Toán 7 Bài 7: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác

Bài 1 trang 75 SGK Toán 7 CTST tập 2

Quan sát Hình 8. Thay ? bằng số thích hợp

EG = ..?... EM , GM = ..?.. EM, GM = ..?.. EG, FG = ..?.. GN, FN = ..?.. GN, FN = ..?.. FG

Hướng dẫn giải

Ta thay như sau:

\(EG = \frac{2}{3} EM\)

\(GM = \frac{1}{3} EM\)

\(GM = \frac{1}{2} GE\)

\(FG = 2GN\)

\(FN = 3GN\)

\(FN = \frac{3}{2} FG\)

Bài 2 trang 75 SGK Toán 7 CTST tập 2

Quan sát hình 9

a) Biết AM = 15 cm, tính AG

b) Biết GN = 6 cm, tính CN

Hướng dẫn giải

Trong tam giác ABC có AM, NC là hai đường trung tuyến

G là giao điểm của AM, NC

=> G là trọng tâm của tam giác ABC

a) \(AG = \frac{2}{3} AM\)

\(=> AG = \frac{2}{3}. 15\)

=> AG = 10

b) \(GN = \frac{1}{3}.CN\)

\(=> 6 = \frac{1}{3}.CN\)

=> CN = 6. 3 = 18

Bài 3 trang 75 SGK Toán 7 CTST tập 2

Cho tam giác ABC. Hai đường trung tuyến AM và CN cắt nhau tại G. Trên tia đối của tia AM lấy điểm E sao cho ME = MG.

a) Chứng minh rằng BG song song với EC.

b) Gọi I là trung điểm của BE, AI cắt BG tại F. Chứng minh AF = 2 FI.

Hướng dẫn giải

a) Xét ∆BMG và ∆CME ta có:

BM = CM (M là trung điểm của BC)

\(\widehat{BMG} = \widehat{CME}\)(hai góc đối đỉnh)

ME = MG (giả thiết)

=> ∆ BMG = ∆ CME (c.g.c)

\(=> \widehat{GBM} = \widehat{BCE}\);

Mà hai góc ở vị trị so le trong

=> GB // CE.

b) Xét tam giác ABC có AM và CN là hai đường trung tuyến cắt nhau tại G

=> G là trọng tâm của tam giác ABC

=> AG = 2GM

+ Ta có: GE = GM + EM

=> GE = 2GM (GM = EM)

=> AG = GE

=> G là trung điểm đoạn thẳng AE

=> BG là đường trung tuyến của tam giác ABM.

+ Xét tam giác ABM có: AI và BG là 2 đường trung tuyến

mà AI cắt BG tại F

=> F là trọng tâm của tam giác ABC

=> AF = 2FI.

Bài 4 trang 75 SGK Toán 7 CTST tập 2

Cho tam giác ABC cân tại A có BM và CN là hai đường trung tuyến.

a) Chứng minh rằng BM = CN.

b) Gọi I là giao điểm của BM và CN, đường thẳng AI cắt BC tại H. Chứng minh H là trung điểm BC.

Hướng dẫn giải

a) ∆ ABC cân tại A

=> AB = AC

N là trung điểm của \(AB => AN = NB = \frac{1}{2} AB\)

M là trung điểm của \(AC => AM = MC = \frac{1}{2} AC\)

=> AN = AM

Xét ∆ ANC và ∆ AMB ta có:

AB = AC

\(\widehat{BAC}\) chung

AN = AM

=> ∆ ANC = ∆ AMB (c.g.c)

=> NC = MB

b) 2 đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại I

=> I là trọng tâm của ∆ ABC

\(=> IB = \frac{2}{3} BM, IC = \frac{1}{2} CN\)

Mà BM = CN

=> IB = IC

+ Xét ∆ ACI và ∆ ABI có:

AB = AC

AI chung

IB = IC

=> ∆ ACI = ∆ ABI (c.c.c)

\(=> \widehat{BAI} = \widehat{CAI}\)

+ Xét ∆ ABH và ∆ ACH có:

AB = AC

\(\widehat{BAH} = \widehat{CAH}\)

AH chung

=> ∆ ABH = ∆ ACH (c.g.c).

=> BH = CH

=> H là trung điểm của BC.

Bài 5 trang 76 SGK Toán 7 CTST tập 2

Cho tam giác ABC có đường trung tuyến BM bằng đường trung tuyến CN. Chứng minh rằng tam giác ABC cân

Hướng dẫn giải

Gọi O là giao điểm của BM và CN

=> O là trọng tâm của tam giác ABC

\(=> CO =\frac{2}{3} CN, BO = \frac{2}{3} BM\)

Mà BM = CN

=> CO = BO

=> ∆ OBC cân tại O

\(=> \widehat{OBC} = \widehat{OCB}\)

Hay \(\widehat{MBC} = \widehat{NCB}\)

Xét ∆ NBC và ∆ MBC ta có:

CN = BM

\(\widehat{MBC} = \widehat{NCB}\)

BC chung

=> ∆ NBC = ∆ MBC (c.g.c)

\(=> \widehat{MCB} = \widehat{NBC}\)

Hay \(\widehat{ACB} = \widehat{ABC}\)

=> ∆ ABC cân tại A.

Bài 6 trang 76 SGK Toán 7 CTST tập 2

Cho tam giác ABC cân tại A có BE và CD là hai đường trung tuyến cắt nhau tại F (Hình 10). Biết BE = 9 cm, tính độ dài đoạn thẳng DF

Hướng dẫn giải

+ ∆ ABC cân tại A

=> AB = AC

D là trung điểm của\(AB => AD = \frac{1}{2}AB\)

E là trung điểm của \(AC => AE = \frac{1}{2}AC\)

=> AD = AE

+ Xét ∆ ABE và ∆ ACD có:

AB = AC

\(\widehat{A}\) chung

AE = AD

=> ∆ ABE = ∆ ACD (c.g.c)

=> BE = CD = 9cm

+ Xét ∆ ABC có hai đường trung tuyến BE và CD cắt nhau tại F

=> F là trọng tâm của tam giác ABC

\(=> DF = \frac{1}{3} DC\)

\(=> DF = \frac{1}{3}.9 = 3 cm\)