VnDoc.com

Đề thi HSG Toán 12 cấp trường năm 2021 - 2022 trường chuyên Nguyễn Trãi, Hải Dương

Đề thi học sinh giỏi lớp 12 môn Toán có đáp án

SỞ GD-ĐT HẢI DƯƠNG

Trường THPT chuyên Nguyễn Trãi

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 CẤP TRƯỜNG

NĂM HỌC 2021-2022

Thời gian làm bài: 180 phút

Môn: Toán

Câu 1. (2 điểm)

Cho dãy số

 

1

n

u

xác định bởi

 

11

3

0, 1 .

5



  



n

u

u u n

u

a) Chứng minh rằng dãy

 

1

n

u

có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.

b) Đặt

1

3







n

k

T

u

. Tìm

lim .

54





n

T

n

Câu 2. (2 điểm) Tìm tất cả các hàm số

:f ¡¡

sao cho:

 

2018

2017 ( ), , .     ¡f y f x f x y yf x x y

Câu 3. (2 điểm)

Có bao nhiêu cách lát kín bảng

2 2022

bởi các viên domino

12

và

21

?

Câu 4. (2 điểm)

Cho tam giác nhọn

ABC

với

AB BC

. Cho

I

là tâm nội tiếp của tam giác

ABC

và



là đường

tròn ngoại tiếp tam giác

ABC

. Đường tròn nội tiếp tam giác

ABC

tiếp xúc với

BC

tại

K

. Đường

thẳng

AK

cắt



tại điểm thứ hai

T

. Cho

M

là trung điểm của

BC

và

N

là điểm chính giữa cung

»

BC

chứa

A

của



. Đoạn thẳng

NT

cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác

BIC

ở

P

. Chứng minh rằng

a) Cho

KI

cắt

()BIC

tại điểm thứ hai

X

thì

;;N T X

thẳng hàng.

b)

PM AK‖

.

Câu 5. (2 điểm)

Cho dãy số

 

1

.

nn

x a x n



  ¥

;

*

o

x ¥

;

a

là nghiệm dương của phương trình

2

10x kx  

(

;1kk¥

) với số nguyên dương

k

cho trước.

Khi đó chứng minh rằng

11

1 (mod )

nn

x x k





.

Giải

Câu 1 :

a) Ta chứng minh bằng quy nạp theo

*

n ¥

, dãy

 

1

n

u

bị chặn trên bởi 1 và là một dãy tăng.

+) Ta có

1

1.u

Giả sử

1

n

u

*

.n ¥

Vì hàm

 

3

5







x

fx

x

là đồng biến trên khoảng

( ;1)

nên

 

1

1 1 1.



    

n n n

u u f u f

Vậy

1

n

u

với mọi

*

.n ¥

+) Ta có

21

3

5

uu

. Giả sử

 

1

2.





nn

u u n

Do

1

,1





nn

uu

và

f

là đồng biến trên khoảng

( ;1)

nên

   

11

.



  

n n n n

u f u f u u

Vậy dãy

 

1

n

u

tăng và bị chặn trên nên có giới hạn hữu hạn.

+) Đặt

 

lim 1 .





n

u a a

Suy ra

1

3

.

3

5

















a

Vậy

lim 1.





n

u

b) Ta có

 

1

11

4( 3) 1 1 2

3 1 2 .

5 3 4 3









     



  



k

k k k

u

uk

u u u

22

11

1 1 1 1 1

21

3 3 3 4 3









     



  





nn

n

kk

Tn

u u u

1 1 1 1

.

12 4 2 3





   







n

nT

u

Suy ra

1 1 1 1

lim .

6 2 3 5 4 10





    



n

T

Tn

un

Câu 2 :

Giả sử hàm số

()fx

thỏa mãn yêu cầu bài toán.

