Đề thi HSG Toán 12 cấp trường năm 2021 - 2022 trường chuyên Nguyễn Trãi, Hải Dương

S GD-ĐT HẢI DƯƠNG
Trường THPT chuyên Nguyn Trãi
ĐỀ THI HC SINH GII LP 12 CẤP TRƯỜNG
NĂM HỌC 2021-2022
Thi gian làm bài: 180 phút
Môn: Toán
Câu 1. (2 điểm)
Cho dãy số
1
n
n
u
xác định bởi
11
3
0, 1 .
5
n
n
n
u
u u n
u
a) Chứng minh rằng dãy
1
n
n
u
có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
b) Đặt
1
1
3
n
n
k
k
T
u
. Tìm
Câu 2. (2 điểm) Tìm tất cả các hàm số
:f ¡¡
sao cho:
2018
2017 ( ), , . ¡f y f x f x y yf x x y
Câu 3. (2 điểm)
Có bao nhiêu cách lát kín bng
2 2022
bi các viên domino
12
21
?
Câu 4. (2 điểm)
Cho tam giác nhọn
ABC
với
AB BC
. Cho
I
là tâm nội tiếp của tam giác
ABC
là đường
tròn ngoại tiếp tam giác
ABC
. Đường tròn nội tiếp tam giác
ABC
tiếp xúc với
BC
tại
K
. Đường
thẳng
AK
cắt
tại điểm thứ hai
T
. Cho
M
là trung điểm của
BC
N
là điểm chính giữa cung
»
BC
chứa
A
của
. Đoạn thẳng
NT
cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác
BIC
P
. Chứng minh rằng
a) Cho
KI
ct
()BIC
tại điểm th hai
X
thì
;;N T X
thng hàng.
b)
PM AK
.
Câu 5. (2 điểm)
Cho dãy số
1
.
nn
x a x n
¥
;
*
o
x ¥
;
a
là nghiệm dương của phương trình
2
10x kx
(
;1kk¥
) với số nguyên dương
k
cho trước.
Khi đó chứng minh rằng
11
1 (mod )
nn
x x k


.
Giải
Câu 1 :
a) Ta chứng minh bằng quy nạp theo
*
n ¥
, dãy
1
n
n
u
bị chặn trên bởi 1 và là một dãy tăng.
+) Ta có
1
1.u
Giả sử
1
n
u
*
.n ¥
Vì hàm
3
5
x
fx
x
là đồng biến trên khoảng
( ;1)
nên
1
1 1 1.
n n n
u u f u f
Vậy
1
n
u
với mọi
*
.n ¥
+) Ta có
21
3
5
uu
. Giả sử
1
2.

nn
u u n
Do
1
,1
nn
uu
f
là đồng biến trên khoảng
( ;1)
nên
11
.

n n n n
u f u f u u
Vậy dãy
1
n
n
u
tăng và bị chặn trên nên có giới hạn hữu hạn.
+) Đặt
lim 1 .


n
n
u a a
Suy ra
1
3
.
3
5

a
a
a
a
a
Vậy
lim 1.

