Toán 7 Bài 6: Dãy tỉ số bằng nhau

Giải Toán 7 Cánh diều Bài 6: Dãy tỉ số bằng nhau hướng dẫn giải bài tập trong SGK Toán 7 Cánh diều tập 1 trang 55, 56, 57, 58, giúp các em tiếp thu bài nhanh, từ đó rèn luyện và nâng cao kỹ năng giải Toán 7. Sau đây mời các bạn tham khảo chi tiết. 

Hoạt động 1 trang 55 Toán lớp 7 Tập 1

 So sánh các cặp tỉ số trong ba tỉ số sau:

\(\frac{4}{6};\frac{8}{{12}};\frac{{ - 10}}{{ - 15}}\)

Hướng dẫn giải:

Ta có:

\(\frac{4}{6} = \frac{{4:2}}{{6:2}} = \frac{2}{3}\)

\(\frac{8}{{12}} = \frac{{8:4}}{{12:4}} = \frac{2}{3}\)

\(\frac{{ - 10}}{{ - 15}} = \frac{{\left( { - 10} \right):\left( { - 5} \right)}}{{\left( { - 15} \right):\left( { - 5} \right)}} = \frac{2}{3}\)

\(\Rightarrow \frac{4}{6} = \frac{8}{{12}} = \frac{{ - 10}}{{ - 15}}\)

Hoạt động 2 trang 56 Toán lớp 7 Tập 1

a) Cho tỉ lệ thức\(\frac{6}{{10}} = \frac{9}{{15}}\). So sánh hai tỉ số \(\frac{{6 + 9}}{{10 + 15}}\) và \(\frac{{6 - 9}}{{10 - 15}}\) với các tỉ số trong tỉ lệ thức đã cho.

b) Cho tỉ lệ thức \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) với \(b + d \ne 0;b - d \ne 0\)

Gọi giá trị trung của các tỉ số đó là k, tức là: \(k = \frac{a}{b} = \frac{c}{d}\)

- Tính a theo b và k, tính c theo d và k.

- Tính tỉ số \(\frac{{a + c}}{{b + d}}\) và \(\frac{{a - c}}{{b - d}}\) theo k.

- So sánh mỗi tỉ số \(\frac{{a + c}}{{b + d}}\) và \(\frac{{a - c}}{{b - d}}\) với các tỉ số \(\frac{a}{b}\) và \(\frac{c}{d}\)

Hướng dẫn giải:

a) Ta có:

\(\begin{array}{l}\frac{6}{{10}} = \frac{{6:2}}{{10:2}} = \frac{3}{5};\\\frac{9}{{15}} = \frac{{9:3}}{{15:3}} = \frac{3}{5}\end{array}\)

\(\begin{array}{l}\frac{{6 + 9}}{{10 + 15}} = \frac{{15}}{{25}} = \frac{{15:5}}{{25:5}} = \frac{3}{5};\\\frac{{6 - 9}}{{10 - 15}} = \frac{{ - 3}}{{ - 5}} = \frac{3}{5}\end{array}\)

Ta được: \(\frac{{6 + 9}}{{10 + 15}} = \frac{{6 - 9}}{{10 - 15}} = \frac{6}{{10}} = \frac{9}{{15}}\)

b) - Vì \(k = \frac{a}{b} \Rightarrow a = k.b\)

Vì \(k = \frac{c}{d} \Rightarrow c = k.d\)

- Ta có:

\(\begin{array}{l}\frac{{a + c}}{{b + d}} = \frac{{k.b + k.d}}{{b + d}} = \frac{{k.(b + d)}}{{b + d}} = k;\\\frac{{a - c}}{{b - d}} = \frac{{k.b - k.d}}{{b - d}} = \frac{{k.(b - d)}}{{b - d}} = k\end{array}\)

- Như vậy, \(\frac{{a + c}}{{b + d}}\) =\(\frac{{a - c}}{{b - d}}\) = \(\frac{a}{b}\) =\(\frac{c}{d}\)( =k)

Luyện tập 2 trang 57 Toán lớp 7 Tập 1:

Tìm hai số x,y biết:

x : 1,2 = y : 0,4 và x – y = 2.

Hướng dẫn giải:

Vì x : 1,2 = y : 0,4 nên \(\frac{x}{{1,2}} = \frac{y}{{0,4}}\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\frac{x}{{1,2}} = \frac{y}{{0,4}} = \frac{{x - y}}{{1,2 - 0,4}} = \frac{2}{{0,8}} = 2,5\)

Vậy x = 1,2 . 2,5 = 3; y = 0,4 . 2,5 = 1

Luyện tập 3 trang 57 Toán lớp 7 Tập 1

Tìm ba số x, y, z biết x, y, z tỉ lệ với ba số 2,3,4 và x – y – z = 2.

