Toán 7 Bài 2: Tam giác bằng nhau

Giải Toán 7 bài 2: Tam giác bằng nhau hướng dẫn giải bài tập trong SGK Toán 7 Chân trời sáng tạo tập 2, giúp các bạn học sinh củng cố kiến thức, rèn luyện kỹ năng giải môn Toán lớp 7 hiệu quả. Mời các bạn tham khảo.

1. Hai tam giác bằng nhau

Khởi động trang 48 SGK Toán 7 tập 2 CTST

Thế nào là hai tam giác bằng nhau?

Hướng dẫn giải

Hai tam giác bằng nhau là hai tam giác có các cạnh tương ứng bằng nhau, các góc tương ứng bằng nhau.

Khám phá 1 trang 48 SGK Toán 7 tập 2 CTST

Dùng kéo cắt một tờ giấy thành hình tam giác ABC. Đặt tam giác ABC lên tờ giấy thứ hai. Vẽ và cắt theo các cạnh của tam giác ABC thành tam giác A’B’C’ (Hình 1).

Hãy so sánh các cạnh và các góc của hai tam giác ABC và A’B’C’.

Hướng dẫn giải

Ta thấy 2 tam giác có các cặp góc bằng nhau \(\widehat A = \widehat {A'}\); \(\widehat B = \widehat {B'}\); \(\widehat C = \widehat {C'}\)

2 tam giác có các cặp cạnh bằng nhau AC = A’C’; AB = A’B’; BC = B’C’

Thực hành 1 trang 49 SGK Toán 7 tập 2 CTST

Quan sát hình 4.

Hai tam giác ABC và MNP có bằng nhau không? Hãy chỉ ra các cặp góc và các cặp cạnh tương ứng bằng nhau.

Hướng dẫn giải

\(\widehat C = \widehat {C'}\) do có các cặp góc và cạnh tương ứng bằng nhau.

Các cặp góc bằng nhau là: \(\widehat A = \widehat M; \widehat B = \widehat N;\widehat C = \widehat P\)

Các cặp cạnh bằng nhau là: AB = MN; AC = MP; BC = PN

Vận dụng 1 trang 49 SGK Toán 7 tập 2 CTST

Trong Hình 5, cho biết . Hãy tính số đo góc M và độ dài cạnh GI.

 

Hướng dẫn giải:

Theo định lí tổng 3 góc trong tam giác ta có :

\(\widehat G + \widehat H + \widehat I = {180^o} \Rightarrow \widehat G = {180^o} - {62^o} - {43^o} = {75^o}\)

Mà \(\widehat G = \widehat M\) ( góc tương ứng trong 2 tam giác bằng nhau )

\(\Rightarrow \widehat M = {75^o}\)

2. Các trường hợp bằng nhau của hai tam giác

Khám phá 2 trang 50 Toán 7 Tập 2

Cho tam giác ABC như trong Hình 6a. Lấy một tờ giấy, trên đó vẽ tam giác A’B’C’có ba cạnh bằng ba cạnh của tam giác ABC (A’B’= AB, A’C’= AC, B’C’= BC) theo các bước:

-Vẽ đoạn thẳng B’C’= BC

-Vẽ cung tròn tâm B’có bán kính bằng BA, vẽ cung trong tâm C’ có bán kính bằng CA.

-Hai cung tròn trên cắt nhau tại A’ (chỉ lấy một trong hai giao điểm của hai cung)

-Vẽ các đoạn thẳng B’A, C’A’, ta được tam giác A’B’C’ (Hình 6b)

Em hãy cắt rời tam giác A’B’C’ ra khỏi tờ giấy vừa vẽ và thử xem có thể đặt chồng khít tam giác A’B’C’ lên tam giác ABC hay không.

Theo em, hai tam giác ABC và A’B’C’ trong trường hợp này có bằng nhau hay không?

Hướng dẫn giải

Xét tam giác ABC và tam giác A’B’C’ có :

BC = B’C’ ( giả thiết )

B’A’ = BA

A’C’ = CA

Hai tam giác có thể đặt chồng khít lên nhau nên 2 tam giác bằng nhau

Khám phá 3 trang 51 Toán 7 Tập 2

Cho tam giác ABC như trong Hình 8a. Lấy một tờ giấy, trên đó vẽ tam giác A’B’C’có \(\widehat {B'} = \widehat B\), B’A’ = BA, B’C’ = BC theo các bước:

- Vẽ \(\widehat {xB'y} = \widehat {ABC}\)

- Trên tia B’x lấy đoạn B’A’= BA.

- Trên tia B’y lấy đoạn B’C’ = BC.

-Vẽ đoạn A’C’, ta được tam giác A’B’C’(Hình 8b)

Em hãy cắt rời tam giác A’B’C’ra khỏi tờ giấy vừa vẽ và thử xem có thể đặt chồng khít tam giác A’B’C’lên tam giác ABC hay không.

Theo em, hai tam giác ABC và A’B’C’ trong trường hợp này có bằng nhau hay không?

Hướng dẫn giải

Ta thấy 2 tam giác có thể chồng khít lên nhau nên 2 tam giác bằng nhau.

Chú ý: 2 tam giác bằng nhau khi có 2 cặp cạnh bằng nhau và góc xen giữa 2 cặp cạnh đó cũng bằng nhau .

Khám phá 4 trang 52 Toán 7 Tập 2

Cho tam giác ABC như trong Hình 10a. Lấy một tờ giấy, trên đó vẽ tam giác A’B’C’có B’C’ = BC, \(\widehat {B'} = \widehat B\), \(\widehat {C'} = \widehat C\)theo các bước:

-Vẽ đoạn thẳng B’C’ = BC.

-Ở về cùng một phía của tờ giấy đối với đường thẳng B’C’vẽ \(\widehat {C'B'x} = \widehat {CBA}\), và vẽ \(\widehat {B'C'y} = \widehat {BCA}\).

-Vẽ giao điểm A’của hai tia B’x và C’y, ta được tam giác A’B’C’ (Hình 10b).

Em hãy cắt rời tam giác A’B’C’ra khỏi tờ giấy vừa vẽ và thử xem có thể đặt chồng khít tam giác A’B’C’lên tam giác ABC hay không.

Theo em, hai tam giác ABC và A’B’C’ trong trường hợp này có bằng nhau hay không?

Hướng dẫn giải

Ta thấy 2 tam giác có thể chồng khít lên nhau nên 2 tam giác bằng nhau.

Từ đó ta suy ra 2 tam giác bằng nhau khi có 2 góc bằng nhau và cạnh xen giữa 2 góc đó cũng bằng nhau

Thực hành 2 trang 54 Toán 7 Tập 2

Hãy chỉ ra các cặp tam giác bằng nhau trong Hình 13 và cho biết chúng bằng nhau theo trường hợp nào.

Hướng dẫn giải

a) Ta thấy tam giác MNQ = tam giác MPQ ( c-c-c )

b) Ta thấy tam giác GHK = tam giác GIK ( c-g-c )

c) Ta thấy tam giác ADB = tam giác ACE ( g-c-g )

Tam giác ADC = tam giác AEB ( g-c-g )

Thực hành 3 trang 54 Toán 7 Tập 2

Hai tam giác trong mỗi hình bên (Hình 14a,b) có bằng nhau không? Vì sao?

Hướng dẫn giải

a) Xét \(\Delta{ABC}\) và \(\Delta{EDC}\), ta có:

AC = CE

\(\widehat {ACB}\)= \(\widehat {DCE}\) ( 2 góc đối đỉnh )

CB = CD

\(\Rightarrow \Delta{ABC}=\Delta{EDC}\) (c.g.c)

b) Ta thấy 2 tam giác ABC và BDE không bằng nhau vì

\(AC \ne BE;BC \ne BD;DE \ne AC\)

Vận dụng 2 trang 54 Toán 7 Tập 2

Nêu thêm điều kiện để hai tam giác trong mỗi hình bên (Hình 15a,b) bằng nhau theo trường hợp cạnh – góc – cạnh.

