Cách giải bất phương trình logarit

Trong chương trình Toán học phổ thông và ôn thi đại học, bất phương trình logarit là dạng bài tập thường xuyên xuất hiện và đòi hỏi học sinh nắm vững kiến thức nền tảng về hàm số logarit, miền xác định và các phép biến đổi tương đương. Bài viết dưới đây sẽ hướng dẫn bạn cách giải bất phương trình logarit một cách chi tiết, dễ hiểu, đi kèm ví dụ minh họa và lưu ý thường gặp. Đây là tài liệu hữu ích giúp bạn tự tin chinh phục các bài toán logarit từ cơ bản đến nâng cao.

A. Cách giải bất phương trình logarit

1. Bất phương trình Logarit

Bất phương trình logarit cơ bản có dạng \({\log _a}x > b\) (hoặc \({\log _a}x \geqslant b,{\log _a}x < b,{\log _a}x \leqslant b\)) với a > 0; a ≠ 1

Để giải, ta xét bất phương trình \({\log _a}x > b\):

- Trường hợp a > 1, ta có:

\({\log _a}x > b \Leftrightarrow x > {a^b}\)

- Trường hợp 0 < a < 1, ta có:

\({\log _a}x > b \Leftrightarrow 0 < x < {a^b}\)

2. Các cách giải bất phương trình 

- Đưa về cùng cơ số

Nếu a > 1 thì

\({\log _a}f(x) > {\log _a}g(x) \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} g(x) > 0 \hfill \\ f(x) > g(x) \hfill \\ \end{gathered} \right.\)

Nếu 0 < a < 1 thì

\({\log _a}f(x) > {\log _a}g(x) \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} f(x) > 0 \hfill \\ f(x) < g(x) \hfill \\ \end{gathered} \right.\)

- Đặt ẩn phụ

- Mũ hóa

B. Bài tập giải bất phương trình logarit có đáp án

Hướng dẫn giải

Bất phương trình ⇔ \(\sqrt{log_{2}^{2}x - log_{2}x^{2} - 3} > \sqrt{5}(log_{2}x - 3)\ \ \ \ \ \ (1)\)

Đặt t = log₂x. (1) ⇔\(\sqrt{t^{2} - 2t - 3} > \sqrt{5}(t - 3) \Leftrightarrow \sqrt{(t - 3)(t + 1)} > \sqrt{5}(t - 3)\)

\(\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} t \leq - 1 \\ \left\{ \begin{matrix} t > 3 \\ (t + 1)(t - 3) > 5(t - 3)^{2} \\ \end{matrix} \right.\ \\ \end{matrix} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} t \leq - 1 \\ 3 < t < 4 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} log_{2}x \leq - 1 \\ 3 < log_{2}x < 4 \\ \end{matrix} \right.\)\(\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 0 < x \leq \frac{1}{2} \\ 8 < x < 16 \\ \end{matrix} \right.\)

Hướng dẫn giải

Bất phương trình \(\Leftrightarrow x\left\lbrack log_{2}(1 - 2x) + 1 \right\rbrack < 0\) \(\left( x < \frac{1}{2} \right)\) ⇔ \(\frac{1}{4} < x < \frac{1}{2}\) hoặc x < 0.

Hướng dẫn giải

Điều kiện: \(- \frac{1}{3} \leq x \leq 10\)

Bất phương trình\(\Leftrightarrow log_{2}\left( \frac{\sqrt{3x + 1} + 6}{2} \right) \geq log_{2}\left( 7 - \sqrt{10 - x} \right)\)

\(\Leftrightarrow \frac{\sqrt{3x + 1} + 6}{2} \geq 7 - \sqrt{10 - x}\)\(\Leftrightarrow \sqrt{3x + 1} + 6 \geq 2\left( 7 - \sqrt{10 - x} \right)\)