Hướng dẫn giải:

Vì ba số x,y,z biết x,y,z tỉ lệ với ba số 2,3,4 nên \(\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{4}\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{4} = \frac{{x - y - z}}{{2 - 3 - 4}} = \frac{2}{{ - 5}} = \frac{{ - 2}}{5}\)

Vậy \(x = 2.\frac{{ - 2}}{5} = \frac{{ - 4}}{5};y = 3.\frac{{ - 2}}{5} = \frac{{ - 6}}{5};z = 4.\frac{{ - 2}}{5} = \frac{{ - 8}}{5}\)

Bài 1 trang 58 Toán 7 tập 1 CD

Cho tỉ lệ thức \(\frac{x}{7} = \frac{y}{2}\). Tìm hai số x,y biết:

a) x + y = 18;

b) x – y = 20

Hướng dẫn giải

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(a) \frac{x}{7} = \frac{y}{2} = \frac{{x + y}}{{7 + 2}} = \frac{{18}}{9} = 2\)

Vậy x = 7 . 2 = 14; y = 2.2 = 4

\(b) \frac{x}{7} = \frac{y}{2} = \frac{{x - y}}{{7 - 2}} = \frac{{20}}{5} = 4\)

Vậy x = 7.4 = 28; y = 2.4 = 8

Bài 2 trang 58 Toán 7 tập 1 CD

Cho dãy tỉ số bằng nhau \(\frac{x}{3} = \frac{y}{4} = \frac{z}{5}\). Tìm ba số x,y,z biết:

a) x+y+z = 180; b) x + y – z = 8

Hướng dẫn giải

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(a) \frac{x}{3} = \frac{y}{4} = \frac{z}{5} = \frac{{x + y + z}}{{3 + 4 + 5}} = \frac{{180}}{{12}} = 15\)

Vậy x = 3 . 15 = 45; y = 4 . 15 = 60; z = 5 . 15 = 75

\(b) \frac{x}{3} = \frac{y}{4} = \frac{z}{5} = \frac{{x + y - z}}{{3 + 4 - 5}} = \frac{8}{2} = 4\)

Vậy x = 3. 4 = 12; y = 4.4 = 16; z = 5.4 = 20

Bài 3 trang 58 Toán 7 tập 1 CD

Cho ba số x,y,z sao cho \(\frac{x}{3} = \frac{y}{4};\frac{y}{5} = \frac{z}{6}\)

a) Chứng minh:\(\frac{x}{{15}} = \frac{y}{{20}} = \frac{z}{{24}}\)

b) Tìm ba số x, y, z biết x – y + z = - 76

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

\(\begin{array}{l}\frac{x}{3} = \frac{y}{4} \Rightarrow \frac{x}{3}.\frac{1}{5} = \frac{y}{4}.\frac{1}{5} \Rightarrow \frac{x}{{15}} = \frac{y}{{20}};\\\frac{y}{5} = \frac{z}{6} \Rightarrow \frac{y}{5}.\frac{1}{4} = \frac{z}{6}.\frac{1}{4} \Rightarrow \frac{y}{{20}} = \frac{z}{{24}}\end{array}\)

Vậy \(\frac{x}{{15}} = \frac{y}{{20}} = \frac{z}{{24}}\) (đpcm)

b) Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\frac{x}{{15}} = \frac{y}{{20}} = \frac{z}{{24}} = \frac{{x - y + z}}{{15 - 20 + 24}} = \frac{{ - 76}}{{19}} = - 4\)

Vậy x = 15 . (-4) = -60; y = 20. (-4) = -80; z = 24 . (-4) = -96

Bài 4 trang 58 Toán 7 tập 1 CD

Tỉ lệ phần trăm của lượng khí oxygen thải ra môi trường và lượng khí carbon dioxide hấp thụ trong quá trình quang hợp của lá cây Atriplex rosea ( một loài thực vật thân mềm có hoa giống hoa cúc) ở nhiệt độ \(27^0 C\) và trong điều kiện bình thường là 21%.

Tính lượng khí oxygen thải ra môi trường và lượng khí carbon dioxide hấp thụ trong quá trình quang hợp của lá cây Atriplex rosea ở nhiệt độ \(27^0 C\) và trong điều kiện bình thường, biết lượng khí carbon đioxide lá cây thu vào nhiều hơn lượng oxygen lá cây thải ra môi trường là 15,8 g.

