Toán 7 Bài 10: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác

Giải Toán 7 Cánh diều Bài 10: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác tổng hợp câu hỏi và lời giải cho các câu hỏi trong SGK Toán 7 Cánh diều tập 2. Bài tập Toán 7 với lời giải chi tiết, rõ ràng dễ hiểu, tương ứng với từng bài học trong sách, giúp các bạn học sinh củng cố kiến thức, rèn luyện kỹ năng giải môn Toán lớp 7 hiệu quả. Mời các bạn tham khảo.

Hoạt động 1 trang 104 Toán 7 tập 2 Cánh diều

Quan sát Hình 97 và cho biết các đầu mút của đoạn thẳng AM có đặc điểm gì.

Hướng dẫn giải:

Ta thấy điểm A là một đỉnh của tam giác ABC, điểm M là trung điểm của cạnh BC.

Luyện tập 1 trang 105 Toán 7 tập 2 Cánh diều

Trong H ình 101, đoạn thẳng HK là đường trung tuyến của những tam giác nào?

Hướng dẫn giải:

K là đỉnh của tam giác AKC, H là trung điểm của cạnh AC nên KH là đường trung tuyến của tam giác AKC.

H là đỉnh của tam giác BHC, K là trung điểm của cạnh BC nên HK là đường trung tuyến của tam giác BHC.

Hoạt động 2 trang 105 Toán 7 tập 2 Cánh diều

Quan sát các đường trung tuyến AM, BN, CP của tam giác ABC trong Hình 102, cho biết ba đường trung tuyến đó có cùng đi qua một điểm hay không.

Hướng dẫn giải:

Ta thấy ba đường trung tuyến AM, BN, CP của tam giác ABC cùng đi qua điểm G.

Luyện tập 2 trang 105 Toán 7 tập 2 Cánh diều

Cho tam giác PQR có hai đường trung tuyến QM và RK cắt nhau tại G. Gọi I là trung điểm của cạnh QR. Chứng minh rằng ba điểm P, G, I thẳng hàng.

Hướng dẫn giải:

Tam giác PQR có hai đường trung tuyến QM và RK cắt nhau tại G nên G là trọng tâm của tam giác PQR.

I là trung điểm của cạnh QR nên PI là đường trung tuyến của tam giác PQR.

Các đường trung tuyến của tam giác cùng đi qua trọng tâm của tam giác nên P, G, I thẳng hàng.

Bài 1 trang 107 Toán 7 tập 2 Cánh diều

Cho tam giác ABC. Ba đường trung tuyến AM, BN, CP đồng quy tại G. Chứng minh:

GA + GB + GC = \(\dfrac{2}{3}(AM + BN + CP)\).

Hướng dẫn giải:

Trọng tâm của một tam giác cách mỗi đỉnh một khoảng bằng \(\dfrac{2}{3}\)độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy nên:

\(\begin{array}{l}\dfrac{{GA}}{{AM}} = \dfrac{{GB}}{{BN}} = \dfrac{{GC}}{{CP}} = \dfrac{2}{3}\\ \to GA = \dfrac{2}{3}AM;GB = \dfrac{2}{3}BN;GC = \dfrac{2}{3}CP\end{array}\)

Vậy:

\(GA + GB + GC = \dfrac{2}{3}AM + \dfrac{2}{3}BN + \dfrac{2}{3}CP = \dfrac{2}{3}(AM + BN + CP).\)

Bài 2 trang 107 Toán 7 tập 2 Cánh diều

Cho tam giác ABC cân tại A, hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G. Chứng minh:

a) BM = CN;                                                                    b) \(\Delta GBC\) cân tại G.

Hướng dẫn giải:

a) Tam giác ABC cân tại A nên AB = AC. M, N lần lượt là trung điểm của cạnh AC, AB nên AM = AN.

Xét tam giác ABM và tam giác ACN có: AM = AN; \(\widehat A\) chung; AB = AC.

Vậy \(\Delta ABM = \Delta ACN\)(c.g.c) hay BM = CN.

b) G là giao điểm của hai đường trung tuyến BM và CN nên G là trọng tâm tam giác ABC. Hay:

\(GB = \dfrac{2}{3}BM\); \(GC = \dfrac{2}{3}CN\). Mà BM = CN nên GB = GC.

