Toán 7 Bài tập cuối chương 3 trang 59

Bài 3.32 trang 59 Toán 7 tập 1

Chứng minh rằng: Cho điểm A và đường thẳng d thì có duy nhất đường thẳng đi qua A và vuông góc với d, tức là nếu có hai đường thẳng đi qua A vuông góc với d thì chúng phải trùng nhau.

Hướng dẫn giải

Giả sử có 2 đường thẳng a và a’ đi qua A và vuông góc với d.

Vì \(a \bot d\), mà \(a’ \bot d\) nên a // a’ (hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau)

Mà \(A \in d\), \(A \in d’\)

\(\Rightarrow a \equiv a'\)

Vậy có duy nhất đường thẳng đi qua A và vuông góc với d

Bài 3.33 trang 59 Toán 7 tập 1

Vẽ ba đường thẳng phân biệt a, b, c sao cho a//b, b//c và hai đường thẳng phân biệt m, n cùng vuông góc với a. Hỏi trên hình có bao nhiêu cặp đường thẳng song song, có bao nhiêu cặp đường thẳng vuông góc?

Hướng dẫn giải

Ta có:

+) a // b, b // c nên a // c (Hai đường thẳng cùng song song với đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau)

+) \(m \bot a\); \(n \bot a\) nên m // n (Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau)

Theo định lý “Đường thẳng vuông góc với 1 trong 2 đường thẳng song song thì cũng vuông góc với đường thẳng kia", ta có:

+) a // b; \(a \bot n\) nên \(b \bot n\)

+) a // b; \(a \bot m\) nên \(b \bot m\)

+) a // c; \(a \bot n\) nên \(c \bot n\)

+) a // c; \(a \bot m\) nên \(c \bot m\)

Vậy các cặp đường thẳng song song là: a // b ; a // c ; b // c; m // n

Các cặp đường thẳng vuông góc là: \(b \bot n\); \(b \bot m\); \(c \bot n\); \(c \bot m\); \(a \bot n\); \(a \bot m\)

Bài 3.34 trang 59 Toán 7 tập 1

Cho Hình 3.50, trong đó hai tia Ax và By nằm trên hai đường thẳng song song. Chứng minh rằng \(\widehat C = \widehat A + \widehat B\)

Hướng dẫn giải

Qua C kẻ đường thẳng d song song với Ax

Vì Ax // By nên d // By

Vì d // Ax nên \(\widehat A = \widehat {{C_1}}\)(2 góc so le trong)

Vì d // By nên \(\widehat B = \widehat {{C_2}}\) (2 góc so le trong)

Mà \(\widehat C = \widehat {{C_1}} + \widehat {{C_2}}\)

Vậy \(\widehat C = \widehat A + \widehat B(đpcm)\)

Bài 3.35 trang 59 Toán 7 tập 1

Cho Hình 3.51, trong đó Ox và Ox’ là hai tia đối nhau

a) Tính tổng số đo ba góc O1, O2, O3 .

Gợi ý:\(\widehat {{O_1}} + \widehat {{O_2}} + \widehat {{O_3}} = (\widehat {{O_1}} + \widehat {{O_2}}) + \widehat {{O_3}}\), trong đó \(\widehat {{O_1}} + \widehat {{O_2}} = \widehat {x'Oy}\)

b) Cho \(\widehat {{O_1}} = 60^\circ ,\widehat {{O_2}} = 70^\circ\). Tính \(\widehat {{O_2}}\)

Hướng dẫn giải

a) Ta có: \(\widehat {{O_1}} + \widehat {{O_2}} + \widehat {{O_3}} = (\widehat {{O_1}} + \widehat {{O_2}}) + \widehat {{O_3}}=\widehat {x'Oy} + \widehat {{O_3}}\), mà \(\widehat {x'Oy} + \widehat {{O_3}}= 180^\circ\) (2 góc kề bù)

Vậy \(\widehat {{O_1}} + \widehat {{O_2}} + \widehat {{O_3}} = 180^\circ\)

b) Vì \(\widehat {{O_1}} + \widehat {{O_2}} + \widehat {{O_3}} = 180^\circ\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 60^\circ + \widehat {{O_2}} + 70^\circ = 180^\circ \\ \Rightarrow \widehat {{O_2}} = 180^\circ - 60^\circ - 70^\circ = 70^\circ \end{array}\)

Vậy \(\widehat {{O_2}} = 70^\circ\)

Bài 3.36 trang 59 Toán 7 tập 1

Cho Hình 3.52, biết \(\widehat {xOy} = 120^\circ ,\widehat {yOz} = 110^\circ\). Tính số đo góc zOx.

Gợi ý: Kẻ thêm tia đối của tia Oy

Hướng dẫn giải

Kẻ Ot là tia đối của tia Oy.

Ta được:

+) \(\widehat {{O_1}} + \widehat {xOy} = 180^\circ\) (2 góc kề bù)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \widehat {{O_1}} + 120^\circ = 180^\circ \\ \Rightarrow \widehat {{O_1}} = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \end{array}\)

+) \(\widehat {{O_2}} + \widehat {yOz} = 180^\circ\) (2 góc kề bù)

Vì Ot nằm giữa 2 tia Ox và Oz nên \(\widehat {xOz} = \widehat {{O_1}} + \widehat {{O_2}} = 60^\circ + 70^\circ = 130^\circ\)

Vậy \(\widehat {zOx} = 130^\circ\)