Hướng dẫn giải:

Gọi lượng khí oxygen thải ra môi trường và lượng khí carbon dioxide hấp thụ lần lượt là x,y (g) (x,y > 0)

Vì tỉ lệ phần trăm của lượng khí oxygen thải ra môi trường và lượng khí carbon dioxide hấp thụ trong quá trình quang hợp của lá cây Atriplex rosea là 21% nên \(\frac{x}{{y}} = 21\% =\frac{21}{100}\). Do đó, \(\frac{x}{21}=\frac{y}{100}\)

Mà lượng khí carbon đioxide lá cây thu vào nhiều hơn lượng oxygen lá cây thải ra môi trường là 15,8 g nên \(y-x = 15,8\) hay \(x - y = -15,8\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\begin{array}{l}\frac{x}{{21}} = \frac{y}{100} = \frac{{x - y}}{{21 - 100}} = \frac{-15,8}{-79}=0,2\\ \Rightarrow x = 21.0,2=4,2(g);\\ y=100.0,2 =20 (g)\end{array}\)

Vậy lượng khí oxygen thải ra môi trường và lượng khí carbon dioxide hấp thụ lần lượt là 4,2 g và 20 g.

Bài 5 trang 58 Toán 7 tập 1 CD

Một mảnh vườn có dạng hình chữ nhật với tỉ số giữa độ dài hai cạnh của nó bằng \(\frac{3}{5}\) và chu vi bằng 48 m . Tính diện tích của mảnh vườn đó.

Hướng dẫn giải

Gọi độ dài 2 cạnh hình chữ nhật là x ,y (m) (x, y > 0)

Vì tỉ số giữa độ dài hai cạnh của nó bằng \(\frac{3}{5}\) nên \(\frac{x}{y} = \frac{3}{5} \Rightarrow \frac{x}{3} = \frac{y}{5}\)

Vì chu vi của mảnh đất là 48 m nên 2.(x+y) = 48 nên x + y = 48:2= 24

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\begin{array}{l}\frac{x}{3} = \frac{y}{5} = \frac{{x + y}}{{3 + 5}} = \frac{{24}}{8} = 3\\ \Rightarrow x = 3.3 = 9;y = 5.3 = 15\end{array}\)

Vậy diện tích hình chữ nhật là: S = 9.15 = 135 (m²)

Bài 6 trang 58 Toán 7 tập 1 CD

Trong đợt quyên góp ủng hộ các bạn vùng lũ lụt, số sách mà ba lớp 7A, 7B, 7C quyên góp được tỉ lệ với ba số 5; 6; 8. Tính số sách cả ba lớp đã quyên góp, biết số sách lớp 7C quyên góp nhiều hơn số sách của lớp 7A quyên góp là 24 quyển.

Hướng dẫn giải

Gọi số sách 3 lớp 7A, 7B, 7C quyên góp được là x, y, z (quyển) (\(x,y,z \in \mathbb{N}*\))

Vì số sách mà ba lớp 7A,7B,7C quyên góp được tỉ lệ với ba số 5;6;8 nên \(\frac{x}{5} = \frac{y}{6} = \frac{z}{8}\)

Mà số sách lớp 7C quyên góp nhiều hơn số sách của lớp 7A quyên góp là 24 quyển nên z – x = 24

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\begin{array}{l}\frac{x}{5} = \frac{y}{6} = \frac{z}{8} = \frac{{z - x}}{{8 - 5}} = \frac{{24}}{3} = 8\\ \Rightarrow x = 5.8 = 40;y = 6.8 = 48;z = 8.8 = 64\end{array}\)

Vậy số sách 3 lớp 7A,7B,7C quyên góp được lần lượt là 40 quyển; 48 quyển và 64 quyển.

Bài 7 trang 58 Toán 7 tập 1 CD

Trên quần đảo Trường Sa của Việt Nam, cây phong ba, cây bàng vuông, cây mù u là những loại cây có sức sống mãnh liệt, chịu đựng được tàn phá của thiên nhiên, biển mặn và có thời gian sinh trưởng lâu. Nhân ngày Tết trồng cây, các chiến sĩ đã trồng tổng cộng 36 cây phong ba, cây bàng vuông, cây mù u trên các đảo. Số cây phong ba, cây bàng vuông, cây mù u đã trồng tỉ lệ với ba số 5; 4; 3. Tính số cây các chiến sĩ đã trồng mỗi loại.

Hướng dẫn giải

Gọi số cây phong ba, cây bàng vuông, cây mù u đã trồng được là x,y,z (cây) (\(x,y,z \in \mathbb{N}*\))

Vì tổng số cây đã trồng được là 36 cây nên x + y + z = 36

Mà số cây phong ba, cây bàng vuông, cây mù u đã trồng tỉ lệ với ba số 5; 4; 3 nên \(\frac{x}{5} = \frac{y}{4} = \frac{z}{3}\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\begin{array}{l}\frac{x}{5} = \frac{y}{4} = \frac{z}{3} = \frac{{x + y + z}}{{5 + 4 + 3}} = \frac{{36}}{{12}} = 3\\ \Rightarrow x = 5.3 = 15;y = 4.3 = 12;z = 3.3 = 9\end{array}\)