Toán 7 Bài 1: Tỉ lệ thức - Dãy tỉ số bằng nhau

Giải Toán 7 Bài 1: Tỉ lệ thức - Dãy tỉ số bằng nhau hướng dẫn giải bài tập trong SGK Toán 7 Chân trời sáng tạo tập 2, giúp các em học sinh ôn tập, củng cố kiến thức được học trong bài 1 chương 6 Toán 7. Sau đây mời các bạn tham khảo chi tiết.

1. Tỉ lệ thức

Hoạt động 1 trang 6 SGK Toán 7 tập 2

Cho hai máy tính xách tay (laptop) có kích thước màn hình (tính theo đơn vị mm) lần lượt là 227,6 × 324 và 170,7 × 243. Tính tỉ số giữa chiều rộng và chiều dài của mỗi màn hình.

Hướng dẫn giải:

Tỉ số giữa chiều rộng và chiều dài của chiếc laptop thứ nhất là:

=> $227,6:324=\frac{2276}{3240}=\frac{569}{810}$

Tỉ số giữa chiều rộng và chiều dài của chiếc laptop thứ hai là:

=> $170,7:243=\frac{1707}{2430}=\frac{569}{810}$

Tỉ số giữa chiều rộng và chiều dài của chiếc laptop thứ nhất bằng tỉ số giữa chiều rộng và chiều dài của chiếc laptop thứ hai là $\frac{569}{810}$.

Thực hành 1 trang 6 SGK Toán 7 tập 2

a) Từ các tỉ số $\frac{6}{5}:2$ và $\frac{12}{5}:4$ có lập được một tỉ lệ thức hay không?

b) Hãy lập hai tỉ lệ thức từ bốn số 9; 2; 3; 6.

Hướng dẫn giải:

a) Ta có

$\frac{6}{5}:2=\frac{6}{5}.\frac{1}{2}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$

$\frac{12}{5}:4=\frac{12}{5}.\frac{1}{4}=\frac{12}{20}=\frac{3}{5}$

=> $\frac{6}{5}:2=\frac{12}{5}:4$ nên ta có thể lập được một tỉ lệ thức.

b) Ta có: 9.2 = 3.6

=> Ta lập được hai tỉ lệ thức từ các số 9; 2; 3; 6 như sau:

$\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{9}{3}}={\displaystyle \frac{6}{2}}\hfill \\ {\displaystyle \frac{2}{6}}={\displaystyle \frac{3}{9}}\hfill \end{array}$

Vận dụng 1 trang 6 SGK Toán 7 tập 2

Chứng minh các tỉ số giữa chiều rộng và chiều dài của màn hình hai loại máy tính đã nêu trong Hoạt động khám phá 1 tạo thành một tỉ lệ thức.

Hướng dẫn giải:

Từ Hoạt động khám phá 1 ta có:

$227,6:324=\frac{569}{810}=170,7:243$

=> Tỉ số giữa chiều rộng và chiều dài của màn hình hai loại máy tính đã nêu trong Hoạt động khám phá 1 tạo thành một tỉ lệ thức.

Khám phá 2 trang 6 Toán 7 Tập 2

a) Từ tỉ lệ thức ${\displaystyle \frac{48}{64}}={\displaystyle \frac{9}{12}}$, ta nhân cả hai vế với 64.12 thì có kết quả gì?

b) Từ tỉ lệ thức ${\displaystyle \frac{a}{b}}={\displaystyle \frac{c}{d}}$, ta nhân cả hai vế với b.d thì có kết quả gì?

