Giải bài tập SBT Toán 7 bài 7: Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng
Bài tập môn Toán lớp 7
Giải bài tập SBT Toán 7 bài 7: Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng được VnDoc sưu tầm và đăng tải, tổng hợp lý thuyết. Đây là lời giải hay cho các câu hỏi trong sách bài tập nằm trong chương trình giảng dạy môn Toán lớp 7. Hi vọng rằng đây sẽ là những tài liệu hữu ích trong công tác giảng dạy và học tập của quý thầy cô và các em học sinh.
Giải bài tập SBT Toán 7 bài 5: Tính chất tia phân giác của một góc
Giải bài tập SBT Toán 7 bài 6: Tính chất ba đường phân giác của tam giác
Giải bài tập SBT Toán 7 bài 8: Tính chất ba đường trung trực của tam giác
Câu 1: Cho ba tam giác cân ABC, DBC, EBC chung đáy BC. Chứng minh rằng ba điểm A, D, E thẳng hàng.
Lời giải:
Tam giác ABC cân tại A nên AB = AC
Khi đó A thuộc đường trung trực của BC (1)
Tam giác DBC cân tại D nên DB = DC
Khi đó D thuộc đường trung trực của BC (2)
Tam giác EBC cân tại E nên EB = EC
Khi đó E thuộc đường trung trực của BC (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra: A, D, E thẳng hàng.
Câu 2: Cho hai điểm D, E nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng BC. Chứng minh rằng ΔBDE = ΔCDE.
Lời giải:
Vì D thuộc đường trung trực của BC nên DB = DC (tính chất đường trung trực)
Vì E thuộc đường trung trực của BC nên EB = EC (tính chất đường trung trực)
Xét ΔBDE và ΔCDE, ta có:
DB = DC (chứng minh trên)
DE cạnh chung
EB = EC (chứng minh trên)
Suy ra: ΔBDE = ΔCDE (c.c.c).
Câu 3: Cho đường thẳng d và hai điểm A, B thuộc cùng một nửa mặt phẳng có bờ d. Tìm một điểm C nằm trên d sao cho C cách đều A và B.
Lời giải:
* Nếu AB không vuông góc với d
- Vì điểm C cách đều hai điểm A và B nên C nằm trên đường trung trực của AB.
- Điểm C ∈ d
Vậy C là giao điểm của đường trung trực của AB và đường thẳng d.
Cần dựng đường thẳng m là đường trung trực của đoạn thẳng AB cắt đường thẳng d tại C.
Vậy C là điểm cần tìm.
* Nếu AB vuông góc với d
Khi đó đường trung trực của AB song song với đường thẳng d nên không tồn tại điểm C.
Câu 4: Đường trung trực d của đoạn thẳng AB chia mặt phẳng thành hai phần I và II như hình dưới. Cho điểm M thuộc phần I và điểm N thuộc phần II. Chứng minh rằng:
a, MA < MB
b, NA > NB
Lời giải:
a, Nối MA, MB
Gọi C là giao điểm của MB với đường thẳng d, nối CA
Ta có: MB = MC + CB
Mà CA = CB (tính chất đường trung trực)
Suy ra: MB = MC + CA (1)
Trong ∆MAC, ta có:
MA < MC + CA (bất đẳng thức tam giác) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: MA < MB
b, Nối NA, NB. Gọi D là giao điểm của NA với đường thẳng d, nối DB
Ta có: NA = ND + DA
Mà DA = DB (tính chất đường trung trực)
Suy ra: NA = ND + DB (3)
Trong ∆NDB, ta có: NB < ND + DB
(bất đẳng thức tam giác) (4)
Từ (3) và (4) suy ra: NA > NB.
Câu 5: Cho hình bên. Chứng minh rằng AB vuông góc với CD.
Lời giải:
Vì AC = AD (gt) nên A thuộc đường trung trực của CD.
Vì BC = BD (gt) nên B thuộc đường trung trực của CD.
Vì A ≠ B nên AB là đường trung trực của CD.
Vậy AB ⊥ CD.
Câu 6: Cho hai điểm A, B và một đường thẳng d. Vẽ đường tròn tâm O đi qua hai điểm A, B sao cho O nằm trên đường thẳng d.
Lời giải:
- Vì A và B là hai điểm nằm trên đường tròn tâm O nên OA = OB.