+)Trong (1) thay

y

bởi

()fx

ta có :

 

2018 2

0 ( ) 2017( ( )) , (2).    ¡f f x f x f x x

+)Trong (1) thay

y

bởi

2018

x

ta có :

 

2018 2018

( ) 0 2017 ( ), (3).    ¡f x f x f x f x x

Từ (2) và (3) suy ra

 

2018

( ( ) ) 0, (4).   ¡f x f x x x

Vậy nếu có

0

x

sao cho

0

( ) 0fx

thì

2018

00

( ) .f x x

Vậy

 

0 0.f

Dễ thấy có hai hàm số

1

( ) 0fx

và

2018

2

( ) ,   ¡f x x x

thỏa mãn (4).

+) Ta chứng minh nếu có hàm số

()fx

khác hai hàm số

1

()fx

và

2

()fx

mà thỏa mãn cả (1) và

(4) thì vô lý.

Vì

()fx

khác

1

()fx

nên

11

: ( ) 0.  ¡x f x

Vậy

2018

11

( ) .f x x

Vì

()fx

thỏa mãn (4) và khác

2

()fx

nên

2 2 2

: 0; ( ) 0.   ¡x x f x

+) Trong (1) cho

0 ( ) ( ), .     ¡x f y f y y

Không mất tổng quát, giả sử

2

0x 

+)Trong (1) thay

x

bởi

2

x

và

y

bởi

1

()x

ta có :

2018

1 2 1

2018

1 1 1

2018 2018 2018 2018

2 1 2 1 1

( ) ( )

( ) ( ) .

  

    

      

f x f x x

x f x f x

f x x x x x

(vô lý).

+) Bằng cách thử trực tiếp vào (1) ta có kết quả hàm số cần tìm là

( ) 0, .  ¡f x x

Câu 3:

Gọi

()an

là số cách lát.

Ta xét hai trường hợp sau:

+) Nếu hàng 2 ô đầu tiên được lát bởi viên gạch

21

thì bảng trên trở thành

2 ( 1)n

; ta có

( 1)an

cách lát.

+) Nếu 4 ô vuông

22

ở 2 hàng đầu tiên được lát bởi 2 viên gạch

12

thì ta có

()an

cách lát.

Như vậy

( ) ( 1) ( 2)a n a n a n   

với

(1) 1; (2) 2aa

.

Suy ra

()

n

a n F

là số Fibonacci thứ

n

.

Như vậy số cách lát là

2022

F

Câu 4:

Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 12 môn Toán có đáp án

Mời thầy cô và các em tham khảo Đề thi HSG Toán 12 cấp trường năm 2021 - 2022 trường chuyên Nguyễn Trãi, Hải Dương do VnDoc sưu tầm và đăng tải sau đây. Đề thi HSG Toán môn Toán bao gồm 5 câu hỏi tự luận, với thời gian làm bài 180 phút. Đây là tài liệu tham khảo hữu ích cho các em học sinh ôn tập, làm quen với các dạng đề thi học sinh giỏi khác nhau.

Đề thi HSG Toán 12 cấp trường năm 2021 - 2022 trường chuyên Nguyễn Trãi, Hải Dương thuộc chuyên mục Đề thi HSG lớp 12 trên VnDoc. Bộ tài liệu tổng hợp các đề thi học sinh giỏi khác nhau với đầy đủ các môn, được cập nhật liên tục, giúp các bạn có tài liệu phong phú để ôn thi hiệu quả. Đây cũng là nguồn tài liệu hay cho các thầy cô ôn luyện đội tuyển học sinh giỏi của mình.

Trên đây là Đề thi HSG Toán 12 cấp trường năm 2021 - 2022 trường chuyên Nguyễn Trãi, Hải Dương. Ngoài ra, mời các bạn tham khảo thêm các môn Ngữ văn 12, Tiếng Anh 12, đề thi học kì 1 lớp 12, đề thi học kì 2 lớp 12... được cập nhật liên tục trên VnDoc.com để có kiến thức tổng hợp và đầy đủ về các môn học nhé.

Mời bạn đọc cùng tham gia nhóm Tài liệu học tập lớp 12 để có thêm tài liệu học tập nhé