VnDoc.com Hỏi bài Toán học
Thu Huyền Toán học

Cho ba số thực a, b, c dương thỏa mãn: a² + b² + c² = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Đáp án bài tập sau

2
Xóa Đăng nhập để viết
2 Câu trả lời
  • Gia Kiet Hoang ...
    Gia Kiet Hoang ...

    Ta có:

    \sqrt{1+8a^3}=\sqrt{\left(1+2a\right)\left(1-2a+4a^2\right)}\le\frac{1+2a+1-2a+4a^2}{2}=1+2a^2

    => \frac{1}{\sqrt{1+8a^3}}\ge\frac{1}{1+2a^2}

    Tương tự \frac{1}{\sqrt{1+8b^3}}\ge\frac{1}{1+2b^2}

    \frac{1}{\sqrt{1+8c^3}}\ge\frac{1}{1+2c^2}

    => A\ge\frac{1}{1+2a^2}+\frac{1}{1+2b^2}+\frac{1}{1+2c^2}

    Mặt khác: \frac{1}{1+2a^2}=\frac{1}{1+2a^2}+\frac{1+2a^2}{9}-\frac{1+2a^2}{9}\ge2\sqrt{\frac{1}{1+2a^2}.\frac{1+2a^2}{9}}-\frac{1+2a^2}{9}=\frac{2}{3}-\frac{1}{9}-\frac{2a^2}{9}=\frac{5}{9}-\frac{2a^2}{9}

    Tương tự \frac{1}{1+2b^2}\ge\frac{5}{9}-\frac{2b^2}{9}

    \frac{1}{1+2c^2}\ge\frac{5}{9}-\frac{2c^2}{9}

    => A\ge\frac{5}{9}-\frac{2a^2}{9}+\frac{5}{9}-\frac{2b^2}{9}+\frac{5}{9}-\frac{2c^2}{9}=\frac{5}{3}-\frac{2}{9}\left(a^2+b^2+c^2\right)=\frac{5}{3}-\frac{2}{9}.3=1

    Dấu "=" xảy ra \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a^{2}+b^{2}+c^{2}=3 \\ 1+2a=1-2a+4a^{2} \\ \frac{1}{1+2a^{2}}=\frac{1+2a^{2}}{9} \end{matrix}\right. và vai trò của a,b,c là như nhau => a = b = c =1

    Vậy Amin = 1 khi và chỉ khi a = b = c = 1

    0 Trả lời 20/04/23
    • Pé Thỏ
      Pé Thỏ

      Hay quá ạ 💯

      0 Trả lời 20/04/23
  • Gấu Đi Bộ
    Gấu Đi Bộ

    cảm ơn b nhé

    0 Trả lời 20/04/23

    Tham khảo thêm

    Tìm thêm: Cho ba số thực a b c dương thỏa mãn: a² + b² + c² = 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
    Danh mục
    Hỏi bài ngay thôi!

    Câu hỏi mới

    ×

    Gửi câu hỏi/bài tập

    Thêm vào câu hỏi
    Đăng
    OK Hủy bỏ

    Toán học

    Xem thêm