- Suy ra O thuộc đường trung trực của đoạn AB.
Vì tâm O nằm trên đường thẳng d nên O là giao điểm của đường trung trực của AB và đường thẳng d.
- Dựng đường thẳng m là đường trung trực của AB cắt d tại O.
- Vẽ đường tròn tâm O bán kính OA (hoặc OB).
* Lưu ý:
- Nếu m // d thì không dựng được tâm O
- Nếu m trùng với d thì có vô số điểm chung O do đó có vô số đường tròn thỏa mãn bài toán.
Câu 7: Cho đoạn thẳng AB. Tìm tập hợp các điểm C sao cho tam giác ABC là tam giác cân có đáy là AB.
Lời giải:
* Chứng minh thuận
Vì ∆CAB cân tại C nên CA = CB
Suy ra C thuộc đường trung trực của AB
Vì điểm C thay đổi mà ∆CAB luôn cân tại C nên C nằm trên đường trung trực của đường thẳng AB.
* Chứng minh đảo
Trên đường thẳng d lấy điểm C bất ký (C khác trung điểm M của AB).
Nối CA, CB.
Ta có: CA = CB (tính chất đường trung trực)
Suy ra tam giác CAB cân tại C.
Tập hợp các điểm C có tính chất CA = CB và ba điểm A, B, C không thẳng hàng là đường trung trực của AB.
Câu 8: Cho góc xOy bằng 60o, điểm A nằm trong góc xOy. Vẽ điểm B sao cho Ox là đường trung trực của AB. Vẽ điểm C sao cho Oy là đường trung trực của AC.
a, Chứng minh rằng OB = OC.
b, Tính số đo góc BOC.
Lời giải:
a, Vì Ox là đường trung trực của AB nên:
OB = OA (t/chất đường trung trực) (1)
Vì Oy là đường trung trực của AC nên:
OA = OC (t/chất đường trung trực) (2)
Tư (1) và (2) suy ra: OB = OC.
b, Vì ΔOAB cân tại O và Ox là đường trung trực của AB nên Ox là đường phân giác của ∠(AOB) (tính chất tam giác cân)
Suy ra: ∠O3 = ∠O4 (3)
Vì tam giác OAC cân tại O và Oy là đường trung trực của AC nên Oy là đường phân giác của ∠(AOC) (tính chất tam giác cân)
Suy ra: ∠O1 = ∠O2 (4)
Từ (3) và (4) suy ra: ∠O1 + ∠O3 = ∠O2 + ∠O4
Ta có: ∠(BOC) = ∠O1 + ∠O3 + ∠O2 + ∠O4
= 2(∠O1 + ∠O3) = 2.(xOy) = 2.60o = 120o.
Câu 9: Cho hình bên, M là một điểm tùy ý nằm trên đường thẳng a. Vẽ điểm C sao cho a là đường trung trực của AC.
a, Hãy so sánh MA + MB với BC.
b, Tìm vị trí của điểm M trên đường thẳng a để MA + MB là nhỏ nhất.
a, Gọi N là giao điểm của BC với đường thẳng a.
* Nếu M ≠ N
Nối MC.
Vì a là đường trung trực của AC nên M ∈ a
Suy ra: MA = MC (tính chất đường trung trực) (1)
Trong ∆MBC, ta có:
BC < MB + MC (bất đẳng thức tam giác) (2)
Thay (1) vào (2) ta có: BC < MA + MB
* Nếu M trùng với N
Nối NA. Ta có:
NA = NC (tính chất đường trung trực)
Mà: MA + MB = NA + NB = NC + NB = BC
Vậy: MA + MB ≥ BC.
b, Theo chứng minh trên, khi M trùng với N thì MA + MB = BC bé nhất. Vậy khi M là giao điểm của BC với đường thẳng a thì MA + MB bé nhất.
Câu 10: Hai nhà máy được xây dựng tại hai địa điểm A và B nằm về một phía của khúc sông thẳng. Tìm trên bờ sông một địa điểm C để xây một trạm bơm sao cho tổng chiều dài đường ống dẫn nước từ C đến A và đến B là nhỏ nhất.
Lời giải:
- Dựng điểm A' sao cho bờ sông là trung trực của AA'.
- Nối A'B cắt bờ sông tại điểm C.
Theo kết quả của bài thì C là điểm cần tìm có khoảng cách CA + CB ngắn nhất.
