Toán 7 Bài 11: Tính chất ba đường phân giác của tam giác

Giải Toán 7 Cánh diều Bài 11: Tính chất ba đường phân giác của tam giác tổng hợp câu hỏi và lời giải cho các câu hỏi trong SGK Toán 7 Cánh diều tập 2. Bài tập Toán 7 với lời giải chi tiết, rõ ràng dễ hiểu, tương ứng với từng bài học trong sách, giúp các bạn học sinh củng cố kiến thức, rèn luyện kỹ năng giải môn Toán lớp 7 hiệu quả. Mời các bạn tham khảo.

Hoạt động 1 trang 108 SGK Toán 7 tập 2 Cánh diều

Trong tam giác ABC, tia phân giác của góc A cắt cạnh BC tại điểm D (Hình 110). Các đầu mút của đoạn thẳng AD có đặc điểm gì?

Hướng dẫn giải:

A là đỉnh của tam giác ABC, D là giao điểm của đường phân giác của góc A và cạnh BC.

Hoạt động 2 trang 109 SGK Toán 7 tập 2 Cánh diều

Quan sát các đường phân giác AD, BE, CK của tam giác ABC (Hình 114), cho biết ba đường phân giác đó có cùng đi qua một điểm hay không.

Hướng dẫn giải:

Ta thấy ba đường phân giác AD, BE, CK của tam giác ABC cùng đi qua điểm I.

Luyện tập 2 trang 110 SGK Toán 7 tập 2 Cánh diều

Tìm số đo x trong Hình 115.

Hướng dẫn giải:

Ta thấy đường phân giác của góc B và góc C cắt nhau tại I nên I là giao điểm ba đường phân giác của tam giác ABC.

Do đó AI là đường phân giác của góc BAC

Suy ra x = 30^o.

Luyện tập 3 trang 111 SGK Toán 7 tập 2 Cánh diều

Cho tam giác ABC có I là giao điểm của ba đường phân giác. M, N, P lần lượt là hình chiếu của I trên các cạnh BC, CA, AB. Chứng minh rằng: IA, IB, IC lần lượt là đường trung trực của các đoạn thẳng NP, PM, MN.

Hướng dẫn giải:

+) Chứng minh IA là đường trung trực của NP.

Do IP = IN nên I thuộc đường trung trực của NP.

Xét ∆AIP vuông tại P và ∆AIN vuông tại N có:

AI chung.

IP = IN (theo giả thiết).

Do đó ∆AIP = ∆AIN (cạnh huyền - cạnh góc vuông).

Suy ra AP = AN (2 cạnh tương ứng).

Do AP = AN nên A thuộc đường trung trực của NP.

Do đó IA là đường trung trực của NP.

+) Chứng minh IB là đường trung trực của PM.

Do IP = IM nên I thuộc đường trung trực của PM.

Xét ∆BIP vuông tại P và ∆BIM vuông tại M có:

BI chung.

IP = IM (theo giả thiết).

Do đó ∆BIP = ∆BIM (cạnh huyền - cạnh góc vuông).

Suy ra BP = BM (2 cạnh tương ứng).

Do BP = BM nên B thuộc đường trung trực của PM.

Do đó IB là đường trung trực của PM.

+) Chứng minh IC là đường trung trực của MN.

Do IM = IN nên I thuộc đường trung trực của MN.

Xét ∆CIM vuông tại M và ∆CIN vuông tại N có:

CI chung.

IM = IN (theo giả thiết).

Do đó ∆CIM = ∆CIN (cạnh huyền - cạnh góc vuông).

Suy ra CM = CN (2 cạnh tương ứng).

Do CM = CN nên C thuộc đường trung trực của MN.

Do đó IC là đường trung trực của MN.

Bài 1 trang 111 SGK Toán 7 tập 2 Cánh diều

Tam giác ABC có ba đường phân giác cắt nhau tại I. Gọi M, N, P lần lượt là hình chiếu của I trên các cạnh BC, CA, AB.

a) Các tam giác IMN, INP, IPM có là tam giác cân không? Vì sao?

b) Các tam giác ANP, BPM, CMN có là tam giác cân không? Vì sao?

Hướng dẫn giải:

a) Tam giác ABC có I là giao điểm ba đường phân giác nên I cách đều 3 cạnh của tam giác ABC.

Do đó IM = IN = IP.

Do IM = IN nên tam giác IMN cân tại I.

Do IN = IP nên tam giác INP cân tại I.

Do IP = IM nên tam giác IPM cân tại I.

b) Xét ∆AIP vuông tại P và ∆AIN vuông tại N có:

AI chung.

IP = IN (theo giả thiết).