Hướng dẫn giải

a) ${\displaystyle \frac{48}{64}}={\displaystyle \frac{9}{12}}$ta nhân cả 2 vế cho 64.12 được : ${\displaystyle \frac{48}{64}}.(64.12)={\displaystyle \frac{9}{12}}.(64.12)$

$\Rightarrow$${\displaystyle \frac{48.64.12}{64}}={\displaystyle \frac{9.64.12}{12}}$$\Rightarrow$$48.12$= $9.64$ $\iff$ 576 = 48.12 = 9.64

$\Rightarrow$ Ta thấy nhân cả 2 vế với 64.12 ta được 2 vế sau khi rút gọn bằng nhau

b) ${\displaystyle \frac{a}{b}}={\displaystyle \frac{c}{d}}$ nhân cả 2 vế với b.d ta có : ${\displaystyle \frac{a\cdot b\cdot d}{b}}={\displaystyle \frac{c\cdot b.d}{d}}$ sau khi rút gọn cả 2 vế ta được : a.b = c.d

Khám phá 3 trang 7 Toán 7 Tập 2

Từ đẳng thức 48.12 = 64.9, ta chia cả hai vế cho 64.12 thì có kết quả gì?

Từ đẳng thức ad = cb, ta chia cả hai vế cho bd thì có kết quả gì?

Hướng dẫn giải

• Ta nhân rồi chi cả 2 vế cho 64.12

48 . 12 = 576 ta lấy 576 : (64 . 12) = ${\displaystyle \frac{576}{768}}$ ta thấy ước chung lớn nhất của tử và mẫu là 192 nên ta rút gọn phân số ${\displaystyle \frac{576:192}{768:192}}={\displaystyle \frac{3}{4}}$

Xét vế trái 64 . 9 = 576 ta lấy 567 : (64 . 12) = ${\displaystyle \frac{576}{768}}={\displaystyle \frac{3}{4}}$

Như vậy sau khi chia cả 2 vế cho 64 . 12 ta được kết quả là cả 2 vế bằng nhau và cùng bằng ${\displaystyle \frac{3}{4}}$

Từ đẳng thức ad = cb ta chia cả 2 vế cho bd sẽ được

${\displaystyle \frac{ad}{bd}}={\displaystyle \frac{bc}{bd}}\iff {\displaystyle \frac{a}{b}}={\displaystyle \frac{c}{d}}$

Thực hành 2 trang 7 Toán 7 Tập 2

Tìm x trong tỉ lệ thức ${\displaystyle \frac{5}{3}}={\displaystyle \frac{x}{9}}$

Hướng dẫn giải

Ta có : ${\displaystyle \frac{5}{3}}={\displaystyle \frac{x}{9}}\Rightarrow 5.9=3x\iff 45=3x\Rightarrow x=45:3$

$\Rightarrow$ x = 15

Vậy x = 15

Vận dụng 2 trang 7 Toán 7 Tập 2

Hãy viết một tỉ lệ thức từ đẳng thức x = 2y.

Hướng dẫn giải

Ta có đẳng thức : x = 2y

$\Rightarrow$1 . x = 2y

$\Rightarrow$${\displaystyle \frac{2}{x}}={\displaystyle \frac{1}{y}}$ hoặc ${\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{y}{x}}$ hoặc ${\displaystyle \frac{2}{1}}={\displaystyle \frac{x}{y}}$$\iff$$2={\displaystyle \frac{x}{y}}$ hoặc ${\displaystyle \frac{x}{2}}={\displaystyle \frac{1}{y}}$

Vậy từ đẳng thức : x = 2y ta sẽ viết được 4 tỉ lệ thức .

2. Dãy tỉ số bằng nhau

Khám phá 4 trang 7 Toán 7 Tập 2

Các bạn Bình, Mai và Lan cùng thi giải nhanh các bài toán trong sách Bài tập Toán 7. Trong một giờ, số bài làm được của mỗi bạn lần lượt là 4;3;5. Cô giáo thưởng cho mỗi bạn số hình dán lần lượt là 8;6;10. Hãy so sánh tỉ số giữa số hình dán được thưởng và số bài toán làm được của mỗi bạn

Hướng dẫn giải

Tỉ số giữa số bài làm được và số hình dán được thưởng của bạn Bình là : ${\displaystyle \frac{3}{6}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$

Tỉ số giữa số bài làm được và số hình dán được thưởng của bạn Mai là : ${\displaystyle \frac{3}{6}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$