n
n
u
b) Ta có
1
11
4( 3) 1 1 2
3 1 2 .
5 3 4 3




k
k
k k k
u
uk
u u u
22
11
1 1 1 1 1
21
3 3 3 4 3





nn
n
kk
kk
Tn
u u u
1 1 1 1
.
12 4 2 3



n
n
nT
u
Suy ra
1 1 1 1
lim .
6 2 3 5 4 10



n
n
n
n
T
Tn
un
Câu 2 :
Giả sử hàm số
()fx
thỏa mãn yêu cầu bài toán.
+)Trong (1) thay
y
bởi
()fx
ta có :
2018 2
0 ( ) 2017( ( )) , (2).  ¡f f x f x f x x
+)Trong (1) thay
y
bởi
2018
x
ta có :
2018 2018
( ) 0 2017 ( ), (3).  ¡f x f x f x f x x
Từ (2) và (3) suy ra
2018
( ( ) ) 0, (4). ¡f x f x x x
Vậy nếu có
0
x
sao cho
0
( ) 0fx
thì
2018
00
( ) .f x x
Vậy
0 0.f
Dễ thấy có hai hàm số
1
( ) 0fx
2018
2
( ) , ¡f x x x
tha mãn (4).
+) Ta chng minh nếu có hàm s
()fx
khác hai hàm s
1
()fx
2
()fx
mà tha mãn c (1) và
(4) thì vô lý.
()fx
khác
1
()fx
nên
11
: ( ) 0. ¡x f x
Vy
2018
11
( ) .f x x
()fx
tha mãn (4) và khác
2
()fx
nên
2 2 2
: 0; ( ) 0. ¡x x f x
+) Trong (1) cho
0 ( ) ( ), .  ¡x f y f y y
Không mất tổng quát, giả sử
2
0x
+)Trong (1) thay
x
bởi
2
x
y
bởi
1
()x
ta có :
2018
1 2 1
2018
1 1 1
2018 2018 2018 2018
2 1 2 1 1
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) .
f x f x x
x f x f x
f x x x x x
(vô lý).
+) Bng cách th trc tiếp vào (1) ta có kết qu hàm s cn tìm là
( ) 0, .  ¡f x x
Câu 3:
Gọi
()an
là số cách lát.
Ta xét hai trường hợp sau:
+) Nếu hàng 2 ô đầu tiên được lát bởi viên gạch
21
thì bảng trên trở thành
2 ( 1)n
; ta có
( 1)an
cách lát.
+) Nếu 4 ô vuông
22
ở 2 hàng đầu tiên được lát bởi 2 viên gạch
12
thì ta có
()an
cách lát.
Như vậy
( ) ( 1) ( 2)a n a n a n
với
(1) 1; (2) 2aa
.
Suy ra
()
n
a n F
là số Fibonacci thứ
n
.
Như vậy số cách lát là
2022
F
Câu 4:

Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 12 môn Toán có đáp án

Mời thầy cô và các em tham khảo Đề thi HSG Toán 12 cấp trường năm 2021 - 2022 trường chuyên Nguyễn Trãi, Hải Dương do VnDoc sưu tầm và đăng tải sau đây. Đề thi HSG Toán môn Toán bao gồm 5 câu hỏi tự luận, với thời gian làm bài 180 phút. Đây là tài liệu tham khảo hữu ích cho các em học sinh ôn tập, làm quen với các dạng đề thi học sinh giỏi khác nhau.

Đề thi HSG Toán 12 cấp trường năm 2021 - 2022 trường chuyên Nguyễn Trãi, Hải Dương thuộc chuyên mục Đề thi HSG lớp 12 trên VnDoc. Bộ tài liệu tổng hợp các đề thi học sinh giỏi khác nhau với đầy đủ các môn, được cập nhật liên tục, giúp các bạn có tài liệu phong phú để ôn thi hiệu quả. Đây cũng là nguồn tài liệu hay cho các thầy cô ôn luyện đội tuyển học sinh giỏi của mình.

Trên đây là Đề thi HSG Toán 12 cấp trường năm 2021 - 2022 trường chuyên Nguyễn Trãi, Hải Dương. Ngoài ra, mời các bạn tham khảo thêm các môn Ngữ văn 12, Tiếng Anh 12, đề thi học kì 1 lớp 12, đề thi học kì 2 lớp 12... được cập nhật liên tục trên VnDoc.com để có kiến thức tổng hợp và đầy đủ về các môn học nhé.

Mời bạn đọc cùng tham gia nhóm Tài liệu học tập lớp 12 để có thêm tài liệu học tập nhé

Đánh giá bài viết
1 308
Sắp xếp theo
    Thi học sinh giỏi lớp 12 Xem thêm