Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm

Đóng

Điểm danh hàng ngày

Hôm nay +3
Ngày 2 +3
Ngày 3 +3
Ngày 4 +3
Ngày 5 +3
Ngày 6 +3
Ngày 7 +5

Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm! Đăng nhập ngay để nhận điểm

Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169

VnDoc.com

Cách tính giới hạn vô định dạng 0/0

Bài tập Giới hạn Toán 11 có đáp án

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 11

Môn: Toán

Dạng tài liệu: Chuyên đề

Loại: Tài liệu Lẻ

Loại File: Word + PDF

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Phương pháp tính giới hạn dạng 0/0

A. Cách tính giới hạn dạng không trên không
B. Ví dụ minh họa tính giới hạn dạng 0/0
C. Bài tập vận dụng có đáp án chi tiết

Giới hạn dạng vô định 0/0 là một trong những dạng toán cốt lõi của chương trình Giải tích 11. Đây là dạng bài thường xuyên xuất hiện trong đề kiểm tra và đề thi, đòi hỏi học sinh phải nắm vững cách biến đổi, khử vô định và áp dụng đúng phương pháp. Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu chi tiết các kỹ thuật tính giới hạn dạng 0/0 như nhân liên hợp, chia bậc cao nhất, tách biểu thức hay vận dụng hằng đẳng thức. Đồng thời, bài viết cung cấp hệ thống bài tập giới hạn Toán 11 có đáp án giúp bạn luyện tập hiệu quả.

A. Cách tính giới hạn dạng không trên không

Dạng 1: $L = \lim_{x \rightarrow x_{0}}\frac{P(x)}{Q(x)}$ với P(x), Q(x) là các đa thức và P(x₀) = Q(x₀) = 0

Phân tích cả tử và mẫu thành nhân tử và rút gọn.

Chú ý:

+ Nếu tam thức bậc hai ax² + bx + c có hai nghiệm x₁; x₂ thì ta luôn có sự phân tích:

ax² + bx + c = a(x - x₁)(x - x₂).

$a^{n} - b^{n} = (a - b)\left( a^{n - 1} + a^{n - 2}b + ... + ab^{n - 2} + b^{n - 1} \right)$

Dạng 2: $L = \lim_{x \rightarrow x_{0}}\frac{P(x)}{Q(x)}$ với P(x₀) = Q(x₀) = 0 và P(x), Q(x) là các biểu thức chứa căn cùng bậc

Sử dụng các hằng đẳng thức để nhân lượng liên hợp ở tử và mẫu.

Liên hợp

$\left( \sqrt{a} - \sqrt{b} \right)\left( \sqrt{a} + \sqrt{b} \right) = a - b$

$\left( \sqrt[3]{a} \pm \sqrt[3]{b} \right)\left( \sqrt[3]{a^{2}} \mp \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^{2}} \right) = a - b$

$\left( \sqrt[n]{a} - \sqrt[n]{b} \right)\left( \sqrt[n]{a^{n - 1}} + \sqrt[n]{a^{n - 2}b} + ... + \sqrt[m]{b^{n - 1}} \right) = a - b$

Dạng 3. $L = \lim_{x \rightarrow x_{0}}\frac{P(x)}{Q(x)}$ với P(x₀) = Q(x₀) = 0 và P(x) là biểu thức chứa căn không đồng bậc

Giả sử: $P(x) = \sqrt[m]{u(x)} - \sqrt[n]{v(x)}$ với $\sqrt[m]{u\left( x_{0} \right)} = \sqrt[n]{v\left( x_{0} \right)} = a$

Ta phân tích P(x) = $P(x) = \left( \sqrt[m]{u(x)} - a \right) + \left( a - \sqrt[n]{v(x)} \right)$ .

Trong nhiều trường hợp việc phân tích như trên không đi đến kết quả ta phải phân tích như sau: $\sqrt[m]{u(x)} - \sqrt[n]{v(x)} = \left( \sqrt[m]{u(x)} - m(x) \right) - \left( \sqrt[n]{v(x)} - m(x) \right)$ , trong đó $m(x) \rightarrow c$ .

B. Ví dụ minh họa tính giới hạn dạng 0/0

Ví dụ 1. Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của $\lim_{x \rightarrow - 1}\frac{x^{2} + 2x + 1}{2x^{3} + 2}$ là:

A. $- \infty$ . B. 0 . C. 0,5. D. $+ \infty$ .

Hướng dẫn giải

Chọn B.

Cách 1: Ta có:

$\lim_{x \rightarrow - 1}\frac{x^{2} + 2x + 1}{2x^{3} + 2} = \lim_{x \rightarrow - 1}\frac{(x + 1)^{2}}{2(x + 1)\left( x^{2} - x + 1 \right)} = \lim_{x \rightarrow - 1}\frac{x + 1}{2\left( x^{2} - x + 1 \right)} = 0$

Cách 2: Bấm máy tính như sau: $\frac{x^{2} + 2x + 1}{2x^{3} + 2} + CACL + x = - 1 + 10^{- 9}$ và so đáp án.

Cách 3: Dùng chức lim của máy VNCALL 570ES Plus: $\left. \ \lim\frac{x^{2} + 2x + 1}{2x^{3} + 2} \right|_{x \rightarrow - 1 + 10^{- 9}}$ và so đáp án.

Ví dụ 2. Tìm giới hạn $A = \lim_{x \rightarrow 1}\frac{x^{3} - 3x^{2} + 2}{x^{2} - 4x + 3}$ ?

A. $+ \infty$ . B. $- \infty$ . C. 1,5. D. 1.

Hướng dẫn giải

Chọn C.

Ta có:

$A = \lim_{x \rightarrow 1}\frac{x^{3} - 3x^{2} + 2}{x^{2} - 4x + 3} = \lim_{x \rightarrow 1}\frac{(x - 1)\left( x^{2} - 2x - 2 \right)}{(x - 1)(x - 3)}$

$= \lim_{x \rightarrow 1}\frac{x^{2} - 2x - 2}{x - 3} = \frac{3}{2}$ .

Ví dụ 3. Tìm giới hạn $B = \lim_{x \rightarrow 2}\frac{x^{4} - 5x^{2} + 4}{x^{3} - 8}$ ?

A. $+ \infty$ . B. $- \infty$ . C. $- \frac{1}{6}$ . D. 1.

Hướng dẫn giải

Chọn D.

Ta có:

$B = \lim_{x \rightarrow 2}\frac{x^{4} - 5x^{2} + 4}{x^{3} - 8} = \lim_{x \rightarrow 2}\frac{\left( x^{2} - 1 \right)\left( x^{2} - 4 \right)}{(x - 2)\left( x^{2} + 2x + 4 \right)}$

$= \lim_{x \rightarrow 2}\frac{\left( x^{2} - 1 \right)(x - 2)(x + 2)}{(x - 2)\left( x^{2} + 2x + 4 \right)} = \lim_{x \rightarrow 2}\frac{\left( x^{2} - 1 \right)(x + 2)}{x^{2} + 2x + 4} = 1$ .

Ví du 4. Tìm giới hạn $C = \lim_{x \rightarrow 0}\frac{(1 + 3x)^{3} - (1 - 4x)^{4}}{x}$ ?

A. $+ \infty$ . B. $- \infty$ . C. $- \frac{1}{6}$ . D. 25.

Hướng dẫn giải

Chọn D.

Ta có:

$C = \lim_{x \rightarrow 0}\frac{(1 + 3x)^{3} - (1 - 4x)^{4}}{x}$

$= \lim_{x \rightarrow 0}\frac{(1 + 3x)^{3} - 1}{x} - \lim_{x \rightarrow 0}\frac{(1 - 4x)^{4} - 1}{x}$

$= \lim_{x \rightarrow 0}\frac{3x\left\lbrack (1 + 3x)^{2} + (1 + 3x) + 1 \right\rbrack}{x} - \lim_{x \rightarrow 0}\frac{- 4x(2 - 4x)\left\lbrack (1 - 4x)^{2} + 1 \right\rbrack}{x}$

$= \lim_{x \rightarrow 0}3\left\lbrack (1 + 3x)^{2} + (1 + 3x) + 1 \right\rbrack + \lim_{x \rightarrow 0}\left\lbrack 4(2 - 4x)\left\lbrack (1 - 4x)^{2} + 1 \right\rbrack \right\rbrack = 25$ .

Ví dụ 5. Tìm giới hạn $B = \lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sqrt[n]{1 + ax} - 1}{x};\left( n\mathbb{\in N};a \neq 0 \right)$ ?

A. $+ \infty$ . B. $- \infty$ . C. $\frac{a}{n}$ . D. $1 - \frac{n}{a}$ .

Hướng dẫn giải

Chọn C.

Cách 1: Nhân liên hợp

Ta có:

$B = \lim_{x \rightarrow 0}\frac{\left( \sqrt[n]{1 + ax} - 1 \right)\left( \sqrt[n]{(1 + ax)^{n - 1}} + \sqrt[n]{(1 + ax)^{n - 2}} + ... + \sqrt[n]{1 + ax} + 1 \right)}{x\left( \sqrt[n]{(1 + ax)^{n - 1}} + \sqrt[n]{(1 + ax)^{n - 2}} + ... + \sqrt[n]{1 + ax} + 1 \right)}$

$B = \lim_{x \rightarrow 0}\frac{a}{\sqrt[n]{(1 + ax)^{n - 1}} + \sqrt[n]{(1 + ax)^{n - 2}} + ... + \sqrt[n]{1 + ax} + 1} = \frac{a}{n}$

Cách 2: Đặt ẩn phụ

Đặt $\sqrt[n]{1 + ax} = t \Rightarrow x = \frac{t^{n} - 1}{a}$ và $x \rightarrow 0 \Leftrightarrow t \rightarrow 1$

$\Rightarrow B = a\lim_{t \rightarrow 1}\frac{t - 1}{t^{n} - 1} = a\lim_{t \rightarrow 1}\frac{t - 1}{(x - 1)\left( t^{n - 1} + t^{n} + ... + t + 1 \right)} = \frac{a}{n}$ .

Ví dụ 6. Tìm giới hạn $A = \lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sqrt[n]{1 + ax} - 1}{\sqrt[m]{1 + bx} - 1}$ với ab≠ 0?

A. $+ \infty$ . B. $- \infty$ . C. $\frac{am}{bn}$ . D. $1 + \frac{am}{bn}$ .

Hướng dẫn giải

Chọn C.

Áp dụng bài toán trên ta có:

$A = \lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sqrt[n]{1 + ax} - 1}{x}.\lim_{x \rightarrow 0}\frac{x}{\sqrt[m]{1 + bx} - 1} = \frac{a}{n}.\frac{m}{b} = \frac{am}{bn}$ .

Ví dụ 7. Tìm giới hạn $E = \lim_{x \rightarrow 7}\frac{\sqrt[3]{4x - 1} - \sqrt{x + 2}}{\sqrt[4]{2x + 2} - 2}$ ?

A. $+ \infty$ . B. $- \infty$ . C. $- \frac{8}{27}$ . D. .

Hướng dẫn giải

Chọn C.

Ta có:

$E = \lim_{x \rightarrow 7}\frac{\sqrt[3]{4x - 1} - \sqrt{x + 2}}{\sqrt[4]{2x + 2} - 2} = \lim_{x \rightarrow 7}\frac{\sqrt[3]{4x - 1} - 3}{\sqrt[4]{2x + 2} - 2} - \lim_{x \rightarrow 7}\frac{\sqrt{x + 2} - 3}{\sqrt[4]{2x + 2} - 2} = A - B$

$A = \lim_{x \rightarrow 7}\frac{\sqrt[3]{4x - 1} - 3}{\sqrt[4]{2x + 2} - 2} = \lim_{x \rightarrow 7}\frac{2\left( \sqrt[4]{2x + 2} + 2 \right)\left( \sqrt[4]{(2x + 2)^{2}}4 \right)}{\left( \sqrt[3]{(4x - 1)^{2}} + 3\sqrt[3]{4x - 1} + 9 \right)} = \frac{64}{27}$

$B = \lim_{x \rightarrow 7}\frac{\sqrt{x + 2} - 3}{\sqrt[4]{2x + 2} - 2} = \lim_{x \rightarrow 7}\frac{\left( \sqrt[4]{2x + 2} + 2 \right)\left( \sqrt[4]{(2x + 2)^{2}} + 4 \right)}{2\left( \sqrt{x + 2} - 3 \right)} = \frac{8}{3}$

$E = A - B = \frac{64}{27} - \frac{8}{3} = - \frac{8}{27}$ .

C. Bài tập vận dụng có đáp án chi tiết

Bài 1. Cho hàm số $f(x) = \frac{x - 3}{\sqrt{x^{2} - 9}}$ . Giá trị đúng của $\lim_{x \rightarrow 3^{+}}f(x)$ là:

A. $- \infty$ B. 0 C. $\sqrt{6}$ D. $+ \infty$

Bài 2. Tìm giới hạn $D = \lim_{x \rightarrow 0}\frac{(1 + x)(1 + 2x)(1 + 3x) - 1}{x}$ ?

A. $+ \infty$ B. $- \infty$ C. $- \frac{1}{6}$ D. 6

Bài 3. Tìm giới hạn $A = \lim_{x \rightarrow 0}\frac{x^{n} - 1}{x^{m} - 1};\left( m,n \in \mathbb{N}^{*} \right)$ ?

A. $+ \infty$ B. $- \infty$ C. $\frac{n}{m}$ D. m - n

Bài 4. Tìm giới hạn $A = \lim_{x \rightarrow 2}\frac{2x^{2} - 5x + 2}{x^{2} - 3x - 2}$ ?