Do đó ∆AIP = ∆AIN (cạnh huyền - cạnh góc vuông).

Suy ra AP = AN (2 cạnh tương ứng).

Tam giác ANP có AP = AN nên tam giác ANP cân tại A.

Xét ∆BIP vuông tại P và BIM vuông tại M có:

BI chung.

IP = IM (theo giả thiết).

Do đó ∆BIP = ∆BIM (cạnh huyền - cạnh góc vuông).

Suy ra BP = BM (2 cạnh tương ứng).

Tam giác BPM có BP = BM nên tam giác BPM cân tại B.

Xét ∆CIM vuông tại M và ∆CIN vuông tại N có:

CI chung.

IM = IN (theo giả thiết).

Do đó ∆CIM = ∆CIN (cạnh huyền - cạnh góc vuông).

Suy ra CM = CN (2 cạnh tương ứng).

Tam giác CMN có CM = CN nên tam giác CMN cân tại C.

Bài 2 trang 111 SGK Toán 7 tập 2 Cánh diều

Tam giác ABC có ba đường phân giác cắt nhau tại I. Chứng minh:

a) \(\widehat {IAB} + \widehat {IBC} + \widehat {ICA} = 90^\circ\);

b) \(\widehat {BIC} = 90^\circ + \dfrac{1}{2}\widehat {BAC}\).

Hướng dẫn giải:

a) I là giao điểm của ba đường phân giác tại ba góc A, B, C nên:

\(\widehat {IAB} = \widehat {IAC};\widehat {IBA} = \widehat {IBC};\widehat {ICB} = \widehat {ICA}.\)

Tổng ba góc trong một tam giác bằng 180° nên:

\(\begin{array}{l}\widehat {BAC} + \widehat {ACB} + \widehat {CBA} = 180^\circ \\\widehat {IAB} + \widehat {IAC} + \widehat {IBA} + \widehat {IBC} + \widehat {ICB} + \widehat {ICA} = 180^\circ \\2\widehat {IAB} + 2\widehat {IBC} + 2\widehat {ICA} = 180^\circ \end{array}\)

Vậy \(\widehat {IAB} + \widehat {IBC} + \widehat {ICA} = 90^\circ .\)

b) Tổng ba góc trong một tam giác bằng 180°. Xét tam giác BIC:

\(\begin{array}{l}\widehat {BIC} + \widehat {IBC} + \widehat {ICB} = 180^\circ \\\widehat {BIC} = 180^\circ - (\widehat {IBC} + \widehat {ICB})\end{array}.\)

Mà \(\widehat {IAB} + \widehat {IBC} + \widehat {ICA} = 90^\circ → \widehat {IBC} + \widehat {ICA} = 90^\circ - \widehat {IAB}\).

Vậy: \(\begin{array}{l}\widehat {BIC} = 180^\circ - (\widehat {IBC} + \widehat {ICB})\\\widehat {BIC} = 180^\circ - (90^\circ - \widehat {IAB})\\\widehat {BIC} = 90^\circ + \widehat {IAB}\end{array}\)

Mà \(\widehat {IAB} = \dfrac{1}{2}\widehat {BAC}\)(IA là phân giác của góc BAC).

Vậy \(\widehat {BIC} = 90^\circ + \widehat {IAB} = 90^\circ + \dfrac{1}{2}\widehat {BAC}.\)

Bài 3 trang 111 SGK Toán 7 tập 2 Cánh diều

Tam giác ABC có ba đường phân giác cắt nhau tại I và AB < AC.

a) Chứng minh \(\widehat {CBI} > \widehat {ACI}\);

b) So sánh IB và IC.

Hướng dẫn giải:

a) Ta có: AB < AC nên \(\widehat {ABC} > \widehat {ACB}\)(góc ABC đối diện với cạnh AC; góc ACB đối diện với cạnh AB).

Mà BI và CI là hai đường phân giác của góc ABC và góc ACB nên:\(\widehat {CBI} > \widehat {ACI}\)

(Vì: \(\widehat {CBI} = \dfrac{1}{2}\widehat {ABC};\widehat {ACI} = \dfrac{1}{2}\widehat {ACB})\).

b) Ta có: \(\widehat {ACI} = \widehat {BCI}\)

Mà \(\widehat {CBI} > \widehat {ACI}\) ( câu a)

Do đó\(\widehat {CBI} > \widehat {BCI}.\)

Mà IC đối diện với góc CBI; IB đối diện với góc BCI.

Vậy IC > IB (cạnh đối diện với góc lớn hơn thì có số đo độ dài lớn hơn).

........................

Bài tiếp theo: Giải Toán 7 Bài 12: Tính chất ba đường trung trực của tam giác