Bài tập về dãy số lớp 6
Chuyên đề Toán nâng cao lớp 6
VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí
BÀI TẬP ÔN TẬP TOÁN LỚP 6 - CHUYÊN ĐỀ DÃY SỐ
Bài 1. Phân tích số 8030028 thành tổng của 2004 số tự nhiên chẵn liên tiếp.
Lời giải: Gọi a là số tự nhiên chẵn, ta có tổng của 2004 số tự nhiên chẵn liên tiếp là:
S = a + (a + 2) + ... + (a + 4006) =
( 4006)
.2004 ( 2003).2004
2
a a
a
.
Khi đó ta có: (a + 2003).2004 = 8030028
a = 2004.
Vậy ta có: 8030028 = 2004 + 2006 + 2008 + ... + 6010
Bài 2. Tính A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + n.(n + 1)
Lời giải: Ta thấy mỗi số hạng của tổng trên là tích của hai số tự nhên liên tiếp, khi đó:
Gọi a
1
= 1.2
3a
1
= 1.2.3
3a
1
= 1.2.3 - 0.1.2
a
2
= 2.3
3a
2
= 2.3.3
3a
2
= 2.3.4 - 1.2.3
a
3
= 3.4
3a
3
= 3.3.4
3a
3
= 3.4.5 - 2.3.4
…………………..
a
n-1
= (n - 1)n
3a
n-1
=3(n - 1)n
3a
n-1
= (n - 1)n(n + 1) - (n - 2)(n - 1)n
a
n
= n(n + 1)
3a
n
= 3n(n + 1)
3a
n
= n(n + 1)(n + 2) - (n - 1)n(n + 1)
Cộng từng vế của các đẳng thức trên ta có:
3(a
1
+ a
2
+ … + a
n
) = n(n + 1)(n + 2)
3
1.2 2.3 ... ( 1)n n
= n(n + 1)(n + 2)
A =
( 1)( 2)
3
n n n
Cách 2: Ta có
3A = 1.2.3 + 2.3.3 + … + n(n + 1).3 = 1.2.(3 - 0) + 2.3.(3 - 1) + … + n(n + 1)[(n - 2) - (n - 1)]
= 1.2.3 - 1.2.0 + 2.3.3 - 1.2.3 + … + n(n + 1)(n + 2) -
- (n - 1)n(n + 1) = n(n + 1)(n + 2)
A =
( 1)( 2)
3
n n n
* Tổng quát hoá ta có: k(k + 1)(k + 2) - (k - 1)k(k + 1) = 3k(k + 1). Trong đó k = 1; 2; 3; …
Ta dễ dàng chứng minh công thức trên như sau:
k(k + 1)(k + 2) - (k - 1)k(k + 1) = k(k + 1)[(k + 2) - (k - 1)] = 3k(k + 1)
Bài 3. Tính B = 1.2.3 + 2.3.4 + … + (n - 1) n(n + 1)
Lời giải: 4B = 1.2.3.4 + 2.3.4.4 + … + (n - 1)n(n + 1).4
VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí
= 1.2.3.4 - 0.1.2.3 + 2.3.4.5 - 1.2.3.4 + … + (n - 1)n(n + 1)(n + 2) -
[(n - 2)(n - 1)n(n + 1)] = (n - 1)n(n + 1)(n + 2) - 0.1.2.3 = (n - 1)n(n + 1)(n + 2)
B =
( 1) ( 1)( 2)
4
n n n n
Bài 4. Tính C = 1.4 + 2.5 + 3.6 + 4.7 + … + n(n + 3)
Lời giải: Ta thấy: 1.4 = 1.(1 + 3) 2.5 = 2.(2 + 3)
3.6 = 3.(3 + 3) 4.7 = 4.(4 + 3)
……. n(n + 3) = n(n + 1) + 2n
Vậy C = 1.2 + 2.1 + 2.3 + 2.2 + 3.4 + 2.3 + … + n(n + 1) +2n
= 1.2 + 2 +2.3 + 4 + 3.4 + 6 + … + n(n + 1) + 2n
= [1.2 +2.3 +3.4 + … + n(n + 1)] + (2 + 4 + 6 + … + 2n)
3C = 3.[1.2 +2.3 +3.4 + … + n(n + 1)] + 3.(2 + 4 + 6 + … + 2n) =
= 1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.3 + … + n(n + 1).3 + 3.(2 + 4 + 6 + … + 2n) =
= n(n + 1)(n + 2) +
3(2 2)
2
n n
C=
( 1)( 2) 3(2 2)
3 2
n n n n n
=
( 1)( 5)
3
n n n
Bài 5. Tính D = 1
2
+ 2
2
+ 3
2
+ … + n
2
Ta có: A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + n.(n + 1) = 1.(1 + 1) + 2.(1 + 2) + … +
+ n.(1 + n) = 1
2
+ 1.1 + 2
2
+ 2.1 + 3
2
+ 3.1 + … + n
2
+ n.1 = (1
2
+ 2
2
+ 3
2
+ … + n
2
) + (1 + 2
+ 3 + … + n). Mặt khác theo bài tập 1 ta có: A =
( 1)( 2)
3
n n n
và 1 + 2 + 3 + … + n =
( 1)
2
n n
1
2
+ 2
2
+ 3
2
+ … + n
2
= =
( 1)( 2)
3
n n n
-
( 1)
2
n n
=
( 1)(2 1)
6
n n n
Bài 6. Tính E = 1
3
+ 2
3
+ 3
3
+ … + n
3
Lời giải; Ta có: B = 1.2.3 + 2.3.4 + … + (n - 1)n(n + 1) = (2 - 1).2.(2 + 1) + (3 - 1).3.(3 + 1)
+ … + (n - 1)n(n + 1) = (2
3
- 2) + (3
3
- 3) + … + (n
3
- n) =
= (2
3
+ 3
3
+ … + n
3
) - (2 + 3 + … + n) = (1
3
+ 2
3
+ 3
3
+ … + n
3
) -
- (1 + 2 + 3 + … + n) = (1
3
+ 2
3
+ 3
3
+ … + n
3
) -
( 1)
2
n n
(1
3
+ 2
3
+ 3
3
+ … + n
3
) = B +
( 1)
2
n n
Mà ta đã biết B =
( 1) ( 1)( 2)
4
n n n n
VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí
E = 1
3
+ 2
3
+ 3
3
+ … + n
3
=
( 1) ( 1)( 2)
4
n n n n
+
( 1)
2
n n
=
2
( 1)
2
n n
Cách 2: Ta có: A
1
= 1
3
= 1
2
A
2
= 1
3
+ 2
3
= 9 = (1 + 2)
2
A
3
= 1
3
+ 2
3
+ 3
3
= 36 = (1 + 2 + 3)
2
Giả sử có: A
k
= 1
3
+ 2
3
+ 3
3
+ … + k
3
= (1 + 2 + 3 + … + k)
2
(1) Ta chứng minh:
A
k+1
= 1
3
+ 2
3
+ 3
3
+ … + (k + 1)
3
= [1 + 2 + 3 + … + (k + 1)]
2
(2)
Thật vậy, ta đã biết: 1 + 2 + 3 + … + k =
( 1)
2
k k
A
k
= [
( 1)
2
k k
]
2
(1') Cộng vào hai vế của (1') với (k + 1)
3
ta có:
A
k
+ (k + 1)
3
= [
( 1)
2
k k
]
2
+ (k + 1)
3
A
k+1
= [
( 1)
2
k k
]
2
+ (k + 1)
3
=
2
( 1)( 2)
2
k k
Vậy tổng trên đúng với A
k+1
, tức là ta luôn có:
A
k+1
= 1
3
+ 2
3
+ 3
3
+ … + (k + 1)
3
= [1 + 2 + 3 + … + (k + 1)]
2
=
2
( 1)( 2)
2
k k
.
Vậy khi đó ta có: E = 1
3
+ 2
3
+ 3
3
+ … + n
3
= (1 + 2 + 3 + … + n)
2
=
2
( 1)
2
n n
Bài 7. Biết rằng 1
2
+ 2
2
+ 3
2
+…+ 10
2
= 385, đố em tính nhanh được tổng
S = 2
2
+ 4
2
+ 6
2
+ … + 20
2
Lời giải: Ta có: S = 2
2
+ 4
2
+ 6
2
+ … + 20
2
= (2.1)
2
+ (2.2)
2
+ … + (2.10)
2
=
= 1
2
.2
2
+ 2
2
.2
2
+ 2
2
.3
2
+ …+ 2
2
.10
2
= 2
2
.(1
2
+ 2
2
+ 3
2
+ … + 10
2
) = 4. (1
2
+ 2
2
+ 3
2
+ … +
10
2
) = 4.385 = 1540.
Nhận xét: Nếu đặt P = 1
2
+ 2
2
+ 3
2
+ … + 10
2
thì ta có: S = 4.P. Do đó, nếu cho S thì ta sẽ
tính được P và ngược lại. Tổng quát hóa ta có:
P = 1
2
+ 2
2
+ 3
2
+…+ n
2
=
( 1)(2 1)
6
n n n
(theo kết quả ở trên)
Khi đó S = 2
2
+ 4
2
+ 6
2
+ … + (2n)
2
được tính tương tự như bài trên, ta có:
S = (2.1)
2
+ (2.2)
2
+ … + (2.n)
2
= 4.( 1
2
+ 2
2
+ 3
2
+ … + n
2
) =
4 ( 1)(2 1)
6
n n n
=
2 ( 1)(2 1)
3
n n n
Bài tập về dãy số
Bài tập về dãy số lớp 6 bao gồm các dạng bài tập và đáp án cụ thể được VnDoc sưu tầm, chọn lọc cho các em học sinh tham khảo, củng cố kỹ năng giải Toán nâng cao, ôn tập, ôn thi chuẩn bị cho các kì thi học sinh giỏi sắp tới trong năm học.
Các dạng bài tập Toán nâng cao lớp 6:
- Bài tập chuyên đề tập hợp
- Bài tập Toán lớp 6: Lũy thừa với số mũ tự nhiên và các phép toán
- Bài tập Toán lớp 6: Thứ tự thực hiện phép tính
- Chuyên đề số và dãy số lớp 6
- Chuyên đề - Dãy số viết theo quy luật
Chuyên đề Toán nâng cao lớp 6: Bài tập về dãy số bao gồm 14 bài tập có đáp án chi tiết cho từng bài tập và các dạng bài tập tự luyện cho các em học sinh tham khảo củng cố kỹ năng giải Toán dãy số, phân số, bài tập về lũy thừa số mũ,....chuẩn bị cho các kì thi học sinh giỏi lớp 6, các kì thi trong năm học lớp 6.
Ngoài ra, các em học sinh tham khảo các bài giải SGK môn Toán lớp 6, Môn Ngữ văn 6, Môn Vật lý 6, môn Sinh Học 6, Lịch sử 6, Địa lý 6..... chi tiết mới nhất trên VnDoc.com.
