Toán 7 Bài 9: Đường trung trực của một đoạn thẳng

Giải Toán 7 Cánh diều Bài 9: Đường trung trực của một đoạn thẳng hướng dẫn giải cho các câu hỏi và bài tập trong SGK Toán 7 Cánh diều trang 100, 101, 102.

Câu hỏi khởi động trang 100 Toán 7 Tập 2:

Hình 86 minh họa chiếc cân thăng bằng và gợi nên hình ảnh đoạn thẳng AB, đường thẳng d.

Đường thẳng d có mối liên hệ gì với đoạn thẳng AB?

Hướng dẫn giải

Khi chiếc cân thăng bằng thì đường thẳng d vuông góc với đoạn thẳng AB tại trung điểm của AB.

Hoạt động 1 trang 100 Toán 7 Tập 2:

Quan sát Hình 87.

a) So sánh hai đoạn thẳng IA và IB.

b) Tìm số đo của các góc I1, I2.

Hướng dẫn giải

a) Ta coi độ dài cạnh ô vuông nhỏ bằng 1 đơn vị.

Khi đó IA = 2 và IB = 2.

Do đó IA = IB.

b) Ta thấy đường thẳng d vuông góc với AB nên \(\widehat {I1}\) =90°, \(\widehat {I2}\)=90°.

Hoạt động 2 trang 101 Toán 7 Tập 2:

Cho đoạn thẳng AB có trung điểm O, d là đường trung trực của đoạn thẳng AB, điểm M thuộc d, M khác O (Hình 90).

Chứng minh rằng:

a) ∆MOA = ∆MOB;

b) MA = MB.

Hướng dẫn giải

Chứng minh (Hình 90):

a) Vì d là đường trung trực của đoạn thẳng AB (giả thiết)

Nên MO ⊥ AB tại O

Do đó tam giác MOA vuông tại O và tam giác MOB vuông tại O.

Xét ∆MOA (vuông tại O) và ∆MOB (vuông tại O) có:

MO là cạnh chung,

OA = OB (O là trung điểm của AB).

Do đó ∆MOA = ∆MOB (hai cạnh góc vuông).

Vậy ∆MOA = ∆MOB.

b) Vì ∆MOA = ∆MOB (chứng minh trên)

Nên MA = MB (hai cạnh tương ứng).

Vậy MA = MB.

Luyện tập 2 trang 101 Toán 7 Tập 2:

Hình 91 mô tả mặt cắt đứng của một ngôi nhà với hai mái là OA và OB, mái nhà bên trái dài 3 m. Tính chiều dài mái nhà bên phải, biết rằng điểm O thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AB.

Hướng dẫn giải

Do O thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AB nên OA = OB (tính chất đường trung trực)

Mà OA = 3 m nên OB = 3 m.

Vậy chiều dài mái nhà bên phải là 3 m.

Hoạt động 3 trang 101 Toán 7 Tập 2:

Cho đoạn thẳng AB có trung điểm O. Giả sử M là một điểm khác O sao cho MA = MB.

a) Hai tam giác MOA và MOB có bằng nhau hay không? Vì sao?

b) Đường thẳng MO có là đường trung trực của đoạn thẳng AB hay không? Vì sao?

Hướng dẫn giải

a) Xét ∆MOA và ∆MOB có:

OA = OB (O là trung điểm của AB),

MA = MB (giả thiết),

MO là cạnh chung

Do đó ∆MOA = ∆MOB (c.c.c).

Vậy ∆MOA = ∆MOB.

b) Vì ∆MOA = ∆MOB (chứng minh câu a)

Nên \(\widehat {MOA}\)=\(\widehat {MOB}\) (hai góc tương ứng)

Mà \(\widehat {MOA}\)+\(\widehat {MOB}\)=180° (tính chất hai góc kề bù)

Do đó Nên \(\widehat {MOA}\)=\(\widehat {MOB}\)=90°

Khi đó MO ⊥ AB tại trung điểm O của đoạn thẳng AB.

Vậy MO là đường trung trực của đoạn thẳng AB.