Tỉ số giữa số bài làm được và số hình dán được thưởng của bạn Lan là : ${\displaystyle \frac{5}{10}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$

Sau khi rút gọn ta thấy tỉ số giữa số bài làm được và hình dán được thưởng của mỗi bạn đều bằng nhau và cùng bằng ${\displaystyle \frac{1}{2}}$

Thực hành 3 trang 7 Toán 7 Tập 2

Cho biết ba số a,b,c tỉ lệ với các số 2;4;6. Hãy ghi dãy tỉ số bằng nhau tương ứng

Hướng dẫn giải

Theo đề bài các số a, b, c tỉ lệ với các số 2, 4, 6

$\Rightarrow$ a : b : c = 2 : 4 : 6

$\Rightarrow$ ${\displaystyle \frac{a}{2}}={\displaystyle \frac{b}{4}}={\displaystyle \frac{c}{6}}$ ( Áp dụng lí thuyết về dãy tỉ số bằng nhau )

Vận dụng 3 trang 7 Toán 7 Tập 2

Gọi m, n, p, q là số quyển vở được chia của bốn bạn Mai, Ngọc, Phú, Quang. Cho biết số điểm 10 đạt được của bốn bạn lần lượt là 12;13;14;15 và số quyển vở được chia tỉ lệ với số điểm 10. Hãy viết dãy tỉ số bằng nhau tương ứng.

Hướng dẫn giải

Tỉ số giữa số quyển vở và số điểm 10 của bạn Mai là : ${\displaystyle \frac{m}{12}}$

Tỉ số giữa số quyển vở và số điểm 10 của bạn Ngọc là : ${\displaystyle \frac{n}{13}}$

Tỉ số giữa số quyển vở và số điểm 10 của bạn Phú là : ${\displaystyle \frac{p}{14}}$

Tỉ số giữa số quyển vở và số điểm 10 của bạn Quang là : ${\displaystyle \frac{q}{15}}$

Từ các tỉ số trên ta lập được dãy tỉ số bằng nhau : ${\displaystyle \frac{m}{12}}={\displaystyle \frac{n}{13}}={\displaystyle \frac{p}{14}}={\displaystyle \frac{q}{15}}$

Thực hành 4 trang 9 Toán 7 Tập 2

Tìm hai số x, y biết rằng:

a) x + y = 30 và ${\displaystyle \frac{x}{2}}$= ${\displaystyle \frac{y}{3}}$

b) x – y = −21 và ${\displaystyle \frac{x}{5}}$= ${\displaystyle \frac{y}{-2}}$

Hướng dẫn giải

a) $x+y=30;{\displaystyle \frac{x}{2}}={\displaystyle \frac{y}{3}}$ áp dụng tính chất của tỉ lệ thức ra có :

$\Rightarrow {\displaystyle \frac{x+y}{2+3}}={\displaystyle \frac{x}{2}}$

$\Rightarrow {\displaystyle \frac{30}{5}}={\displaystyle \frac{x}{2}}$

$\Rightarrow 30.2=x.5$

$$\begin{gathered} \Rightarrow 60:5=x \\ \Rightarrow x=12 \end{gathered}$$

$\Rightarrow 14+y=30$ (thay x vừa tìm được = 12 vào x + y = 30 để tìm ra y)

$\Rightarrow y=18$

Vậy x = 12 y = 18

b) Ta có : ${\displaystyle \frac{x}{5}}={\displaystyle \frac{y}{-2}}$= ${\displaystyle \frac{x-y}{5+2}}$( áp dụng tính chất tỉ lệ thức ) (1)

Mà theo đề bài x – y = -21

Thay -21 vào (1)

