Toán 7 Bài 35: Sự đồng quy của ba đường trung trực, ba đường cao trong một tam giác

Giải Toán 7 Bài 35: Sự đồng quy của ba đường trung trực, ba đường cao trong một tam giác sách Kết nối tri thức bao gồm lời giải và đáp án chi tiết cho từng bài tập trong SGK Toán 7 tập 2 chương trình sách mới. Lời giải Toán 7 được trình bày chi tiết, dễ hiểu, giúp các em học sinh ôn tập, củng cố kiến thức được học, từ đó luyện giải Toán 7 hiệu quả. Sau đây mời các bạn tham khảo chi tiết.

Mở đầu trang 77 SGK Toán 7 tập 2 KNTT

Có thể coi ba ngôi nhà của ba anh em trong một khu vườn là ba đỉnh của một tam giác (không tù). Họ muốn khoan một giếng chung trong vườn cách đều ba ngôi nhà (H.9.36). Em có thể giúp họ chọn địa điểm để khoan giếng không?

Hướng dẫn giải:

Coi ba ngôi nhà của ba anh em là ba đỉnh của tam giác.

Khi đó đường thẳng nối 2 trong 3 nhà với nhau là cạnh của tam giác.

Giếng cách đều 3 ngôi nhà tức giếng cách đều 3 đỉnh của tam giác.

Khi đó giếng là giao điểm ba đường trung trực của tam giác.

Câu hỏi trang 77 SGK Toán 7 tập 2 KNTT

Mỗi tam giác có mấy đường trung trực?

Hướng dẫn giải:

Một tam giác có 3 cạnh nên mỗi tam giác sẽ có 3 đường trung trực tương ứng với mỗi cạnh.

HĐ1 trang 78 SGK Toán 7 tập 2 KNTT

Vẽ tam giác ABC (không tù) và ba đường trung trực của các đoạn thẳng BC, CA, AB. Quan sát hình và cho biết ba đường trung trực đó có cùng đi qua một điểm không.

Hướng dẫn giải:

Ta thấy ba đường trung trực của tam giác cùng đi qua một điểm.

HĐ2 trang 78 SGK Toán 7 tập 2 KNTT

Dùng tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng, hãy lập luận để suy ra tính chất nói ở HĐ1 bằng cách trả lời các câu hỏi sau:

Cho O là giao điểm các đường trung trực của hai cạnh BC và CA (H.9.38).

a) Tại sao OB = OC, OC = OA?

b) Điểm O có nằm trên đường trung trực của cạnh AB không?

Hướng dẫn giải:

a) Do O nằm trên đường trung trực của cạnh BC nên OB = OC.

Do O nằm trên đường trung trực của cạnh CA nên OC = OA.

b) Do OB = OC và OC = OA nên OA = OB.

Do đó O nằm trên đường trung trực của cạnh AB.

Luyện tập 1 trang 79 SGK Toán 7 tập 2 KNTT

Chứng minh rằng trong tam giác đều ABC, trọng tâm G cách đều ba đỉnh của tam giác đó.

Hướng dẫn giải:

Gọi AN, CM, BP là 3 đường trung tuyến của tam giác đều ABC, giao nhau ở điểm G

Xét ∆ ANB và ∆ ANC, có:

AN chung

NB= NC

AB= AC

=>∆ ANB = ∆ ANC

=> \(\hat{BAN}\) = \(\hat{CAN}\)

=> AN hay AG là đường phân giác của BACˆ

Tương tự BP hay BG là đường phân giác của ABCˆ

=> G cách đều 3 cạnh AB, AC, BC mag G là trọng tâm

=> G là giao điểm của 3 đường trung trực => G cách đều 3 điểm A,B,C

Vận dụng 1 trang 79 SGK Toán 7 tập 2 KNTT

Em hãy trả lời câu hỏi trong tình huống mở đầu.

Hướng dẫn giải:

Coi ba ngôi nhà của ba anh em là ba đỉnh của tam giác.

Khi đó đường thẳng nối 2 trong 3 nhà với nhau là cạnh của tam giác.

Giếng cách đều 3 ngôi nhà tức giếng cách đều 3 đỉnh của tam giác.

Khi đó giếng là giao điểm ba đường trung trực của tam giác.

