+2a^2}=\frac{1+2a^2}{9}\end{array}$ và vai trò của a,b,c là như nhau => a = b = c =1

Vậy A_min = 1 khi và chỉ khi a = b = c = 1