Toán 7 Cánh diều: Bài tập cuối chương 7
Giải Toán 7 Cánh diều Bài tập ôn tập cuối chương 7 hướng dẫn giải cho các câu hỏi và bài tập trong SGK Toán 7 Cánh diều trang 119, 120. Mời các bạn theo dõi.
Giải Toán 7 Cánh diều Bài tập cuối chương 7
- Bài 1 trang 119 Toán 7 Tập 2:
- Bài 2 trang 119 Toán 7 Tập 2:
- Bài 3 trang 119 Toán 7 Tập 2:
- Bài 4 trang 119 Toán 7 Tập 2:
- Bài 5 trang 119 Toán 7 Tập 2:
- Bài 6 trang 119 Toán 7 Tập 2:
- Bài 7 trang 119 Toán 7 Tập 2:
- Bài 8 trang 120 Toán 7 Tập 2:
- Bài 9 trang 120 Toán 7 Tập 2:
- Bài 10 trang 120 Toán 7 Tập 2:
- Bài 11 trang 120 Toán 7 Tập 2:
- Bài 12 trang 120 Toán 7 Tập 2:
- Bài 13 trang 120 Toán 7 Tập 2:
- Bài 14 trang 120 Toán 7 Tập 2:
Bài 1 trang 119 Toán 7 Tập 2:
Cho tam giác ABC có:
a) Tính
b) So sánh độ dài các cạnh AB, BC, CA.
Hướng dẫn giải
a) Trong tam giác ABC:
b) Trong tam giác ABC:
Bài 2 trang 119 Toán 7 Tập 2:
Tìm các số đo x, y trong Hình 140.
Hướng dẫn giải
Xét tam giác ABO có OA = AB = BO nên tam giác ABO đều.
Do đó x = 60°.
Tam giác OAC có OA = OC nên tam giác OAC cân tại O.
Do đó y =
Ta có
hay x = y + y = 2y.
Suy ra 2y = 60°
Do đó y = 30°.
Vậy x = 60° và y = 30°.
Bài 3 trang 119 Toán 7 Tập 2:
Bạn Hoa đánh dấu ba vị trí A, B, C trên một phần sơ đồ xe buýt ở Hà Nội năm 2021 và xem xe buýt có thể đi như thế nào giữa hai vị trí A và B. Đường thứ nhất đi từ A đến C và đi tiếp từ C đến B, đường thứ hai đi từ B đến A (Hình 141). Theo em, đường nào đi dài hơn? Vì sao?
Hướng dẫn giải
Ba vị trí A, B, C mà bạn Hoa đánh dấu tạo thành ba đỉnh của tam giác ABC (Hình 141).
Khi đó trong tam giác ABC ta có: AC + CB > BA (Bất đẳng thức tam giác)
Vậy đường thứ nhất dài hơn đường thứ hai.
Bài 4 trang 119 Toán 7 Tập 2:
Cho hai tam giác ABC và MNP có: AB = MN, BC = NP, CA = PM. Gọi I và K lần lượt là trung điểm của BC và NP. Chứng minh: AI = MK.
Hướng dẫn giải
GT | ∆ABC, ∆MNP, AB = MN, BC = NP, CA = PM, I và K lần lượt là trung điểm của BC và NP. |
KL | AI = MK. |
Chứng minh (Hình vẽ dưới đây):
Xét ∆ABC và ∆MNP có:
AB = MN (giả thiết).
BC = NP (giả thiết).
CA = PM (giả thiết).
Do đó ∆ABC = ∆MNP (c.c.c).
Suy ra
Do I, K lần lượt là trung điểm của BC và NP nên BI=IC=12BC và NK=KP=12NP
Mà BC = NP (giả thiết) nên BI = NK.
Xét ∆ABI và ∆MNK có:
AB = MN (giả thiết).
BO = NK (chứng minh trên).
Do đó ∆ABI = ∆MNK (c.g.c).
Suy ra AI = MK (hai cạnh tương ứng).
Vậy AI = MK.
Bài 5 trang 119 Toán 7 Tập 2:
Cho Hình 142 có O là trung điểm của đoạn thẳng AB và O nằm giữa hai điểm M, N.
Chứng minh:
a) Nếu OM = ON thì AM // BN;
b) Nếu AM // BN thì OM = ON.
Hướng dẫn giải
a)
GT | ∆OAM, ∆OBN, O là trung điểm của AB, O nằm giữa hai điểm M, N. OM = ON |
KL | AM // BN; |
Chứng minh (Hình 142):
Xét ∆OAM và ∆OBN có:
AO = BO (do M là trung điểm của AB),
OM = ON (giả thiết).
Do đó ∆OAM = ∆OBN (c.g.c).
Suy ra
Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên AM // BN (dấu hiệu nhận biết)
Vậy AM //BN.
b)
GT | ∆OAM, ∆OBN, O là trung điểm của AB, O nằm giữa hai điểm M, N. AM // BN |
KL | OM = ON. |
Chứng minh (Hình 142):
Do AM // BN (giả thiết) nên MAO^=NBO^ (hai góc so le trong).
Xét ∆OAM và ∆OBN có:
AO = BO (do M là trung điểm của AB),
Do đó ∆OAM = ∆OBN (g.c.g).
Suy ra OM = ON (hai cạnh tương ứng).
Vậy OM = ON.
Bài 6 trang 119 Toán 7 Tập 2:
Cho tam giác ABC cân tại A có
a) Tính số đo các góc còn lại của tam giác ABC.
b) Chứng minh BD = CE.
c) Chứng minh tia AH là tia phân giác của góc BAC.
Hướng dẫn giải
GT | ∆ABC cân tại A, BD ⊥ AC, CE ⊥ AB, BD cắt CE tại H. |
KL | a) Tính số đo các góc còn lại của tam giác ABC; b) BD = CE; c) AH là tia phân giác của góc BAC. |
Chứng minh (Hình vẽ dưới đây):
a) Do tam giác ABC cân tại A (giả thiết)
Nên AB = AC và
Xét tam giác ABC có
Suy ra
Vậy
b) Xét ∆ADB (vuông tại D) và ∆ACE (vuông tại E) có:
AB = AC (chứng minh trên),
A^ là góc chung,
Do đó ∆ABD = ∆ACE (cạnh huyền - góc nhọn).
Suy ra BD = CE (hai cạnh tương ứng).
Vậy BD = CE.
c) Vì ∆ABD = ∆ACE (chứng minh câu a) nên AD = AE (hai cạnh tương ứng).
Xét ∆AHE (vuông tại E) và ∆AHD (vuông tại D) có:
AE = AD (chứng minh trên),
AH là cạnh chung.
Do đó ∆AHE = ∆AHD (cạnh huyền - cạnh góc vuông).
Suy ra
Do đó AH là tia phân giác của
Vậy AH là tia phân giác của
Bài 7 trang 119 Toán 7 Tập 2:
Cho hai tam giác nhọn ABC và ECD, trong đó ba điểm B, C, D thẳng hàng. Hai đường cao BM và CN của tam giác ABC cắt nhau tại I, hai đường cao CP và DQ của tam giác ECD cắt nhau tại K (Hình 143). Chứng minh AI // EK.
Hướng dẫn giải
GT | ∆ABC nhọn và ∆ECD nhọn Ba điểm B, C, D thẳng hàng, ∆ABC: hai đường cao BM và CN cắt nhau tại I, ∆ECD: hai đường cao CP và DQ cắt nhau tại K |
KL | AI // EK. |
Chứng minh (Hình 143):
Vì ∆ABC có hai đường cao BM và CN cắt nhau tại I (giả thiết) nên I là trực tâm của ∆ABC.
Suy ra AI ⊥ BC.
Vì ∆ECD có hai đường cao CP và DQ cắt nhau tại K (giả thiết) nên K là trực tâm của ∆ECD.
Suy ra EK ⊥ CD.
Mà B, C, D thẳng hàng (giả thiết) nên
• AI ⊥ BC (chứng minh trên) suy ra AI ⊥ BD;
• EK ⊥ CD (chứng minh trên) suy ra EK BD.
Do đó AI // EK (hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì hai đường thẳng đó song song)
Vậy AI // EK.
Bài 8 trang 120 Toán 7 Tập 2:
Cho tam giác ABC có O là giao điểm của ba đường trung trực. Qua các điểm A, B, C lần lượt kẻ các đường thẳng vuông góc với OA, OB, OC, hai trong ba đường đó lần lượt cắt nhau tại M, N, P (Hình 144).
Chứng minh:
a) ∆OMA = ∆OMB và tia MO là tia phân giác của góc NMP;
b) O là giao điểm ba đường phân giác của tam giác MNP.
Hướng dẫn giải
GT | ∆ABC, O là giao điểm của ba đường trung trực, MP ⊥ OA, MN ⊥ OB, NP ⊥ OC |
KL | a) ∆OMA = ∆OMB và tia MO là tia phân giác của b) O là giao điểm ba đường phân giác của tam giác MNP. |
Chứng minh (Hình 144):
a) Vì O là giao điểm ba đường trung trực của tam giác ABC nên OA = OB = OC.