Hướng dẫn giải

a) Theo trường hợp cạnh – góc – cạnh ta cần AD = CD để 2 tam giác bằng nhau

b) Theo trường hợp cạnh – góc – cạnh ta cần KN = MN để 2 tam giác bằng nhau

Vận dụng 3 trang 54 Toán 7 Tập 2

Cho \(\widehat {xOy}\). Vẽ cung tròn tâm O, cung này cắt Ox, Oy theo thứ tự tại M, N. Vẽ hai cung tròn tâm M và tâm N có cùng bán kính sao cho chúng cắt nhau tại điểm P nằm trong \(\widehat {xOy}\). Nối O với P (Hình 16). Hãy chứng minh rằng , từ đó suy ra OP là tia phân giác của \(\widehat {xOy}\).

Hướng dẫn giải

Vì M, N thuộc đường tròn tâm O có cùng bán kính nên OM = ON = bán kính cung tròn tâm O

Từ M, N vẽ 2 cung tròn có cùng bán kính và 2 đường tròn cắt nhau tại P

Suy ra P thuộc cả 2 cung tròn tâm M, N có cùng bán kính nên MP = NP

Xét tam giác OMP và tam giác ONP ta có :

OM = ON

OP cạnh chung

MP = NP

\(\Rightarrow \Delta{OMP}=\Delta{ONP}\) ( c-c-c )

\(\Rightarrow \widehat {MOP} = \widehat {PON}\) (2 góc tương ứng)

Do đó, OP là phân giác \(\widehat {xOy}\)

Bài tập

Bài 1 trang 57 SGK Toán 7 tập 2 CTST

Quan sát Hình 23 rồi thay dấu ? bằng tên tam giác thích hợp.

a. \(\Delta ABE = \Delta ?\)

b. \(\Delta EAB = \Delta ?\)

c. \(\Delta ? = \Delta CDE\)

Hướng dẫn giải:

a. \(\Delta ABE = \Delta DCE\)

b. \(\Delta EAB = \Delta EDC\)

c. \(\Delta BAE = \Delta CDE\)

Bài 2 trang 57 SGK Toán 7 tập 2 CTST

Cho \(\Delta DEF = \Delta HIK\) và \(\widehat{D} = 73^{0}\), DE = 5cm, IK = 7cm. Tính số đo \(\widehat{H}\) và độ dài HI, EF.

Hướng dẫn giải:

Theo đề bài có \(\Delta DEF = \Delta HIK\), nên ta có:

HI = DE = 5cm

EF = IK = 7cm

\(\widehat{H} = \widehat{D} = 73^{0}\)

Bài 3 trang 58 SGK Toán 7 tập 2 CTST

Cho hai tam giác bằng nhau ABC và DEF (các đỉnh viết chưa tương ứng), trong đó \(\widehat{A} = \widehat{E}, \widehat{C} = \widehat{D}\). Tìm các cặp cạnh bằng nhau, cặp góc tương ứng bằng nhau còn lại.

Hướng dẫn giải:

Xếp theo thứ tự tương ứng các đỉnh có: \(\Delta ABC = \Delta EFD\).

Các cặp góc tương ứng bằng nhau: \(\widehat{ABC} = \widehat{EFD}, \widehat{ACB} = \widehat{EDF}, \widehat{BCA} = \widehat{FDE}\).

Các cặp cạnh bằng nhau là: AB = EF, BC = FD, AC = ED.

Bài 4 trang 58 SGK Toán 7 tập 2 CTST

Cho biết \(\Delta MNP = \Delta DEF\) và MN = 4cm, MP = 5cm, EF = 6cm. Tính chu vi tam giác MNP

Hướng dẫn giải:

Vì \(\Delta MNP = \Delta DEF\) nên NP = EF = 6cm.

Chu vi tam giác MNP là: MN + MP + NP = 4 + 5 + 6 = 15 (cm)

Bài 5 trang 58 SGK Toán 7 tập 2 CTST

Cho đoạn thẳng AB có O là trung điểm. Vẽ hai đường thẳng m và n lần lượt vuông góc với AB tại A và B. Lấy điểm C trên m, CO cắt n tại D (hình 24). Chứng minh rằng O là trung điểm của CD.

