Toán 7 Bài 7: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác

Khởi động trang 73 Toán 7 Tập 2:

Đặt đầu bút chì ở điểm nào của tam giác thì ta có thể giữ tấm bìa thăng bằng?

Hướng dẫn giải:

Sau bài học này chúng ta sẽ trả lời được câu hỏi trên như sau:

Để giữ được tấm bìa thăng bằng thì ta đặt đầu bút chì tại trọng tâm của tam giác.

Khám phá 1 trang 73 Toán 7 Tập 2:

Vẽ tam giác ABC, xác định trung điểm D của cạnh BC và vẽ đoạn thẳng nối hai điểm A và D.

Hướng dẫn giải:

Cách vẽ:

– Vẽ tam giác ABC bất kỳ.

– Lấy trung điểm D của cạnh BC.

– Nối A và D ta được đoạn thẳng AD.

Ta có hình vẽ sau:

Thực hành 1 trang 73 Toán 7 Tập 2:

Em hãy vẽ tiếp các đường trung tuyến còn lại của tam giác ABC (Hình 1).

Hướng dẫn giải:

Gọi E và F lần lượt là trung điểm của AC và AB.

Nối BE và CF ta được hai đường trung tuyến còn lại của tam giác ABC.

Ta có hình vẽ sau:

Vận dụng 1 trang 73 Toán 7 Tập 2:

a) Vẽ đường trung tuyến DH của tam giác DEF (Hình 2).

b) Vẽ đường trung tuyến MK của tam giác vuông MNP (Hình 3).

c) Vẽ tam giác nhọn IJK và tất cả các đường trung tuyến của nó.

Hướng dẫn giải:

a) Vì DH là đường trung tuyến của tam giác DEF nên H là trung điểm của EF.

Ta có hình vẽ sau:

b) Vì MK là đường trung tuyến của tam giác MNP nên K là trung điểm của NP.

Ta có hình vẽ sau:

c) Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh JK, KI, IJ.

Nối ID, JE, KF ta được ba đường trung tuyến của tam giác IJK.

Ta có hình vẽ sau:

Khám phá 2 trang 74 Toán 7 Tập 2:

a) Cắt một tam giác bằng giấy. Gấp lại để xác định trung điểm một cạnh của nó. Kẻ đoạn thẳng nối trung điểm này với đỉnh đối diện (Hình 4). Bằng cách tương tự, hãy vẽ tiếp hai đường trung tuyến còn lại.

Quan sát tam giác trên hình, em thấy ba đường trung tuyến vừa vẽ có cùng đi qua một điểm hay không?

b) Em hãy đếm ô rồi vẽ lại tam giác ABC trong Hình 5 vào giấy kẻ ô vuông. Vẽ hai đường trung tuyến BE và CF của tam giác ABC. Hai đường trung tuyến này cắt nhau tại G. Tia AG cắt BC tại D.

Em hãy quan sát và cho biết:

• AD có phải là đường trung tuyến của tam giác ABC không?

• Các tỉ số \(\frac{BG}{BE}\), \(\frac{CG}{CF}\), \(\frac{AG}{AD}\) bằng bao nhiêu?

Hướng dẫn giải:

a) Thực hiện theo yêu cầu của bài toán ta thu được hình sau:

Ta thấy ba đường trung tuyến cùng đi qua một điểm.

b) Ta có hình vẽ sau:

• Trong hình vẽ trên, ta thấy D là trung điểm của BC nên AD là đường trung tuyến của tam giác ABC.

Bài 1 trang 75 SGK Toán 7 CTST tập 2

Quan sát Hình 8. Thay ? bằng số thích hợp

EG = ..?... EM , GM = ..?.. EM, GM = ..?.. EG, FG = ..?.. GN, FN = ..?.. GN, FN = ..?.. FG

Hướng dẫn giải

Ta thay như sau:

\(EG = \frac{2}{3} EM\)

\(GM = \frac{1}{3} EM\)

\(GM = \frac{1}{2} GE\)

\(FG = 2GN\)

\(FN = 3GN\)

\(FN = \frac{3}{2} FG\)

Bài 2 trang 75 SGK Toán 7 CTST tập 2

Quan sát hình 9

a) Biết AM = 15 cm, tính AG

b) Biết GN = 6 cm, tính CN

Hướng dẫn giải

Trong tam giác ABC có AM, NC là hai đường trung tuyến

G là giao điểm của AM, NC

=> G là trọng tâm của tam giác ABC

a) \(AG = \frac{2}{3} AM\)

\(=> AG = \frac{2}{3}. 15\)

=> AG = 10

b) \(GN = \frac{1}{3}.CN\)

\(=> 6 = \frac{1}{3}.CN\)

=> CN = 6. 3 = 18

Bài 3 trang 75 SGK Toán 7 CTST tập 2

Cho tam giác ABC. Hai đường trung tuyến AM và CN cắt nhau tại G. Trên tia đối của tia AM lấy điểm E sao cho ME = MG.

a) Chứng minh rằng BG song song với EC.

b) Gọi I là trung điểm của BE, AI cắt BG tại F. Chứng minh AF = 2 FI.