Vậy tam giác GBC cân tại G.

Bài 3 trang 107 Toán 7 tập 2 Cánh diều

Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến AM và BN cắt nhau tại G. Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MD = MG. Chứng minh:

a) GA = GD;                              

b) \(\Delta MBG = \Delta MCD;\)

c) CD = 2GN.

Hướng dẫn giải:

a) G là giao điểm của hai đường trung tuyến AM và BN nên G là trọng tâm tam giác ABC.

Suy ra: AG = 2GM.  Mà trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MD = MG nên GD = 2GM.

Vậy GA = GD (= 2GM).

b) Xét hai tam giác MBG và MCD có:

MB = MC (M là trung điểm cạnh BC)

\(\widehat {GMB} = \widehat {DMC}\) (đối đỉnh)

GM = GD.

Vậy \(\Delta MBG = \Delta MCD(c.g.c).\)

c) \(\Delta MBG = \Delta MCD\) nên BG = CD (2 cạnh tương ứng).

Mà G là trọng tâm tam giác ABC nên BG = 2GN. Mà BG = CD nên CD = 2GN.

Bài 4 trang 107 Toán 7 tập 2 Cánh diều

Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến AM và BN cắt nhau tại G. Gọi H là hình chiếu của A lên đường thẳng BC. Giả sử H là trung điểm của đoạn thẳng BM. Chứng minh:

a) \(\Delta AHB = \Delta AHM\);                                                 b) AG = \(\dfrac{2}{3}AB\).

Hướng dẫn giải:

a) Xét tam giác AHB và tam giác AHM có:

AH chung;

\(\widehat {AHB} = \widehat {AHM}\) (H là hình chiếu của A lên BC nên \(AH \bot BC\));

HB = HM (H là trung điểm của BM).

Vậy \(\Delta AHB = \Delta AHM\)(c.g.c).

b)\(\Delta AHB = \Delta AHM\)nên AB = AM ( 2 cạnh tương ứng).

G là giao điểm của hai đường trung tuyến AM và BN nên G là trọng tâm tam giác ABC. Nên: \(AG = \dfrac{2}{3}AM\).

Mà AB = AM suy ra: \(AG = \dfrac{2}{3}AB\).

Bài 5 trang 107 Toán 7 tập 2 Cánh diều

Hình 107 là mặt cắt đứng của một ngôi nhà ba tầng có mái dốc. Mỗi tầng cao 3,3 m. Mặt cắt mái nhà có dạng tam giác ABC cân tại A với đường trung tuyến AH dài 1,2 m. Tại vị trí O là trọng tâm tam giác ABC, người ta làm tâm cho một cửa sổ có dạng hình tròn.

a) AH có vuông góc với BC không? Vì sao?

b) Vị trí O ở độ cao bao nhiêu mét so với mặt đất.

Hướng dẫn giải:

a) Vì \(\Delta ABC\) cân tại A nên AB = AC

Vì AH là đường trung tuyến của tam giác ABC nên BH = HC = \(\dfrac{1}{2}. BC\)

Xét \(\Delta ABH\) và \(\Delta ACH\) có:

AH chung

AB = AC

BH = HC

\(\Rightarrow \Delta ABH=\Delta ACH (c.c.c)\)

\(\Rightarrow \widehat{AHB}=\widehat{AHC}\) ( 2 góc tương ứng)

Mà \(\widehat{AHB}+\widehat{AHC}=180^0\)

\(\Rightarrow \widehat{AHB}=\widehat{AHC}=180^0 : 2 = 90^0\)

Vậy AH có vuông góc với BC.

b) Vị trí O ở độ cao so với mặt đất bằng độ cao ba tầng cộng với khoảng cách OH.

Độ cao ba tầng của tòa nhà bằng 3,3.3 = 9,9(m).

Mà O là trọng tâm tam giác ABC nên \(OH = \dfrac{1}{3}AH\). Vậy \(OH = \dfrac{1}{3}.1,2 = 0,4(m).\)

Vậy vị trí O ở độ cao: 9,9 + 0,4 = 10,3m so với mặt đất.

........................

Bài tiếp theo: Toán 7 Bài 11: Tính chất ba đường phân giác của tam giác