$\Rightarrow$x = (-3).5

$\Rightarrow$x = -15

Thay x bằng -15 ta có -15 – y = -21

$\Rightarrow$y = -15 + 21

$\Rightarrow$y = 6

Vậy x = -15 và y = 6

Vận dụng 4 trang 9 Toán 7 Tập 2

a) Nguyên liệu của món mứt dừa sau khi hoàn thành chỉ gồm dừa và đường theo tỷ lệ 2 : 1. Tính xem trong 6 kg mứt dừa có bao nhiêu ki-lô-gam dừa và bao nhiêu ki-lô-gam đường.

b) Bạn Dũng và bạn Thủy muốn làm mứt gừng theo công thức: Cứ 3 phần gừng thì cần 2 phần đường. Hai bạn mua 600g gừng. Hai bạn cần mua bao nhiêu gam đường?

c) Mẹ chỉ có 10 quyển vở, số vở chia cho hai chị em An và Bình. Tính số sách chia cho mỗi em, biết rằng số tuổi của An và Bình là 8; 12 và số sách tỉ lệ thuận với số tuổi

Thực hành 5 trang 9 Toán 7 Tập 2

Tìm ba số x, y, z, biết x + y + z = 100 và x : y : z = 2 : 3 : 5

Hướng dẫn giải

Từ dãy x : y : z = 2 : 3 : 5 ta có : ${\displaystyle \frac{x}{2}}={\displaystyle \frac{y}{3}}={\displaystyle \frac{z}{5}}$

Mà theo đề bài x + y + z = 100

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

${\displaystyle \frac{x}{2}}={\displaystyle \frac{y}{3}}={\displaystyle \frac{z}{5}}={\displaystyle \frac{x+y+z}{2+3+5}}={\displaystyle \frac{100}{10}}=10$

$\Rightarrow$ 10 $={\displaystyle \frac{x}{2}}$$\Rightarrow$ x = 10.2 = 20

$\Rightarrow$ 10 $={\displaystyle \frac{y}{3}}$ $\Rightarrow$ y = 10.3 = 30

$\Rightarrow$ 10 $={\displaystyle \frac{z}{5}}$ $\Rightarrow$ z = 10.5 = 50

Vận dụng 5 trang 9 Toán 7 Tập 2

Hãy giải bài toán tiền lãi ở hoạt động khởi động (trang 6)

Đầu năm, các bác Xuân, Yến, Dũng góp vốn làm ăn với số tiền lần lượt là 300 triệu đồng, 400 triệu đồng và 500 triệu đồng . Tiền lãi thu được sau một năm là 240 triệu đồng . Hãy tìm số tiền lãi mỗi bác được chia, biết rằng tiền lãi được chia tỉ lệ với số tiền đã góp .

Hướng dẫn giải

Tổng số vốn của 3 bác Xuân, Yến, Dũng là : 300 + 400 + 500 = 1200 triệu đồng .

Tỉ lệ vốn của bác Xuân là : ${\displaystyle \frac{300}{1200}}$$={\displaystyle \frac{1}{4}}$

TỈ lệ góp vốn của bác Yến là : ${\displaystyle \frac{400}{1200}}$$={\displaystyle \frac{1}{3}}$

Tỉ lệ góp vốn của bác Dũng là : ${\displaystyle \frac{500}{1200}}$ $={\displaystyle \frac{5}{12}}$

Từ các tỉ lệ góp vốn trên ta tính được tỉ lệ lãi của mỗi người theo số vốn là :

Bác Xuân có số lãi là : ${\displaystyle \frac{1}{4}}\times 240$= 60 ( triệu đồng )

Bác Yến có số lãi là : ${\displaystyle \frac{1}{3}}\times 240$= 80 ( triệu đồng )

Bác Dũng có số lãi là : 240 – 80 - 60 = 100 ( triệu đồng )

Giải Toán 7 trang 10

Bài 1 trang 10 SGK Toán 7 tập 2

Tìm các tỉ số bằng nhau trong các tỉ số sau đây rồi lập các tỉ lệ thức:

7:21; $\frac{1}{5}:\frac{1}{2}$; $\frac{1}{4}:\frac{3}{4}$; 1,1:3,2; 1:2,5

Hướng dẫn giải:

Ta có: $\frac{1}{5}:\frac{1}{2}=1:2,5$, nên ta có tỉ lệ thức: $\frac{1}{5}:\frac{1}{2}=1:2,5$ hay $\frac{2}{5}=\frac{1}{2,5}$

Có: $7:21=\frac{1}{4}:\frac{3}{4}$, nên có tỉ lệ thức: $7:21=\frac{1}{4}:\frac{3}{4}$, hay $\frac{7}{21}=\frac{1}{3}$.

Bài 2 trang 10 SGK Toán 7 tập 2

Lập tất cả các tỉ lệ thức có thể được từ đẳng thức sau:

a) 3.(-20)=(-4).15

b) 0,8 . 8,4 = 1,4 . 4,8.

Hướng dẫn giải:

a) $\frac{3}{-4}=\frac{15}{-20}$

$\frac{3}{15}=\frac{-4}{-20}$

$\frac{-20}{-4}=\frac{15}{3}$

$\frac{-20}{15}=\frac{-4}{3}$

b) $\frac{0,8}{1,4}=\frac{4,8}{8,4}$

$\frac{0,8}{4,8}=\frac{1,4}{8,4}$

$\frac{8,4}{4,8}=\frac{1,4}{0,8}$

$\frac{8,4}{1,4}=\frac{4,8}{0,8}$

Bài 3 trang 10 SGK Toán 7 tập 2

Tìm hai số x, y biết rằng:

a.$\frac{x}{4}=\frac{y}{7}$ và x+y=55

b. $\frac{x}{8}=\frac{y}{3}$ và x-y=35

Hướng dẫn giải:

a) $\frac{x}{4}=\frac{y}{7}=\frac{x+y}{4+7}=\frac{55}{11}=5$

=> x = 5.4 = 20;

y = 5. 7 = 35.

b) $\frac{x}{8}=\frac{y}{3}=\frac{x-y}{8-3}=\frac{35}{5}=7$

=> x = 7. 8 = 56;

y = 7. 3 =21.

Bài 4 trang 10 SGK Toán 7 tập 2

a. Tìm hai số a, b biết rằng 2a = 5b và 3a + 4b = 46

b. Tìm ba số a, b, c biết rằng a : b : c = 2 : 4 : 5 và a + b - c = 3

Hướng dẫn giải:

a) Ta có: 2a = 5b

$=>\frac{a}{5}=\frac{b}{2}$

Lại có: $\frac{a}{5}=\frac{3a}{15};\frac{b}{2}=\frac{4b}{8}$

$=>\frac{3a}{15}=\frac{4b}{8}=\frac{3a+4b}{15+8}=\frac{46}{23}=2$

=> 3a = 2. 15 = 30 => a = 10

4b = 2. 8 = 16 => b = 4.

b) a : b : c = 2 : 4 : 5

$=>\frac{a}{2}=\frac{b}{4}=\frac{c}{5}=\frac{a+b-c}{2+4-5}=\frac{3}{1}=3$

=> a = 2. 3 = 6

b = 4. 3 = 12

c = 5. 3 = 15

Bài 5 trang 10 SGK Toán 7 tập 2

Tính diện tích của hình chữ nhật có chu vi là 28cm và độ dài hai cạnh tỉ lệ với các số 3; 4.

Hướng dẫn giải:

Gọi a, b là kích thước của hình chữ nhật. $(a,b\in \mathbb{N})$.

+ Chu vi hình chữ nhật là: 2.(a + b) = 28

=> a + b = 14.

+ Độ dài hai cạnh tỉ lệ với 3; 4 nên có: $\frac{a}{3}=\frac{b}{4}$

$=>\frac{a}{3}=\frac{b}{4}=\frac{a+b}{3+4}=\frac{14}{7}=2$

=> a = 3. 2 = 6; b = 4.2 = 8

Diện tích hình chữ nhật đó là : 8.6 = 48 (cm²).

Bài 6 trang 10 SGK Toán 7 tập 2

Tại một xí nghiệp may, trong mỗi giờ cả ba tổ A, B, C làm được tổng cộng 60 sản phẩm. Cho biết số sản phẩm làm được của ba tổ A, B, C tỉ lệ với các số 3, 4, 5. Hỏi mỗi tổ làm được bao nhiêu sản phẩm trong 1 giờ.

Hướng dẫn giải:

Gọi số sản phẩm tổ A, B, C làm được trong 1 giờ lần lượt là $a,b,c(a,b,c\in \mathbb{N})$

Theo đề bài ta có: $\frac{a}{3}=\frac{b}{4}=\frac{c}{5}$ và a + b + c = 60

$=>\frac{a}{3}=\frac{b}{4}=\frac{c}{5}=\frac{a+b+c}{3+4+5}=\frac{60}{12}=5$

=> a = 3. 5 = 15; b = 4. 5 = 20; c = 5. 5 = 25.

Vậy tổ A làm được 15 sản phẩm, tổ B làm được 20 sản phẩm, tổ C làm được 25 sản phẩm.

Bài 7 trang 10 SGK Toán 7 tập 2

Một công ty có ba chi nhánh là A, B, C. Kết quả kinh doanh trong tháng vừa qua ở các chi nhánh A và B có lãi còn chi nhánh C lỗ. Cho biết số tiền lãi, lỗ của ba chi nhánh tỉ lệ với các số 3, 4, 2. Tìm số tiền lãi, lỗ của mỗi chi nhánh trong tháng vừa qua, biết rằng trong tháng đó công ty lãi được 500 triệu đồng.

Hướng dẫn giải:

Gọi số tiền lãi của các chi nhanh A, B lần lượt là: a, b; số tiền lỗ của chi nhánh C là c. (a, b, c > 0

Theo đề bài ta có: $\frac{a}{3}=\frac{b}{4}=\frac{c}{2}$ và a + b - c = 500.

$=>\frac{a}{3}=\frac{b}{4}=\frac{c}{2}=\frac{a+b-c}{3+4-2}=\frac{500}{5}=100$

=> a = 3. 100 = 300; b = 4.100 = 400; c = 2.100 = 200.

Vậy chi nhánh A lãi 300 triệu, chi nhánh B lãi 500 triệu, chi nhánh C lỗ 200 triệu.

Bài 8 trang 10 SGK Toán 7 tập 2

Chứng minh rằng từ tỉ lệ thức $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ ta suy ra được các tỉ lệ thức sau:

a) $\frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d}$

b) $\frac{a-b}{b}=\frac{c-d}{d}$

c)$\frac{a}{a+b}=\frac{c}{c+d}$ (các mẫu số phải khác 0).

Hướng dẫn giải:

a) $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$

$=>\frac{a}{b}+1=\frac{c}{d}+1$

$=>\frac{a}{b}+\frac{b}{b}=\frac{c}{d}+\frac{d}{d}$

$=>\frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d}$

Vậy $\frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d}$.

b) $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$

$=>\frac{a}{b}-1=\frac{c}{d}-1$

$=>\frac{a}{b}-\frac{b}{b}=\frac{c}{d}-\frac{d}{d}$

$=>\frac{a-b}{b}=\frac{c-d}{d}$

Vậy $\frac{a-b}{b}=\frac{c-d}{d}$.

c)

+ Với trường hợp a = c = 0 thì biểu thức $\frac{a}{a+b}=\frac{c}{c+d}$ luôn đúng (các mẫu số phải khác 0).

+ Với trường hợp $a,c\ne 0$ thì ta chứng minh: $\frac{a+b}{a}=\frac{c+d}{c}$

Vì $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ nên $\frac{b}{a}=\frac{d}{c}$

Theo tính chất chứng minh ở câu a có: $\frac{a+b}{a}=\frac{c+d}{c}$

$=>\frac{a}{a+b}=\frac{c}{c+d}$.

Vậy $\frac{a}{a+b}=\frac{c}{c+d}$ (các mẫu số phải khác 0).