\(\Leftrightarrow \sqrt{3x + 1} + 2\sqrt{10 - x} \geq 8\)\(\Leftrightarrow 49x^{2} - 418x + 369 \leq 0\)\(\Leftrightarrow 1 \leq x \leq \frac{369}{49}(tm)\)

Hướng dẫn giải

Bất phương trình ⇔ \((4^{x} - 2.2^{x} - 3).log_{2}x - 3 > 2^{x + 1} - 4^{x}\)⇔ \((4^{x} - 2.2^{x} - 3).(log_{2}x + 1) > 0\)

⇔ \(\left\lbrack \begin{matrix} \left\{ \begin{matrix} 2^{2x} - 2.2^{x} - 3 > 0 \\ log_{2}x + 1 > 0 \\ \end{matrix} \right.\ \\ \left\{ \begin{matrix} 2^{2x} - 2.2^{x} - 3 < 0 \\ log_{2}x + 1 < 0 \\ \end{matrix} \right.\ \\ \end{matrix} \right.\) ⇔ \(\left\lbrack \begin{matrix} \left\{ \begin{matrix} 2^{x} > 3 \\ log_{2}x > - 1 \\ \end{matrix} \right.\ \\ \left\{ \begin{matrix} 2^{x} < 3 \\ log_{2}x < - 1 \\ \end{matrix} \right.\ \\ \end{matrix} \right.\)⇔ \(\left\lbrack \begin{matrix} \left\{ \begin{matrix} x > log_{2}3 \\ x > \frac{1}{2} \\ \end{matrix} \right.\ \\ \left\{ \begin{matrix} x < log_{2}3 \\ 0 < x < \frac{1}{2} \\ \end{matrix} \right.\ \\ \end{matrix} \right.\) ⇔ \(\left\lbrack \begin{matrix} x > log_{2}3 \\ 0 < x < \frac{1}{2} \\ \end{matrix} \right.\)

Hướng dẫn giải

Điều kiện xác định: x > 3

Phương trình đã cho tương đương:

\(\frac{1}{2}log_{3}\left( x^{2} - 5x + 6 \right) + \frac{1}{2}log_{3^{- 1}}(x - 2) > \frac{1}{2}log_{3^{- 1}}(x + 3)\)

\(\Leftrightarrow \frac{1}{2}log_{3}\left( x^{2} - 5x + 6 \right) - \frac{1}{2}log_{3}(x - 2) > - \frac{1}{2}log_{3}(x + 3)\)

\(\Leftrightarrow log_{3}\left\lbrack (x - 2)(x - 3) \right\rbrack > log_{3}(x - 2) - log_{3}(x + 3)\)

\(\Leftrightarrow log_{3}\left\lbrack (x - 2)(x - 3) \right\rbrack > log_{3}\left( \frac{x - 2}{x + 3} \right)\)

\(\Leftrightarrow (x - 2)(x - 3) > \frac{x - 2}{x + 3}\)\(\Leftrightarrow x^{2} - 9 > 1 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x < - \sqrt{10} \\ x > \sqrt{10} \\ \end{matrix} \right.\)

Kết hợp với điều kiện, ta được nghiệm của phương trình đã cho là \(x > \sqrt{10}\).

Hướng dẫn giải

Điều kiện xác định: \(\left\{ \begin{matrix} x > 0 \\ log_{2}^{2}x - log_{2}x^{2} - 3 \geq 0 \\ \end{matrix} \right.\)

Bất phương trình đã cho tương đương với\(\sqrt{log_{2}^{2}x - log_{2}x^{2} - 3} > \sqrt{5}(log_{2}x - 3)\ \ \ \ \ \ (1)\)

Đặt t = log₂x,

BPT (1) \(\sqrt{t^{2} - 2t - 3} > \sqrt{5}(t - 3) \Leftrightarrow \sqrt{(t - 3)(t + 1)} > \sqrt{5}(t - 3)\)

\(\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} t \leq - 1 \\ \left\{ \begin{matrix} t > 3 \\ (t + 1)(t - 3) > 5(t - 3)^{2} \\ \end{matrix} \right.\ \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} t \leq - 1 \\ 3 < t < 4 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} log_{2}x \leq - 1 \\ 3 < log_{2}x < 4 \\ \end{matrix} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 0 < x \leq \frac{1}{2} \\ 8 < x < 16 \\ \end{matrix} \right.\)

Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm là\((0;\frac{1}{2}\rbrack \cup (8;16)\).

Tài liệu quá dài để hiển thị hết — hãy nhấn Tải về để xem trọn bộ!

-----------------------------------

FAQ – Cách Giải Bất Phương Trình Logarit

1. Bất phương trình logarit là gì?

Bất phương trình logarit là bất phương trình có chứa biểu thức logarit của một hoặc nhiều ẩn số.

Đây là một trong những chuyên đề trọng tâm của Toán 11 và thường xuất hiện trong các bài kiểm tra, đề thi học kỳ cũng như các chuyên đề bồi dưỡng học sinh khá giỏi.

2. Điều kiện xác định của bất phương trình logarit là gì?

Khi giải bất phương trình logarit, học sinh cần kiểm tra:

• Biểu thức bên trong logarit phải dương.
• Cơ số logarit phải dương và khác 1.

Đây là bước bắt buộc trước khi thực hiện các phép biến đổi và tìm nghiệm.

3. Có những phương pháp nào để giải bất phương trình logarit?

Các phương pháp thường gặp gồm:

• Sử dụng tính đơn điệu của hàm logarit.
• Đưa về cùng cơ số.
• Đặt ẩn phụ.
• Biến đổi tương đương.
• Kết hợp bảng xét dấu.

Tùy từng dạng bài mà học sinh lựa chọn phương pháp phù hợp để giải nhanh và chính xác.

4. Khi nào cần xét tính đơn điệu của hàm logarit?

Tính đơn điệu được sử dụng khi chuyển bất phương trình logarit về bất phương trình đại số.

Nếu cơ số lớn hơn 1 thì chiều bất phương trình được giữ nguyên.

Nếu cơ số nằm trong khoảng từ 0 đến 1 thì chiều bất phương trình phải đổi ngược.

Đây là kiến thức quan trọng thường xuất hiện trong các bài tập vận dụng.

5. Những dạng bất phương trình logarit thường gặp trong Toán 11 là gì?

Các dạng phổ biến gồm:

• Bất phương trình logarit cơ bản.
• Bất phương trình logarit cùng cơ số.
• Bất phương trình logarit khác cơ số.
• Bất phương trình chứa nhiều biểu thức logarit.
• Bất phương trình logarit kết hợp hàm số mũ.
• Bất phương trình logarit có tham số.

Đây là các dạng bài thường xuất hiện trong chuyên đề ôn tập Toán 11.

6. Những lỗi thường gặp khi giải bất phương trình logarit là gì?

Một số sai lầm phổ biến gồm:

• Quên điều kiện xác định.
• Đổi chiều bất phương trình không đúng.
• Biến đổi logarit sai công thức.
• Bỏ sót nghiệm hoặc nhận nghiệm ngoại lai.
• Kết luận tập nghiệm chưa đầy đủ.

Việc kiểm tra nghiệm sau khi giải là rất cần thiết.

-------------------

Việc nắm chắc phương pháp và các bước giải là chìa khóa để giải nhanh và chính xác các bài toán logarit. Hy vọng với hướng dẫn chi tiết về cách giải bất phương trình logarit trong bài viết, bạn đã hiểu rõ bản chất của dạng toán này và có thêm công cụ để tự luyện tập hiệu quả. Đừng quên thường xuyên ôn luyện, làm thêm các bài tập nâng cao và theo dõi trang để cập nhật thêm nhiều chuyên đề toán THPT, ôn thi tốt nghiệp và đại học nhé!