Hướng dẫn giải:

Xét \(\Delta AOC\) vuông tại A và \Delta BOD vuông tại B có:

\(\widehat{COA} = \widehat{DOB}\) (2 góc đối đỉnh).

AO = OB

Suy ra \(\Delta AOC = \Delta BOD\) (cạnh góc vuông và góc nhọn).

\(\Rightarrow OC = OD\)

mà 3 điểm O, C, D thẳng hàng

\(\Rightarrow O\) là trung điểm của CD.

Bài 6 trang 58 SGK Toán 7 tập 2 CTST

Cho hình 25 có EF = HG, EG = HF.

Chứng minh rằng:

a. \(\Delta EFH = \Delta HGE\)

b. EF // HG

Hướng dẫn giải:

a. Xét \(\Delta EFH\) và \(\Delta HGE\) có:

EH chung

GH = EF

GE = HF

Suy ra \(\Delta EFH = \Delta HGE\) (c.c.c)

b. Theo a: \(\Delta EFH = \Delta HGE\) nên\(\widehat{FEH}= \widehat{EHG}\)

Mà 2 góc này ở vị trí so le trong

Suy ra EF // HG.

Bài 7 trang 58 SGK Toán 7 tập 2 CTST

Cho tam giác FGH có FG = FH. Lấy điểm I trên cạnh GH sao cho FI là tia phân giác của \(\widehat{GFH}\). Chứng minh rằng hai tam giác FIG và FIH bằng nhau

Hướng dẫn giải:

Xét \(\Delta FGI\) và \(\Delta FHI\) có:

FI chung

\(\widehat{GFI}= \widehat{HFI}\)

FG = FH

Suy ra \(\Delta FGI = \Delta FHI\) (c.g.c).

Bài 8 trang 58 SGK Toán 7 tập 2 CTST

Cho góc xOy. Lấy hai điểm A, B thuộc tia Ox sao cho OA < OB. Lấy hai điểm C, D thuộc tia Oy sao cho OC = OA, OD = OB. Gọi E là giao điểm AD và BC. Chứng minh rằng:

a) AD = BC.

b) \(\Delta EAB = \Delta ECD\).

c) OE là tia phân giác của góc xOy.

Hướng dẫn giải:

a) Xét\(\Delta AOD\) và \(\Delta COB\) có:

AO = CO

\(\widehat{O}\) chung

OD = OB

Suy ra \(\Delta AOD = \Delta COB\) (c.g.c).

\(\Rightarrow AD = BC\)

b. + \(\Delta ODA = \Delta OBC\) nên \(\widehat{EBA} = \widehat{EDC}\)

Mà \(\widehat{AEB} = \widehat{CED}\)

=> \(\widehat{EAB} = \widehat{ECD}\)

Ta lại có: OA = OC và OB = OD

=> OB - OA = OD - OC

=> AB = CD

+ Xét\(\Delta EAB\) và \(\Delta ECD\) ta có:

\(\widehat{EAB} = \widehat{ECD}\) (chứng minh trên)

AB = CD (chứng minh trên)

\(\widehat{EBA} = \widehat{EDC}\) (chứng minh trên).

Suy ra \(\Delta EAB = \Delta ECD\) (g.c.g)

c. Xét \(\Delta OBE\) và \(\Delta ODE\) có:

OE chung

OB = OD

EB = ED (vì \(\Delta EAB = \Delta ECD\))

Suy ra \(\Delta OBE = \Delta ODE\) nên \(\widehat{BOE} = \widehat{DOE}\).

Suy ra OE là tia phân giác góc xOy.

Bài 9 trang 58 SGK Toán 7 tập 2 CTST

Đặt tên cho một số điểm có trong Hình 26 và chỉ ra ba cặp tam giác bằng nhau trong hình đó.

Hướng dẫn giải:

\(\Delta ABC = \Delta EFG = \Delta CDE\)