Đáp án đề thi chọn học sinh giỏi toán quốc gia năm 2015

Ngày 8 và 9/1/2015 vừa qua đã diễn ra Kỳ thi chọn học sinh giỏi quốc gia môn Toán năm học 2014-2015 (VMO 2015). Đề thi năm nay được đánh giá là hay và khó. Chúng tôi xin giới thiệu tài liệu "Đáp án đề thi chọn học sinh giỏi toán quốc gia năm 2015" để các bạn tham khảo.

ĐÁP ÁN ĐỀ THI VMO 2015

1. Đề thi

Ngày thi thứ nhất. (08/01/2015)

Bài 3. (5,0 điểm) Cho số nguyên dương k.Tìm số các số tự nhiên n không vượt quá 10ᵏ thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:

i. n chia hết cho 3;

ii. các chữ số trong biểu diễn thập phân của n thuộc tập hợp {2,0,1,5} .

Bài 4. (5,0 điểm) Cho đường tròn (O) và hai điểm B, C cố định trên (O),BC không là đường kính. Điểm A thay đổi trên (O) sao cho tam giác ABC nhọn. Gọi E, F lần lượt là chân đường cao kẻ từ B, C của tam giác ABC. Cho (I) là đường tròn thay đổi đi qua E, F và có tâm là I.

a) Giả sử (I) tiếp xúc với BC tại điểm D. Chứng minh rằng

b) Giả sử (I) cắt cạnh BC tại hai điểm M, N.Gọi H là trực tâm tam giác ABC và P, Q là các giao điểm của (I) với đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC. Đường tròn (K) đi qua P, Q và tiếp xúc với (O) tại điểm T (T cùng phía A đối với PQ). Chứng minh rằng đường phân giác trong của góc MTN luôn đi qua một điểm cố định.

2. Lời giải chi tiết