Toán 7 bài 3: Tam giác cân

Giải bài tập Toán 7 bài 3: Tam giác cân hướng dẫn giải bài tập trong SGK Toán 7 Chân trời sáng tạo, giúp cho các bạn học sinh ôn tập và củng cố các dạng bài tập, rèn luyện kỹ năng giải môn Toán. Mời các bạn tham khảo.

Khởi động trang 59 SGK Toán 7 tập 2 CTST

Em hãy đo rồi so sánh độ dài hai cạnh AB và AC của tam giác ABC có trong hình di tích ga xe lửa Đà Lạt dưới đây.

Hướng dẫn giải:

Thực hiện đo ta thu được AB = 1 cm, AC = 1 cm nên AB = AC.

Khám phá 1 trang 59 SGK Toán 7 tập 2 CTST

Gấp đôi một tờ giấy hình chữ nhật ABCD theo đường gấp MS. Cắt hình gấp được theo đường chéo AS rồi trải phẳng hình cắt được ra ta có tam giác SAB (Hình 1). Em hãy so sánh hai cạnh SA và SB của tam giác này.

Hướng dẫn giải:

Thực hiện theo hướng dẫn và đo, ta thu được SA = SB.

Thực hành 1 trang 60 SGK Toán 7 tập 2 CTST

Tìm các tam giác cân trong Hình 4. Kể tên các cạnh bên, cạnh đáy, góc ở đỉnh, góc ở đáy của mỗi tam giác cân đó.

Hướng dẫn giải:

Ta có MN = ME + EN = 1 + 1 = 2 cm; MP = MF + FP = 1 + 1 = 2 cm.

Tam giác MEF có ME = MF = 1 cm nên tam giác MEF cân tại M.

Tam giác MEF cân tại M nên ME và MF là cạnh bên, EF là cạnh đáy, \(\hat{EMF}\) là góc ở đỉnh, \(\hat{MEF}\) và \(\hat{MFE}\) là góc ở đáy.

Tam giác MNP có MN = MP = 2 cm nên tam giác MNP cân tại M.

Tam giác MNP cân tại M nên MN và MP là cạnh bên, NP là cạnh đáy, \(\hat{NMP}\) là góc ở đỉnh, \(\hat{MNP}\) và \(\hat{MPN}\) là góc ở đáy.

Tam giác MPH có MP = MH = 2 cm nên tam giác MPH cân tại M.

Tam giác MPH cân tại M nên MP và MH là cạnh bên, PH là cạnh đáy, \(\hat{PMH}\) là góc ở đỉnh, \(\hat{MPH}\) và \(\hat{MHP}\) là góc ở đáy.

Khám phá 2 Toán 7 tập 2 SGK trang 60

Cho tam giác ABC cân tại A (Hình 5). Gọi M là trung điểm cạnh BC. Nối A với M.

Em hãy làm theo gợi ý sau để chứng minh \(\hat{ABC} = \hat{ACB}\)

Xét Δ AMB và Δ AMC có:

AB = ? (?)

MB = MC (?)

AM là cạnh ?

Vậy △ AMB = △ AMC (c.c.c).

Suy ra \(\hat{ABC} = \hat{ACB}\)

Hướng dẫn giải:

Xét △ AMB và △ AMC có:

AB = AC (do △ ABC cân tại A)

MB = MC (do M là trung điểm của BC)

AM là cạnh chung

Vậy △ AMB = △ AMC (c.c.c).

Suy ra \(\hat{ABC} = \hat{ACB}\)

Thực hành 2 trang 61 SGK Toán 7 tập 2 CTST

Tìm số đo các góc chưa biết của mỗi tam giác trong Hình 7.

Hướng dẫn giải:

Tam giác MNP có MN = MP nên tam giác MNP cân tại M.

Do đó \(\hat{MNP} = \hat{MPN} = 70^{\circ}\)

Trong tam giác MNP: \(\hat{NMP} = 180^{\circ} - \hat{MNP} - \hat{MPN} = 180^{\circ} - 70^{\circ} -70^{\circ} = 40^{\circ}\)

Tam giác EFH có EF = EH nên tam giác EFH cân tại E.

Do đó \(\hat{EFH} = \hat{EHF}\)

Trong tam giác EFH: \(\hat{FEH} + \hat{EFH} + \hat{EHF} = 180^{\circ}\)

Suy ra \(2 \hat{EFH} = 180^{\circ} - \hat{FEH} = 180^{\circ} - 70^{\circ} = 110^{\circ}\)

Do đó \(\hat{EFH} = \hat{EHF} = 55^{\circ}\)

Vậy \(\hat{M} = 40^{\circ} , \hat{P} = 70^{\circ} , \hat{F} = \hat{H} = 55^{\circ}\)

Vận dụng 1 Toán 7 tập 2 SGK trang 61

Trong hình mái nhà ở Hình 8, tính góc B và góc C, biết \(\hat{A} = 110^{\circ}\)

Hướng dẫn giải:

Tam giác ABC có AB = AC nên tam giác ABC cân tại A.

Do đó \(\hat{B} = \hat{C}\)

Trong tam giác ABC: \(\hat{A} + \hat{B} + \hat{C} = 180^{\circ}\)

Suy ra \(2\hat{B} = 180^{\circ} - \hat{A} = 180^{\circ} - 110^{\circ} = 70^{\circ}\)

Do đó \(\hat{B} = \hat{C} = 35^{\circ}\)

Khám phá 3 Toán 7 tập 2 SGK trang 61

Cho tam giác ABC có \(\hat{A} = \hat{C}\) . Vẽ đường thẳng đi qua điểm B, vuông góc với AC và cắt AC tại điểm H (Hình 9). Em hãy làm theo gợi ý sau để chứng minh BA = BC.

Xét Δ AHB và Δ CHB cùng vuông tại H, ta có:

BH là cạnh góc vuông ?;

\(\hat{HAB} = \hat{HCB}\) suy ra \(\hat{ABH} = \hat{CBH} ?\)

Vậy △ AHB = △ CHB. Suy ra BA = BC.

Hướng dẫn giải:

Xét Δ AHB và Δ CHB cùng vuông tại H, ta có:

BH là cạnh góc vuông chung;

\(\hat{HAB} = \hat{HCB}\) suy ra \(\hat{ABH} = \hat{CBH}\) (do \(\hat{ABH} = 90^{\circ} - \hat{HAB}\) và \(\hat{CBH} = 90^{\circ} - \hat{HCB}\) )

Vậy Δ AHB = Δ CHB. Suy ra BA = BC.

Thực hành 3 trang 62 SGK Toán 7 tập 2 CTST

Tìm các tam giác cân trong Hình 11 và đánh dấu các cạnh bằng nhau.

Hướng dẫn giải:

Tam giác ABC có \(\hat{ABC} = \hat{ACB} = 68^{\circ}\) nên tam giác ABC cân tại A.

Do đó AB = AC.

Tam giác MNP vuông tại N nên \(\hat{NPM} = 90^{\circ} - \hat{NMP} = 90^{\circ} - 45^{\circ} = 45^{\circ}\) (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng \(90^{\circ}\) )

Tam giác MNP có \(\hat{NMP} = \hat{NPM} = 45^{\circ}\) nên tam giác MNP cân tại N.

Do đó NM = NP.

Tam giác EFG có \(\hat{E} = 35^{\circ} , \hat{G} = 27^{\circ} , \hat{F}\) là góc tù nên tam giác EFG không có hai góc nào bằng nhau.

Do đó tam giác EFG không phải tam giác cân.

Ta có hình vẽ sau:

Giải Vận dụng 2 Toán 7 tập 2 SGK trang 62

Vận dụng 2 (SGK trang 62): Cho tam giác ABC cân tại A có góc B bằng \(60^{\circ}\) .

Chứng minh rằng tam giác ABC đều.

Hướng dẫn giải:

Tam giác ABC cân tại A nên AB = AC và \(\hat{B} = \hat{C} = 60^{\circ}\)

Tam giác ABC có: \(\hat{A} = 180^{\circ} - \hat{B} - \hat{C} = 180^{\circ} - 60^{\circ} - 60^{\circ} = 60^{\circ}\)

Tam giác ABC có nên tam giác ABC cân tại C.

Do đó CA = CB.

Mà AB = AC nên AB = AC = BC.

Vậy tam giác ABC là tam giác đều.

Bài 1 trang 62 SGK Toán 7 tập 2 CTST

Tìm các tam giác cân và tam giác đều trong mỗi hình sau (Hình 13). Giải thích.

Hướng dẫn giải

a. \(\Delta ABM\) đều vì AB = AM = BM

\(\Delta AMC\) cân tại M vì AM= MC

b. \(\Delta EHF\) cân tại E vì EH = EF

\(\Delta EDG\) đều vì: ED = EG = DG

\(\Delta EDH\) cân tại D vì DE = DH

\(\Delta EGF\) cân tại G vì GE = GF

c. \(\Delta EGH\) cân tại E vì EG = EH

\(\Delta IGH\) đều vì \(\widehat{I} = 60^{0}\), IG = IH

d. \(\Delta MBC\) cân tại C vì \(\widehat{M} = \widehat{B} = 71^{0}\).

\((\widehat{B} = 180^{o} - 71^{o} - 38^{o} = 71^{o} )\).

Bài 2 trang 62 SGK Toán 7 tập 2 CTST

Cho hình 14, biết ED = EF và EI là tia phân giác của\(\widehat{DEF}\).

Chứng minh rằng:

a. \(\Delta EID = \Delta EIF\)

b. Tam giác DIF cân.

Hướng dẫn giải

a. Xét \(\Delta EID\) và \(\Delta EIF\) có:

EI chung

\(\widehat{DEI} = \widehat{IEF}\)

DE = EF.

\(\Rightarrow \Delta EID = \Delta EIF (c.g.c)\)

b. Vì \(\Delta EID = \Delta EIF\) (chứng minh trên)

\(\Rightarrow ID = IF\)

\(\Rightarrow\) Tam giác DIF cân tại I.

Bài 3 trang 63 SGK Toán 7 tập 2 CTST

Cho tam giác ABC cân tại A có \(\widehat{A} = 56^{0}\)

a. Tính \(\widehat{B}, \widehat{C}\).

b. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC. Chứng minh tam giác AMN cân.

c. Chứng minh rằng MN // BC.

Hướng dẫn giải

a. Vì tam giác ABC cân tại A \(\Rightarrow \widehat{B} = \widehat{C} = (180^{0} - 56^{0}) : 2 = 62^{0}\)

b. Vì M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC nên \(AM = MB = \frac{AB}{2}, AM = MC = \frac{AC}{2}\)

mà AB = AC ( vì \(\Delta ABC\) cân)

\(\Rightarrow AM = AN\)

\(\Rightarrow\) Tam giác AMN cân tại A.

c. Xét \(\Delta AMN\) cân tại A có: \(\widehat{AMN} = \frac{180^{o}-\widehat{A}}{2}\)

Xét \(\Delta ABC\) cân tại A có: \(\widehat{ABC} = \frac{180^{o}-\widehat{A}}{2}\)

\(\Rightarrow \widehat{AMN} = \widehat{ABC}\)

Mà 2 góc này ở vị trí đồng vị

\(\Rightarrow MN // BC\).

Bài 4 trang 63 SGK Toán 7 tập 2 CTST

Cho tam giác ABC cân tại A (hình 16). Tia phân giác của góc B cắt AC tại F, tia phân giác của góc C cắt AB tại E.

a) Chứng minh rằng \(\widehat{ABF} = \widehat{ACE}\)

b) Chứng minh rằng tam giác AEF cân.

c) Gọi I là giao điểm của BF và CE. Chứng minh rằng tam giác IBC và tam giác IEF là những tam giác cân.

Hướng dẫn giải

a) Vì tam giác ABC cân tại A

\(\Rightarrow \widehat{B} = \widehat{C}\)

Mà \(\widehat{ABF} = \frac{1}{2}\widehat{B}; \widehat{ACE}= \frac{1}{2}\widehat{C}\)

\(\Rightarrow \widehat{ABF} = \widehat{ACE}\)

b) Xét tam giác \(\Delta AEC\) và \(\Delta AFB\) có:

\(\widehat{A}\) chung

AB = AC

\(\widehat{ABF} = \widehat{ACE}\)

\(\Rightarrow \Delta AEC = \Delta AFB (g.c.g)\)

\(\Rightarrow AE = AF\)

\(\Rightarrow\)Tam giác AEF cân tại A.

c) +) Chứng minh tương tự câu a ta có: \(\widehat{IBC} = \widehat{ICB}\).

Xét tam giác IBC có: \(\widehat{IBC} = \widehat{ICB}\)

\(\Rightarrow \Delta IBC\) cân tại I.

+) \(\Delta IBC\) cân tại I nên IB = IC

\(\Delta AEC = \Delta AFB\) nên BF = CE

Ta có: IE = CE - IC; IF = BF - BI

\(\Rightarrow IE = IF\)

\(\Rightarrow \Delta IEF\) cân tại I.

Bài 5 trang 63 SGK Toán 7 tập 2 CTST

Phần thân của một móc treo quần áo có dạng hình tam giác cân (Hình 17a) được vẽ lại như Hình 17b. Cho biết AB = 20cm; BC = 28cm và \(\widehat{B} = 35^{0}\). Tìm số đo các góc còn lại và chu vi của tam giác ABC.

Hướng dẫn giải

Vì tam giác ABC cân tại A

\(\Rightarrow AB = AC = 20cm; \widehat{B} = \widehat{C} = 35^{0}\)

\(\Rightarrow \widehat{A} = 180^{0} - 35^{0} - 35^{0}= 110^{0}\)

Chu vi tam giác ABC = AB + AC + BC = 20 + 20 + 28 = 68 (cm).

Bài 6 trang 63 SGK Toán 7 tập 2 CTST

Một khung cửa sổ hình tam giác có thiết kế như Hình 18a được vẽ lại như Hình 18b

a. Cho biết \(\widehat{A_{1}} = 42^{0}\). Tính số đo của \(\widehat{M_{1}}, \widehat{B_{1}}, \widehat{M_{2}}\)

b. Chứng minh MN // BC, MP // AC.

c. Chứng minh bốn tam giác cân AMN, MBP, PMN, NPC bằng nhau.

Hướng dẫn giải

a. Vì AM = AN => Tam giác AMN cân tại A

\(=> \widehat{M_{1}} = \frac{180^{o}-\widehat{A}}{2}=69^{0}\).

+ Trong tam giác ABC có AB = BC (vì AM = AN = BM = CN; AB = AM + MB; AC = AN + NC)

=> Tam giác ABC cân tại A

\(=> \widehat{B_{1}} =\frac{180^{o}-\widehat{A}}{2}=69^{0}\).

+ Trong tam giác MBP có MB = MP

=> Tam giác MBP cân tại M

\(=> \widehat{M_{2}} = 180^{o}- 2.\widehat{B_{1}} = 42^{0}\)

b. + Vì \(\widehat{M_{1}} = \widehat{B_{1}}\)

Mà 2 góc này ở vị trí đồng vị

=> MN // BC

+ Ta có: \(\widehat{M_{2}} = \widehat{A_{1}} = 42^{0}\)

mà hai góc ở vị trí đồng vị

=> MP // AC.

c. + Xét \(\Delta AMN\) và \(\Delta MBP\) có:

AM = MB

\(\widehat{M_{2}} = \widehat{A_{1}} = 42^{0}\)

AN = MP

\(\Rightarrow \Delta AMN = \Delta MBP (c.g.c)\).

+ Xét \(\Delta PMN\) và \(\Delta NPC\) có:

PM = NP

\(\widehat{MPN} = \widehat{PNC}\) (vì MP // AC, hai góc ở vị trí so le trong).

PN = NC

\(\Rightarrow \Delta PMN = \Delta NPC (c.g.c)\)

+ Xét \(\Delta PMN\) và \(\Delta AMN\) có:

MN chung

PM = AM

PN = AN

\(\Rightarrow \Delta PMN = \Delta AMN (c.c.c)\).

Vậy bốn tam giác cân AMN, MBP, PMN, NPC bằng nhau.