A. $+ \infty$ B. $- \infty$ C. $\frac{1}{3}$ D.1

Bài 5. Tìm giới hạn $B = \lim_{x \rightarrow 1}\frac{x^{4} - 3x + 2}{x^{3} + 2x - 3}$ ?

A. $+ \infty$ B. $- \infty$ C. $\frac{1}{5}$ D. 1

Bài 6. Tìm giới hạn $C = \lim_{x \rightarrow 3}\frac{\sqrt{2x + 3} - x}{x^{2} - 4x + 3}$ ?

A. $+ \infty$ B. $- \infty$ C. $- \frac{1}{3}$ D. 1

Bài 7. Tìm giới hạn $D = \lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sqrt[3]{x + 1} - 1}{\sqrt[3]{2x + 1} - 1}$ ?

A. $+ \infty$ B. $- \infty$ C. $\frac{2}{3}$ D. 1

Bài 8. Tìm giới hạn $F = \lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sqrt{(2x + 1)(3x + 1)(4x + 1)} - 1}{x}$ ?

A. $+ \infty$ B. $- \infty$ C. $\frac{9}{2}$ D. 1

Bài 9. Tìm giới hạn $M = \lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sqrt{1 + 4x} - \sqrt[3]{1 + 6x}}{x^{2}}$ ?

A. $+ \infty$ B. $- \infty$ C. $\frac{1}{3}$ D. 0

Bài 10. Tìm giới hạn $N = \lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sqrt[m]{1 + ax} - \sqrt[n]{1 + bx}}{x}$ ?

A. $+ \infty$ B. $- \infty$ C. $\frac{a}{m} - \frac{b}{n}$ . D. $\frac{a}{m} + \frac{b}{n}$ .

Toàn bộ nội dung đã sẵn sàng! Nhấn Tải về để tải đầy đủ tài liệu.

-------------------------------------------

❓ FAQ chuẩn SEO – ngắn gọn, tăng CTR

1. Giới hạn vô định dạng 0/0 là gì?

Đây là dạng giới hạn mà khi thay giá trị vào biểu thức, cả tử số và mẫu số đều bằng 0: $\frac{0}{0}$

Khi đó cần biến đổi biểu thức trước khi tính giới hạn.

2. Làm sao nhận biết giới hạn dạng 0/0?

Sau khi thay giá trị của biến vào tử và mẫu:

Nếu tử = 0
Và mẫu = 0
→ Biểu thức thuộc dạng vô định 0/0.

3. Có những cách nào để khử dạng vô định 0/0?

Các phương pháp phổ biến gồm:

Phân tích nhân tử
Rút gọn biểu thức
Nhân liên hợp
Sử dụng hằng đẳng thức
Đổi biến phù hợp

4. Khi nào nên dùng liên hợp để tính giới hạn?

Phương pháp liên hợp thường áp dụng khi biểu thức chứa căn thức: A − B

5. Bài tập giới hạn Toán 11 có khó không?

Nếu nắm chắc các dạng biến đổi cơ bản và luyện nhiều bài tập từ dễ đến nâng cao thì học sinh sẽ xử lý khá nhanh.

6. Những lỗi thường gặp khi giải giới hạn 0/0 là gì?

Một số lỗi phổ biến:

Thay trực tiếp rồi kết luận sai
Phân tích nhân tử chưa triệt để
Sai dấu khi liên hợp
Rút gọn nhầm điều kiện xác định

7. Giới hạn vô định có quan trọng trong thi học kỳ không?

Có. Đây là dạng toán trọng tâm trong chương Giới hạn và thường xuất hiện trong đề kiểm tra 15 phút, giữa kỳ và học kỳ Toán 11.

8. Làm sao học tốt chuyên đề giới hạn Toán 11?

Học sinh nên:

Học chắc lý thuyết giới hạn
Ghi nhớ các hằng đẳng thức
Luyện kỹ các dạng vô định thường gặp
Làm bài tập có đáp án để tự kiểm tra lỗi sai

-----------------------------------------------------

Sau khi tham khảo bài viết, bạn đã nắm được những phương pháp quan trọng để xử lý giới hạn dạng vô định 0/0 một cách nhanh và chính xác. Việc luyện tập thường xuyên với các dạng bài đa dạng sẽ giúp bạn tự tin hơn khi gặp những bài toán giới hạn khó trong chương trình Toán 11. Đừng quên theo dõi thêm các bài viết tiếp theo để bổ sung kiến thức và cải thiện kỹ năng giải tích của mình.

Luyện tập mở rộng

Tải về

Chọn file muốn tải về: