Bài toán tính xác suất thỏa mãn dấu hiệu chia hết
Cách giải bài toán xác suất chọn số thỏa mãn điều kiện chia hết
Trong chuyên đề Xác suất Toán 11, các bài toán tính xác suất thỏa mãn dấu hiệu chia hết là dạng bài tập quan trọng giúp học sinh kết hợp kiến thức số học với các phương pháp đếm và xác suất cổ điển. Dạng toán này không chỉ xuất hiện trong các bài kiểm tra trên lớp mà còn thường gặp trong đề thi học kỳ và các kỳ thi đánh giá năng lực. Bài viết dưới đây tổng hợp kiến thức trọng tâm, phương pháp giải cùng hệ thống bài toán tính xác suất thỏa mãn dấu hiệu chia hết có đáp án chi tiết, giúp học sinh rèn luyện tư duy và nâng cao kỹ năng giải toán.
Bài tập 1: Trong một hộp có 50 viên bi được đánh số từ 1 đến 50. Chọn ngẫu nhiên 3 viên bi trong hộp, tính xác suất để tổng ba số trên 3 viên bi được chọn là một số chia hết cho 3.
A. 
\(\frac{{816}}{{1225}}\). B. \(\frac{{409}}{{1225}}\). C. \(\frac{{289}}{{1225}}\). D. \(\frac{{936}}{{1225}}.\)
Hướng dẫn giải.
Không gian mẫu là số cách chọn ngẫu nhiên 3 viên bi từ hộp chứa 50 viên
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là \(\left| \Omega \right| = C_{50}^3 = 19600.\)
Gọi A là biến cố ” 3 viên bi được chọn là một số chia hết cho 3” . Trong 50 viên bi
được chia thành ba loại gồm: 16 viên bi có số chia hết cho 3; 17 viên bi có số chia cho 3
dư 1 và 17 viên bi còn lại có số chia cho 3 dư 2. Để tìm số kết quả thuận lợi cho biến
cố A , ta xét các trường hợp
TH1: 3 viên bi được chọn cùng một loại, có \(\left( {C_{16}^3 + C_{17}^3 + C_{17}^3} \right)\) cách.
TH2: 3 viên bi được chọn có mỗi viên mỗi loại, có \(C_{16}^1.C_{17}^1.C_{17}^1\) cách.
Suy ra số phần tử của biến cố là \(\left| {{\Omega _A}} \right| = \left( {C_{16}^3 + C_{17}^3 + C_{17}^3} \right) + C_{16}^1.C_{17}^1.C_{17}^1 = 6544.\)
Vậy xác suất cần tính \(P\left( A \right) = \frac{{\left| {{\Omega _A}} \right|}}{{\left| \Omega \right|}} = \frac{{6544}}{{19600}} = \frac{{409}}{{1225}}\). Chọn B.
Bài tập 2. Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có 3 chữ số đôi một khác nhau được lập thành từ các chữ số 1; 2; 3; 4; 6 . Chọn ngẫu nhiên một số từ S, tính xác xuất để số được chọn chia hết cho 3 .
A. \(\frac{1}{{10}}\). B. \(\frac{3}{5}\). C. \(\frac{2}{5}\). D. \(\frac{1}{{15}}\).
Hướng dẫn giải.
Số phần tử của S là: \(A_5^3 = 60.\)
Không gian mẫu là chọn ngẫu nhiên 1 số từ tập S .
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là \(\left| \Omega \right| = C_{60}^1 = 60.\)
Gọi A là biến cố ” Số được chọn chia hết cho 3 ” . Từ 5 chữ số đã cho ta có 4 bộ gồm
ba chữ số có tổng chia hết cho 3 là (1; 2; 3), (1; 2; 6), (2; 3; 4) và (2; 4; 6). Mỗi bộ ba
chữ số này ta lập được 3! = 6 số thuộc tập hợp S.
Suy ra số phần tử của biến cố là: \(\left| {{\Omega _A}} \right| = 6.4 = 24.\)
Vậy xác suất cần tính \(P\left( A \right) = \frac{{\left| {{\Omega _A}} \right|}}{{\left| \Omega \right|}} = \frac{{24}}{{60}} = \frac{2}{5}\). Chọn C.
Bài tập 3. Cho tập hợp A = {1; 2; 3; 4; 5. Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên có ít nhất 3 chữ số, các chữ số đôi một khác nhau được lập thành từ các chữ số thuộc tập A . Chọn ngẫu nhiên một số từ S, tính xác xuất để số được chọn có tổng các chữ số bằng 10 .
A. \(\frac{1}{{30}}\). B. \(\frac{3}{{25}}\). C. \(\frac{{22}}{{25}}\). D. \(\frac{2}{{25}}\).
Hướng dẫn giải.
Ta tính số phần tử thuộc tập S như sau:
Số các số thuộc S có 3 chữ số là \(A_5^3.\)
Số các số thuộc S có 4 chữ số là \(A_5^4.\)
Số các số thuộc S có 5 chữ số là \(A_5^5.\)
Suy ra số phần tử của tập S là \(A_5^3 + A_5^4 + A_5^5 = 300.\)
Không gian mẫu là chọn ngẫu nhiên 1 số từ tập S .
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là \(\left| \Omega \right| = C_{300}^1 = 300.\)
Gọi X là biến cố ” Số được chọn có tổng các chữ số bằng 10 ” .
Các tập con của A có
tổng số phần tử bằng 10 là A1 = {1; 2; 3; 4}; A2 = {2; 3; 5}; A3 = {1; 4; 5
Từ A1 lập được các số thuộc S là 4! .
Từ A2 lập được các số thuộc S là 3! .
Từ A3 lập được các số thuộc S là 3! .
Suy ra số phần tử của biến cố X là \(\left| {{\Omega _X}} \right| = 4! + 3! + 3! = 36.\)
Vậy xác suất cần tính \(P\left( X \right) = \frac{{\left| {{\Omega _X}} \right|}}{{\left| \Omega \right|}} = \frac{{36}}{{300}} = \frac{3}{{25}}\). Chọn B.
📖 Toàn bộ nội dung, bài tập và lời giải đã được tổng hợp trong tài liệu tải về.
----------------------------------------------
Hy vọng hệ thống bài tập và phương pháp giải trong bài viết sẽ là tài liệu hữu ích giúp các em học tốt chuyên đề Xác suất Toán 11 và đạt kết quả cao trong các kỳ kiểm tra, thi cử.