Xét ∆OAM (vuông tại A) và ∆OBM (vuông tại B) có:
OM là cạnh chung,
OA = OB (chứng minh trên),
Do đó ∆OAM = ∆OBM (cạnh huyền - cạnh góc vuông).
Suy ra
Khi đó MO là tia phân giác của
Vậy tia MO là tia phân giác của
b) Nối OP (Hình vẽ dưới đây):
Xét ∆OAP (vuông tại A) và ∆OCP (vuông tại C) có:
OP là cạnh chung,
OA = OC (chứng minh trên),
Do đó ∆OAP = ∆OCP (cạnh huyền - cạnh góc vuông).
Suy ra
Khi đó PO là tia phân giác của
Trong một tam giác, ba đường phân giác của tam giác đó luôn cùng đi qua một điểm
Mà O là giao điểm hai đường phân giác của góc
Vậy O là giao điểm ba đường phân giác của tam giác MNP.
Bài 9 trang 120 Toán 7 Tập 2:
Cho tam giác ABC có G là trọng tâm, H là trực tâm, I là giao điểm của ba đường phân giác, O là giao điểm của ba đường trung trực. Các điểm A, G, H, I, O phân biệt. Chứng minh rằng:
a) Nếu tam giác ABC cân tại A thì các điểm A, G, H, I, O cùng nằm trên một đường thẳng.
b) Nếu các điểm A, H, I cùng nằm trên một đường thẳng thì tam giác ABC cân tại A.
Hướng dẫn giải
a)
GT | ∆ABC cân tại A, G là trọng tâm, H là trực tâm, I là giao điểm của ba đường phân giác, O là giao điểm của ba đường trung trực. Các điểm A, G, H, I, O phân biệt |
KL | Các điểm A, G, H, I, O cùng nằm trên một đường thẳng. |
Chứng minh (Hình vẽ dưới đây):
+) Gọi M là trung điểm của BC.
Khi đó AM là đường trung tuyến của ∆ABC.
Lại có G là trọng tâm của tam giác ABC (giả thiết) nên đường trung tuyến AM đi qua trọng tâm G của tam giác.
Do đó A, G, M thẳng hàng (1).
+) Vì M là trung điểm của BC nên MB = MC.
Do tam giác ABC cân tại A (giả thiết) nên AB = AC và
Xét ∆AMB và ∆AMC có:
AK là cạnh chung,
MB = MC (chứng minh trên),
AB = AC (chứng minh trên),
Do đó ∆AMB = ∆AMC (c.c.c).
Suy ra
Mà
Do đó AM ⊥ BC hay AM là đường cao kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC.
Mặt khác H là trực tâm của tam giác ABC (giả thiết) nên đường cao AM đi qua trực tâm H của tam giác.
Do đó A, H, M thẳng hàng (2).
+) Vì O là giao điểm ba đường trung trực của tam giác ABC nên OA = OB = OC.
Xét ∆OBM và ∆OCM có:
OK là cạnh chung,
OB = OC (chứng minh trên),
MB = MC (chứng minh trên),
Do đó ∆OBM = ∆OCM (c.c.c).
Suy ra OMB^=OMC^ (hai góc tương ứng)
Mà OMB^+OMC^=180° (hai góc kề bù) nên OMB^=OMC^=180°2=90°.
Do đó OK ⊥ BC.
Lại có AM ⊥ BC (chứng minh trên)
Suy ra A, O, M thẳng hàng (3).
+) Do BI là tia phân giác của
Do CI là tia phân giác của
Mà
Tam giác IBC có
Xét ∆IBM và ∆ICM có:
IB = IC (chứng minh trên),
IBM^=ICM^ (do IBC^=ICB^),
MB = MC (chứng minh trên),
Do đó ∆IBM = ∆ICM (c.g.c).
Suy ra IMB^=IMC^(hai góc tương ứng)
Mà IKB^+IKC^=180° (hai góc tương ứng) nên IMB^=IMC^=180°/2=90°.
Do đó IM ⊥ BC.
Lại có AM ⊥ BC (chứng minh trên)
Suy ra A, I, K thẳng hàng (4).
Từ (1), (2), (3) và (4) ta có A, G, H, I, O thẳng hàng.