Luyện tập 3 trang 102 Toán 7 Tập 2:

Cho tam giác ABC cân tại A.

a) Điểm A có thuộc đường trung trực của đoạn thẳng BC hay không? Vì sao?

b) Đường thẳng qua A vuông góc với BC cắt cạnh BC tại H. Đường thẳng AH có là đường trung trực của đoạn thẳng BC hay không? Vì sao?

Hướng dẫn giải

a) Tam giác ABC cân tại A (giả thiết) nên AB = AC.

Do AB = AC nên A nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng BC.

Vậy A thuộc đường trung trực của đoạn thẳng BC.

b) Vì AH ⊥ BC tại H nên ∆ABH vuông tại H và ∆ACH vuông tại H.

Xét ∆ABH (vuông tại H) và ∆ACH (vuông tại H) có:

AB = AC (chứng minh trên),

AH là cạnh chung.

Do đó ∆ABH = ∆ACH (cạnh huyền - cạnh góc vuông).

Suy ra HB = HC (hai cạnh tương ứng).

Mà H nằm giữa B và C nên H là trung điểm của BC.

Ta có AH vuông góc với BC tại trung điểm H của BC nên AH là đường trung trực của đoạn thẳng BC.

Vậy đường thẳng AH là đường trung trực của đoạn thẳng BC.

Hoạt động 4 trang 102 Toán 7 Tập 2:

Dùng thước thẳng (có chia đơn vị) và compa vẽ đường trung trực của đoạn thẳng AB, biết AB = 3 cm.

Hướng dẫn giải

Để vẽ đường trung trực của đoạn thẳng AB, ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1. Vẽ đoạn thẳng AB = 3 cm.

Bước 2. Vẽ một phần đường tròn tâm A bán kính 2 cm.

Bước 3. Vẽ một phần đường tròn tâm B bán kính 2 cm, cắt phần đường tròn tâm A vẽ ở Bước 2 tại các điểm C và D.

Bước 4. Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm C và D. Đường thẳng CD là đường trung trực của đoạn thẳng AB.

Bài 1 trang 103 Toán 7 tập 2 Cánh diều

Trong Hình 94, đường thẳng CD là đường trung trực của đoạn thẳng AB. Chứng minh \(\widehat {CAD} = \widehat {CBD}.\)

Hướng dẫn giải:

Ta có: đường thẳng CD là đường trung trực của đoạn thẳng AB. Nên CD đi qua trung điểm của AB và vuông góc với AB.

Hay \(\widehat {CAB} = \widehat {CBA}\); \(\widehat {DAB} = \widehat {DBA}.\)

Vậy \(\widehat {CAB} - \widehat {DAB} = \widehat {CBA} - \widehat {DBA}\) suy ra:\(\widehat {CAD} = \widehat {CBD}.\)

Bài 3 trang 103 Toán 7 tập 2 Cánh diều

Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng, điểm B nằm giữa hai điểm A và C. Gọi a và b lần lượt là đường trung trực của các đoạn thẳng AB và BC. Chứng minh rằng a // b.

Hướng dẫn giải:

a là đường trung trực của đoạn thẳng AB nên a vuông góc với AB tại trung điểm của AB.

b là đường trung trực của đoạn thẳng BC nên b vuông góc với BC tại trung điểm của BC.

Do A, B, C thẳng hàng và B nằm giữa A và C nên trung điểm của đoạn thẳng AB và trung điểm của đoạn thẳng BC không trùng nhau.

Do đó a // b.

Bài 4 trang 103 Toán 7 tập 2 Cánh diều

Cho đường thẳng d là đường trung trực của đoạn thẳng AB. Điểm M không thuộc đường thẳng d và đoạn thẳng AB sao cho đường thẳng d cắt đoạn thẳng MB tại điểm I. Chứng minh:

a) MB = AI + IM;

b) MA < MB.

Hướng dẫn giải:

a) Đường thẳng d cắt MB tại I nên I thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AB.

Do đó AI = BI.

Khi đó MB = BI + IM = AI + IM.

b) Xét trong tam giác AIM có AI + IM > MA.

Mà AI + IM = MB nên MB > MA.

........................

Bài tiếp theo: Giải Toán 7 Bài 10: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác