Bài tập nâng cao Toán 7: Hai góc đối đỉnh

Bài tập nâng cao Toán 7: Hai góc đối đỉnh được VnDoc biên soạn bao gồm đáp án chi tiết cho từng bài tập giúp các bạn học sinh luyện tập các dạng bài tập liên quan đến hai góc đối đỉnh. Qua đó giúp các em học sinh ôn tập, củng cố và nâng cao thêm kiến thức đã học trong chương trình Toán 7. Mời các bạn học sinh và quý thầy cô cùng tham khảo chi tiết.

Bản quyền thuộc về VnDoc.
Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép nhằm mục đích thương mại.

A. Lý thuyết Hai góc đối đỉnh

1. Định nghĩa

+ Hai góc đối đỉnh là hai góc mà mỗi cạnh của góc này là tia đối của một cạnh của góc kia.

2. Tính chất

+ Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau.

B. Bài tập nâng cao Hai góc đối đỉnh

Bài 1:

a, Qua điểm O, vẽ bốn đường thẳng phân biệt. Hỏi có bao nhiêu cặp góc đối đỉnh (nhỏ hơn góc bẹt) có trong hình vẽ?

b, Trong trường hợp có n đường thẳng phân biệt đi qua O, hỏi có bao nhiêu cặp góc đối đỉnh (nhỏ hơn góc bẹt) có trong hình vẽ.

Bài 2: Chứng tỏ rằng hai tia phân giác của hai góc đối đỉnh là hai tia đối nhau.

Bài 3: Cho góc $\widehat{mOn}$ khác góc bẹt. Vẽ Ox là tia phân giác của $\widehat{mOn}$. Vẽ Ox’ là tia đối của tia Ox. Vẽ $\widehat{nOt}$ kề bù với $\widehat{mOn}$. Hỏi hai góc $\widehat{x^{\prime }Ot}$ và $\widehat{mOx}$ có phải là hai góc đối đỉnh không? Vì sao?

Bài 4: Cho góc $\widehat{AOB}={135}^0$. Vẽ góc $\widehat{BOC}$ và $\widehat{AOD}$ kề bù với $\widehat{AOB}$. Chứng tỏ rằng:

a, 2 góc $\widehat{BOC}$ và $\widehat{AOD}$ là hai góc đối đỉnh.

b, 2 tia phân giác của 2 góc $\widehat{BOC}$ và $\widehat{AOD}$ là hai tia đối nhau.

C. Lời giải bài tập nâng cao Hai góc đối đỉnh

Bài 1:

a,

Bốn đường thẳng phân biệt cắt nhau tại O tạo thành 4.2 = 8 tia chung gốc O nên có $\frac{8.7}{2}=28$ góc được tạo thành. Trong đó có 4 góc bẹt, còn lại 28 – 4 = 24 góc nhỏ hơn góc bẹt. Mỗi góc đều có một góc đối đỉnh với nó nên 24 góc sẽ có 24 : 2 = 12 cặp góc đối đỉnh.

b, Với n đường thẳng cắt nhau tại O sẽ tạo thành 2n tia chung gốc, mỗi tia tạo với một trong (2n - 1) tia còn lại (2n – 1) góc nên 2n tia tạo với các tia còn lại 2n(2n - 1) góc. Tuy nhiên mỗi góc đã được tính hai lần. Vậy ta có công thức tính số góc tạo thành từ n đường thẳng cắt nhau tại O đó là: $\frac{2n\left(2n-1\right)}{2}=n\left(2n-1\right)$ góc.

Với n đường thẳng sẽ tạo thành n góc bẹt, số góc nhỏ hơn góc bẹt là: n(2n - 1) – n = 2n(n - 1) góc.

Mỗi góc trong 2n(n - 1) góc này đều có một góc đối đỉnh với nó và chúng tạo thành một cặp góc đối đỉnh. Vậy có $\frac{2n\left(n-1\right)}{2}=n\left(n-1\right)$ cặp góc đối đỉnh nhỏ hơn góc bẹt.

Bài 2:

Gọi $\widehat{xOy}$ và $\widehat{x^{\prime }O{y}^{\prime }}$ là hai tia đối nhau. Ot là tia phân giác của $\widehat{xOy}$ và Ot’ là tia phân giác của $\widehat{x^{\prime }O{y}^{\prime }}$. Ta sẽ chứng minh Ot và Ot’ là hai tia đối nhau.

+ Có $\widehat{xOy}$ và $\widehat{x^{\prime }O{y}^{\prime }}$ là hai tia đối nhau nên $\widehat{xOy}=\widehat{x^{\prime }O{y}^{\prime }}$

+ Ot là tia phân giác của $\widehat{xOy}$ nên $\widehat{xOt}=\widehat{tOy}$ và Ot’ là tia phân giác của $\widehat{x^{\prime }O{y}^{\prime }}$ nên $\widehat{x^{\prime }O{t}^{\prime }}=\widehat{t^{\prime }O{y}^{\prime }}$

Suy ra $\widehat{tOy}=\widehat{t^{\prime }O{y}^{\prime }}$

+ Có Oy và Oy’ là hai tia đối nhau nên Ot’ nằm giữa hai gia Oy và Oy’

Suy ra $\widehat{yO{t}^{\prime }}+\widehat{t^{\prime }O{y}^{\prime }}=\widehat{yO{y}^{\prime }}={180}^0$

Hay $\widehat{t^{\prime }Oy}+\widehat{yOt}=\widehat{t^{\prime }Ot}={180}^0$

Vậy Ot và Ot’ là hai tia đối nhau.

Bài 3: 

+ Có $\widehat{mOn}$ và $\widehat{nOt}$ là hai góc kề bù nên Om và Ot là hai tia đối nhau

Suy ra $\widehat{mOx}+\widehat{xOt}={180}^0$ (1)

+ Lại có Ox và Ox’ là hai tia đối nhau nên $\widehat{xOt}+\widehat{tO{x}^{\prime }}={180}^0$(2)

+ Từ (1) và (2) suy ra $\widehat{mOx}=\widehat{x^{\prime }Ot}$

Mà Om và Ot là hai tia đối nhau; Ox và Ox’ là hai tia đối nhau nên $\widehat{mOx}$ và $\widehat{x^{\prime }Ot}$ là hai góc đối đỉnh.

Bài 4:

a, + Có $\widehat{AOB}$ kề bù với $\widehat{BOC}$ suy ra tia OA và OC là hai tia đối nhau (1)

+ Có $\widehat{AOB}$ kề bù với $\widehat{AOD}$ suy ra tia OD và OB là hai tia đối nhau (2)

+ Lại có $\widehat{AOB}+\widehat{AOD}={180}^0\Rightarrow \widehat{AOD}={45}^0$(3)

Và $\widehat{AOB}+\widehat{BOC}={180}^0\Rightarrow \widehat{BOC}={45}^0$(4)

+ Từ (1), (2), (3), (4) suy ra $\widehat{AOD}$ và $\widehat{BOC}$ là hai góc đối đỉnh.

b, + Gọi OP và OQ là hai tia phân giác của $\widehat{BOC}$ và $\widehat{AOD}$

Khi đó ta có  $\widehat{QOA}=\widehat{POB}=\frac{{45}^0}{2}=22,5^0$

+ Có $\widehat{QOP}=\widehat{QOA}+\widehat{POB}+\widehat{AOB}=22,5^0+22,5^0+{135}^0={180}^0$

Suy ra OQ và OP là hai tia đối nhau.

-------

Như vậy, VnDoc.com đã gửi tới các bạn Bài tập nâng cao Toán 7: Hai góc đối đỉnh. Ngoài ra, các bạn học sinh có thể tham khảo thêm các tài liệu khác do VnDoc sưu tầm và chọn lọc như Giải Toán 7, Giải SBT Toán 7, Chuyên đề Toán 7, để học tốt môn Toán hơn và chuẩn bị cho các bài thi đạt kết quả cao.