Toán 7 Bài 12: Tính chất ba đường trung trực của tam giác

Giải Toán 7 Cánh diều Bài 12: Tính chất ba đường trung trực của tam giác tổng hợp câu hỏi và lời giải cho các câu hỏi trong SGK Toán 7 Cánh diều tập 2. Bài tập Toán 7 với lời giải chi tiết, rõ ràng dễ hiểu, tương ứng với từng bài học trong sách, giúp các bạn học sinh củng cố kiến thức, rèn luyện kỹ năng giải môn Toán lớp 7 hiệu quả. Mời các bạn tham khảo.

Khởi động trang 112 Toán lớp 7 Tập 2:

Hình 121 minh họa biển giới thiệu quần thể di tích, danh thắng cấp Quốc gia núi Dũng Quyết và khu vực Phượng Hoàng Trung Đô ở tỉnh Nghệ An (Hình 120).

Làm thế nào để xác định được vị trí cách đều ba địa điểm được minh họa trong Hình 121?

Hướng dẫn giải:

Ba địa điểm được minh họa trên tạo thành ba đỉnh của một tam giác.

Khi đó vị trí cách đều ba địa điểm đó là giao điểm ba đường trung trực của tam giác tạo bởi ba địa điểm trên.

Hoạt động 1 trang 112 SGK Toán 7 tập 2 Cánh diều

Cho tam giác ABC như Hình 122. Vẽ đường trung trực d của đoạn thẳng BC.

Hướng dẫn giải:

Vẽ đường thẳng d vuông góc với BC tại trung điểm của BC.

Khi đó d là đường trung trực của đoạn thẳng BC.

Ta có hình vẽ sau:

Luyện tập 1 trang 113 Toán lớp 7 Tập 2

Cho tam giác ABC cân tại A. Vẽ đường phân giác AD. Chứng minh AD cũng là đường trung trực của tam giác ABC.

Hướng dẫn giải:

Tam giác ABC cân tại A nên AB = AC.

Do AD là đường phân giác của ∆ABC nên

Xét ∆ABD và ∆ACD có:

AB = AC (chứng minh trên).

(chứng minh trên).

AD chung.

Do đó ∆ABD = ∆ACD (c - g - c).

Suy ra BD = CD (2 cạnh tương ứng) và (2 góc tương ứng).

Do BD = CD mà D nằm giữa B và C nên D là trung điểm của BC.

Do và nên

Do đó AD ⊥ BC.

Khi đó AD vuông góc với BC tại trung điểm D của BC nên AD là đường trung trực của đoạn thẳng BC.

Hoạt động 2 trang 113 SGK Toán 7 tập 2 Cánh diều

Quan sát các đường trung trực của tam giác ABC (Hình 126), cho biết ba đường trung trực đó có cùng đi qua một điểm hay không.

Hướng dẫn giải:

Ta thấy các đường trung trực của tam giác ABC cùng đi qua điểm O.

Luyện tập 2 trang 114 SGK Toán 7 tập 2 Cánh diều

Trong Hình 127, điểm O có phải là giao điểm ba đường trung trực của tam giác ABC không?

Hướng dẫn giải:

Trong hình, đường thẳng qua O và cắt AC không vuông góc với AC nên O không phải giao điểm ba đường trung trực của tam giác ABC.

Hoạt động 3 trang 114 SGK Toán 7 tập 2 Cánh diều

Quan sát giao điểm O của ba đường trung trực của tam giác ABC (Hình 128) và so sánh độ dài ba đoạn thẳng OA, OB, OC.

Hướng dẫn giải:

Do O nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB nên OA = OB.

Do O nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng BC nên OB = OC.

Do đó OA = OB = OC.

Bài 1 trang 115 SGK Toán 7 tập 2 Cánh diều

Cho tam giác ABC và điểm O thỏa mãn OA = OB = OC. Chứng minh rằng O là giao điểm ba đường trung trực của tam giác ABC.

Hướng dẫn giải:

Do OA = OB nên O nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB.

Do OB = OC nên O nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng BC.

Tam giác ABC có O là giao điểm hai đường trung trực của đoạn thẳng AB và đoạn thẳng BC nên O là giao điểm ba đường trung trực của tam giác ABC.

Bài 2 trang 115 SGK Toán 7 tập 2 Cánh diều

Cho tam giác ABC. Vẽ điểm O cách đều ba đỉnh A, B, C trong mỗi trường hợp sau:

a) Tam giác ABC nhọn;

b) Tam giác ABC vuông tại A;

c) Tam giác ABC có góc A tù.

Hướng dẫn giải:

a) Ta có hình vẽ sau:

b) Ta có hình vẽ sau:

c) Ta có hình vẽ sau:

Bài 3 trang 115 SGK Toán 7 tập 2 Cánh diều

Tam giác ABC có ba đường trung tuyến cắt nhau tại G. Biết rằng điểm G cũng là giao điểm của ba đường trung trực trong tam giác ABC. Chứng minh tam giác ABC đều.

Hướng dẫn giải:

Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB.

Do G vừa là trọng tâm của tam giác và P là trung điểm của AB nên C, G, P thẳng hàng.

Do G là giao điểm ba đường trung trực của tam giác nên G nằm trên đường trung trực của cạnh AB do đó C nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB.

Suy ra CA = CB.

Thực hiện tương tự ta thu được BA = BC.

Do đó AB = BC = CA.

Tam giác ABC có AB = BC = CA nên tam giác ABC đều.

Bài 5 trang 115 SGK Toán 7 tập 2 Cánh diều

Cho tam giác ABC. Đường trung trực của hai cạnh AB và AC cắt nhau tại điểm O nằm trong tam giác. M là trung điểm của BC. Chứng minh:

a) OM ⊥ BC;

b) =

Hướng dẫn giải:

a) Tam giác ABC có O là giao điểm hai đường trung trực của đoạn thẳng AB và đoạn thẳng AC.

Mà ba đường trung trực trong tam giác đồng quy nên O nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng BC.

Lại có M là trung điểm của BC nên OM là đường trung trực của đoạn thẳng BC.

Do đó OM ⊥ BC.

b) Do OM ⊥ BC nên ∆OMB và ∆OMC vuông tại M.

Xét ∆OMB vuông tại M và ∆OMC vuông tại M có:

OM chung.

MB = MC (theo giả thiết).

Do đó ∆OMB = ∆OMC (2 cạnh góc vuông).

Suy ra = (2 góc tương ứng).