Hướng dẫn giải

a) Xét ∆BMG và ∆CME ta có:

BM = CM (M là trung điểm của BC)

\(\widehat{BMG} = \widehat{CME}\)(hai góc đối đỉnh)

ME = MG (giả thiết)

=> ∆ BMG = ∆ CME (c.g.c)

\(=> \widehat{GBM} = \widehat{BCE}\);

Mà hai góc ở vị trị so le trong

=> GB // CE.

b) Xét tam giác ABC có AM và CN là hai đường trung tuyến cắt nhau tại G

=> G là trọng tâm của tam giác ABC

=> AG = 2GM

+ Ta có: GE = GM + EM

=> GE = 2GM (GM = EM)

=> AG = GE

=> G là trung điểm đoạn thẳng AE

=> BG là đường trung tuyến của tam giác ABM.

+ Xét tam giác ABM có: AI và BG là 2 đường trung tuyến

mà AI cắt BG tại F

=> F là trọng tâm của tam giác ABC

=> AF = 2FI.

Bài 4 trang 75 SGK Toán 7 CTST tập 2

Cho tam giác ABC cân tại A có BM và CN là hai đường trung tuyến.

a) Chứng minh rằng BM = CN.

b) Gọi I là giao điểm của BM và CN, đường thẳng AI cắt BC tại H. Chứng minh H là trung điểm BC.

Hướng dẫn giải

a) ∆ ABC cân tại A

=> AB = AC

N là trung điểm của \(AB => AN = NB = \frac{1}{2} AB\)

M là trung điểm của \(AC => AM = MC = \frac{1}{2} AC\)

=> AN = AM

Xét ∆ ANC và ∆ AMB ta có:

AB = AC

\(\widehat{BAC}\) chung

AN = AM

=> ∆ ANC = ∆ AMB (c.g.c)

=> NC = MB

b) 2 đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại I

=> I là trọng tâm của ∆ ABC

\(=> IB = \frac{2}{3} BM, IC = \frac{1}{2} CN\)

Mà BM = CN

=> IB = IC

+ Xét ∆ ACI và ∆ ABI có:

AB = AC

AI chung

IB = IC

=> ∆ ACI = ∆ ABI (c.c.c)

\(=> \widehat{BAI} = \widehat{CAI}\)

+ Xét ∆ ABH và ∆ ACH có:

AB = AC

\(\widehat{BAH} = \widehat{CAH}\)

AH chung

=> ∆ ABH = ∆ ACH (c.g.c).

=> BH = CH

=> H là trung điểm của BC.

Bài 5 trang 76 SGK Toán 7 CTST tập 2

Cho tam giác ABC có đường trung tuyến BM bằng đường trung tuyến CN. Chứng minh rằng tam giác ABC cân

Hướng dẫn giải

Gọi O là giao điểm của BM và CN

=> O là trọng tâm của tam giác ABC

\(=> CO =\frac{2}{3} CN, BO = \frac{2}{3} BM\)

Mà BM = CN

=> CO = BO

=> ∆ OBC cân tại O

\(=> \widehat{OBC} = \widehat{OCB}\)

Hay \(\widehat{MBC} = \widehat{NCB}\)

Xét ∆ NBC và ∆ MBC ta có:

CN = BM

\(\widehat{MBC} = \widehat{NCB}\)

BC chung

=> ∆ NBC = ∆ MBC (c.g.c)

\(=> \widehat{MCB} = \widehat{NBC}\)

Hay \(\widehat{ACB} = \widehat{ABC}\)

=> ∆ ABC cân tại A.

Bài 6 trang 76 SGK Toán 7 CTST tập 2

Cho tam giác ABC cân tại A có BE và CD là hai đường trung tuyến cắt nhau tại F (Hình 10). Biết BE = 9 cm, tính độ dài đoạn thẳng DF

Hướng dẫn giải

+ ∆ ABC cân tại A

=> AB = AC

D là trung điểm của\(AB => AD = \frac{1}{2}AB\)

E là trung điểm của \(AC => AE = \frac{1}{2}AC\)

=> AD = AE

+ Xét ∆ ABE và ∆ ACD có:

AB = AC

\(\widehat{A}\) chung

AE = AD

=> ∆ ABE = ∆ ACD (c.g.c)

=> BE = CD = 9cm

+ Xét ∆ ABC có hai đường trung tuyến BE và CD cắt nhau tại F

=> F là trọng tâm của tam giác ABC

\(=> DF = \frac{1}{3} DC\)

\(=> DF = \frac{1}{3}.9 = 3 cm\)