Bài 9.26 trang 81 SGK Toán 7 tập 2 KNTT

Gọi H là trực tâm của tam giác ABC không vuông. Tìm trực tâm của các tam giác HBC, HCA, HAB

Hướng dẫn giải:

Trong ΔABC ta có H là trực tâm nên:

AH ⊥ BC tại N, BH ⊥ AC tại P, CH ⊥ AB tại M

Trong ΔAHB, ta có:

AC ⊥ BH

BC ⊥ AH

=>C là trực tâm của tam giác AHB.

Trong ΔHAC, ta có:

AB ⊥ CH

CB ⊥ AH

=> B là trực tâm của ΔHAC.

Trong ΔHBC, ta có:

BA ⊥ HC

CA ⊥ BH

=> A là trực tâm của tam giác HBC

Bài 9.27 trang 81 SGK Toán 7 tập 2 KNTT

Cho tam giác ABC có \(\widehat{A} = 100°\)và trực tâm H. Tìm góc BHC

Hướng dẫn giải:

Gọi E là chân đường cao từ C xuống AB, D là chân đường cao từ B xuống AC

=> HC ⊥ BE, HB ⊥ CD

Ta có \(\widehat{BAC} + \widehat{BAD} = 180°\)

\(=> 100° + \widehat{BAD} = 180°\)

\(=> \widehat{BAD} = 80°\)

∆ ADB là tam giác vuông tại D \(=> \widehat{BAD} + \widehat{ABD} = 90°\)

\(=>\widehat{ABD} = 90°- 80° = 10°\)

\(=> \widehat{EBH} = 10°\)

∆ BEH là tam giác vuông tại E \(=> \widehat{EBH} + \widehat{BHE} = 90°\)

\(=>\widehat{BHE} = 90°- 10° = 80°\)

\(=> \widehat{BHC} = 80°\)

Bài 9.28 trang 81 SGK Toán 7 tập 2 KNTT

Xét điểm O cách đều 3 đỉnh của tam giác ABC. Chứng minh rằng nếu O nằm trên một cạnh của tam giác ABC thì ABC là một tam giác vuông

Hướng dẫn giải:

O cách đều 3 đỉnh của tam giác ABC => O là giao điểm của 3 đường trung trực của tam giác ABC

=> OA= OB= OC

=> ∆ OAB cân tại O \(=> \widehat{OAB} = \widehat{OBA}\)

∆ OAC cân tại O \(=> \widehat{OAC} + \widehat{OCA}\)

Xét ∆ OAB ta có: \(\widehat{OAB} + \widehat{OBA} + \widehat{AOB}= 180°\)

\(=> 2 \widehat{OAB} + \widehat{AOB}= 180°\)

\(=> \widehat{AOB}= 180° - 2 \widehat{OAB}\)

Tương tự ta có \(\widehat{AOC}= 180° - 2 \widehat{OAC}\)

O thuộc BC \(=> \widehat{AOB} + \widehat{AOC}= 180°\)

\(=> 180° - 2 \widehat{OAB} + 180° - 2 \widehat{OAC} = 180°\)

\(=> 360° - 180° = 2 \widehat{OAB} + 2 \widehat{OAC}\)

\(=> 180° = 2 (\widehat{OAB} + \widehat{OAC} )\)

\(=> \widehat{BAC} = 90°\)

=> ∆ ABC vuông tại A

Bài 9.29 trang 81 SGK Toán 7 tập 2 KNTT

a) Có một chi tiết máy (đường viền ngoài là đường tròn) bị gãy. (H.9.46). Làm thế nào để xác định được bán kính của đường viền này?

b) Trên bản đồ, ba khu dân cư được quy hoạch tại điểm A, B, C không thẳng hàng. Hãy tìm trên bản đồ một điểm M cách đều A, B, C để quy hoạch một trường học

Hướng dẫn giải:

Bài 9.30 trang 81 SGK Toán 7 tập 2 KNTT

Cho hai đường thẳng không vuông góc b, c cắt nhau tại điểm A và cho điểm H không thuộc b và c (H.9.47). Hãy tìm điểm B thuộc b, điểm C thuộc c sao cho tam giác ABC nhận H làm trực tâm.

Hướng dẫn giải: