Luyện tập Tứ giác nội tiếp KNTT

Hình vẽ minh họa

Gọi khoảng cách từ điểm O tới AB, CD, BC, DA lần lượt là: OE, OI, OF; OH.

Suy ra E, I, F, H lần lượt là trung điểm của AB, CD, BC, DA và OE = x; OI = y; OF = z; OH = t

Mà AC là đường kính đường tròn (O; R) nên AC = 2R và O là trung điểm của AC

Vậy OE là đường trung bình của ∆ABC nên:

(định lý Ptô-lê-mê)

Chứng minh định lý Ptô-lê-mê: “Nếu một tứ giác nội tiếp một đường tròn thì tích của 2 đường chéo bằng tổng các tích của các cặp cạnh đối”.

Giả sử tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O).

Trên đường chéo AC của tứ giác ta lấy điểm E sao cho ABE = CBD

Khi đó ta có: ∆ABE đồng dạng với ∆DBC (do ABE = CBD, BAE = BDC hai góc nội tiếp cùng chắn cung BC) nên

Xét các tam giác ΔABD và ΔEBC ta thấy:

ABD = ABE + EBD = CBD + EBD = EBC

(do : )

Vậy , do đó:

Từ (1) và (2) ta được:

AB.CD + BC.AD = BD.AE + BD.EC = BD.(AE + EC) = BD.AC.

Hình vẽ minh họa

Vì tứ giác ABCD nội tiếp nên ta có:

(tổng hai góc đối)

(hai góc nội tiếp cùng chắn cung AD)

(tổng 4 góc trong tứ giác).

Vậy câu sai là:

Hình vẽ minh họa

+) Ta có: là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính (tính chất góc nội tiếp).

Xét tứ giác ta có:

Góc và góc cùng nhìn đoạn dưới góc .

là tứ giác nội tiếp (dhnb)

+) Xét tứ giác nội tiếp ta có (cùng nhìn đoạn

+) Xét đường tròn đường kính ta có 4 điểm cùng thuộc đường tròn.

Tứ giác là tứ giác nội tiếp.

(góc ngoài tại 1 đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối diện). (1)

Vì tứ giác nội tiếp (cmt) (cùng nhìn đoạn )

Từ (1) và

Hay là phân giác của

Giả sử tứ giác là tứ giác nội tiếp (hai góc cùng nhìn đoạn ).

Mà (xét trong đường tròn đường kính )

tứ giác không là tứ giác nội tiếp

Tứ giác nội tiếp cần tìm là .

Xét tam giác ABD có (Định lí tổng ba góc trong một tam giác)

AD // BC

(Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn)

Xét tam giác BCD có:

(Định lí tổng ba góc trong một tam giác)

Hình vẽ minh họa

Từ kết quả câu trước ta suy ra

Tập hợp các điểm nhìn đoạn dưới một góc vuông, nên các điểm này nằm trên đường tròn đường kính .

Hình vẽ minh họa

TH1:

TH2:

Hình vẽ minh họa

Tứ giác có

nên

Tứ giác nội tiếp

Hình vẽ minh họa

Xét hình vuông có (tính chất)

Xét tứ giác có mà hai đỉnh và cùng nhìn đoạn thẳng nên là tứ giác nội tiếp.

Xét tứ giác có mà hai đỉnh và D cùng nhìn đoạn thẳng nên là tứ giác nội tiếp.

Nhóm tứ giác nội tiếp thứ nhất: AEHF; CDHE; BDHF.

Nhóm tứ giác nội tiếp thứ hai: BCEF; ACDF; ABDE.

Hình thoi có một góc nhọn không nội tiếp được đường tròn, vì tổng hai góc của hình thoi đó không bằng 180⁰.

Tứ giác ABCD có

(Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau)

Suy ra

⇒ Tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp

Hình vẽ minh họa

Ta có AB và AC là hai tiếp tuyến cắt nhau

⇒ AB = AC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Xét tứ giác ABOC có:

⇒ tứ giác ABOC chưa là hình thoi và không là hình bình hành

Có (do AB là tiếp tuyến của (O))

(do AC là tiếp tuyến của (O))

=> tứ giác ABOC nội tiếp (dhnb).

Hình vẽ minh họa

Xét tam giác cân tại và

.

Ta có tứ giác là tứ giác nội tiếp (4 điểm cùng thuộc ).

(tính chất tứ giác nội tiếp).

Gọi là giao điểm của và vuông tại .

.

Hình vẽ minh họa

Xét đường tròn đường kính có góc là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn .

Xét và ta có: chung và

Xét tứ giác có:

Tứ giác là tứ giác nội tiếp (dhnb)

Chứng minh tương tự ta được tứ giác là tứ giác nội tiếp

Gọi giao điểm của và là .

Xét tam giác có hai đường cao và cắt nhau tại là trực tâm của tam giác

Mà là đường cao của tam giác hay thẳng hàng.

và đồng quy tại

Ta có (hai góc đối đỉnh).

Đặt

Theo tính chất góc ngoài tam giác ta có: (2)

Lại có (3) (hai góc đối diện của tứ giác nội tiếp).

Từ (1); (2) và (3) ta nhận

Từ (1) ta có

Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau.

Nên hình vẽ biểu diễn tứ giác nội tiếp đường tròn là hình II.

Trong các tứ giác đã cho, hình thang cân, hình vuông, hình chữ nhật nội tiếp được một trong đường tròn.