Vậy các điểm A, G, H, I, O thẳng hàng khi tam giác ABC cân tại A.
b)
GT | ∆ABC, G là trọng tâm, H là trực tâm, I là giao điểm của ba đường phân giác, O là giao điểm của ba đường trung trực. Các điểm A, G, H, I, O phân biệt, A, H, I cùng nằm trên một đường thẳng. |
KL | Tam giác ABC cân tại A. |
Chứng minh (Hình vẽ dưới đây):
Gọi M là chân đường cao kẻ từ A tới BC.
Do đó AM là đường cao kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC.
Mà H là trực tâm của tam giác ABC (giả thiết) nên đường cao AM đi qua điểm H.
Khi đó ba điểm A, H, M thẳng hàng.
Mà A, H, I thẳng hàng (giả thiết) nên A, H, I, K thẳng hàng.
Mà AI là tia phân giác của BAC^ nên AM là đường phân giác của BAC^.
Do đó MAB^=MAC^.
Xét ∆ABM (vuông tại M) và ∆ACM (vuông tại M) có:
MAB^=MAC^ (chứng minh trên),
AM là cạnh chung,
Do đó ∆ABM = ∆ACM (cạnh góc vuông – góc nhọn kề).
Suy ra AB = AC (hai cạnh tương ứng).
Tam giác ABC có AB = AC nên tam giác ABC cân tại A.
Vậy nếu các điểm A, H, I cùng nằm trên một đường thẳng thì tam giác ABC cân tại A.
Bài 10 trang 120 Toán 7 Tập 2:
Bạn Hoa vẽ tam giác ABC lên tờ giấy sau đó cắt một phần tam giác ở phía góc A (Hình 145). Bạn Hoa đố bạn Hùng: Không vẽ điểm A, làm thế nào tìm được điểm D trên đường thẳng BC sao cho khoảng cách từ D đến điểm A là nhỏ nhất? Em hãy giúp bạn Hùng tìm cách vẽ điểm D và giải thích cách làm của mình.
Hướng dẫn giải
Để tìm được điểm D trên đường thẳng BC sao cho khoảng cách từ D đến điểm A là nhỏ nhất thì AD là nhỏ nhất.
Khi đó theo tính chất đường xiên và đường vuông góc kẻ từ một điểm đến một đường thẳng, ta thấy DA nhỏ nhất khi AD là đường vuông góc kẻ từ D tới BC (tức là AD ⊥ BC) hay D là chân đường vuông góc kẻ từ A đến BC.
Ta xác định điểm D như sau:
Bước 1. Kẻ hai đường cao xuất phát từ đỉnh B và đỉnh C của tam giác ABC.
Bước 2. Gọi H là giao điểm của hai đường cao xuất phát từ đỉnh B và đỉnh C của tam giác ABC.
Khi đó H chính là trực tâm của tam giác ABC.
Suy ra đường cao AD của tam giác ABC đi qua điểm H.
Do đó HD ⊥ BC tại D.
Bước 3. Từ H kẻ đường vuông góc với BC, cắt BC tại một điểm.
Điểm này chính là điểm D cần tìm.
Ta có hình vẽ sau:
Bài 11 trang 120 Toán 7 Tập 2:
Cho tam giác MNP có
A. 10°
B. 55°;
C. 70°;
D. 110°.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C.
Trong tam giác MNP có:
Vậy
Bài 12 trang 120 Toán 7 Tập 2:
Cho tam giác nhọn MNP có trực tâm H. Khi đó, góc HMN bằng góc nào sau đây?
A. Góc HPN.
B. Góc NMP.
C. Góc MPN.
D. Góc NHP.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A.
Gọi A và B lần lượt là chân đường cao kẻ từ M và P của tam giác MNP.
Xét tam giác MNA vuông tại A có
Suy ra
Xét tam giác BNP vuông tại B có
Suy ra
Từ (1) và (2) suy ra
Vậy
Bài 13 trang 120 Toán 7 Tập 2:
Cho tam giác MNP có MN = 1 dm, NP = 2 dm, MP = x dm với x ∈ {1; 2; 3; 4}. Khi đó, x nhận giá trị nào?
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 4.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B.
Xét tam giác MNP ta có:
NP - MN < MP < NP + MN (bất đẳng thức tam giác)
Hay 2 – 1 < x < 2 + 1
Do đó: 1 < x < 3.
Mà x ∈ {1; 2; 3; 4} nên x = 2.
Vậy x = 2.
Bài 14 trang 120 Toán 7 Tập 2:
Nếu tam giác MNP có trọng tâm G, đường trung tuyến MI thì tỉ số
A. 3/4.
B. 1/2.
C. 2/3.
D. 1/3.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C.
Vì G là trọng tâm của tam giác MNP nên
Vậy