Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm

Đóng

Điểm danh hàng ngày

Hôm nay +3
Ngày 2 +3
Ngày 3 +3
Ngày 4 +3
Ngày 5 +3
Ngày 6 +3
Ngày 7 +5

Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm! Đăng nhập ngay để nhận điểm

Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169

VnDoc.com

Cách tìm m để tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng cho trước

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 11

Môn: Toán

Dạng tài liệu: Chuyên đề

Loại: Tài liệu Lẻ

Loại File: Word + PDF

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Tìm m để tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d

Trong các bài toán về phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số, dạng tìm m để tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng cho trước yêu cầu học sinh hiểu rõ mối liên hệ giữa đạo hàm và hệ số góc. Bài viết này trình bày cách tìm m để tiếp tuyến vuông góc với một đường thẳng cho trước theo hướng logic, giúp người học tiếp cận đúng bản chất và áp dụng hiệu quả khi làm bài.

Bài tập 1. Cho hàm số $y = \frac{5x^{3}}{6} + mx - \frac{2m}{3}\ (C)$ $y = \frac{5x^{3}}{6} + mx - \frac{2m}{3}\ (C)$. Xác định $m$ để từ $A\left( \frac{2}{3};0 \right)$ $A\left( \frac{2}{3};0 \right)$ kẻ đến đồ thị hàm số (C) hai tiếp tuyến vuông góc với nhau:

A. $m = - \frac{1}{2}$ $m = - \frac{1}{2}$ hoặc m = 2. B. $m = \frac{1}{2}$ $m = \frac{1}{2}$ hoặc m = 2.

C. $m = \frac{1}{2}$ $m = \frac{1}{2}$ hoặc m = -2. D. $m = - \frac{1}{2}$ $m = - \frac{1}{2}$ hoặc m = -2.

Hướng dẫn giải

Chọn C

Ta có: $y' = \frac{5x^{2}}{2} + m \Rightarrow f'_{\left( x_{0} \right)} = \frac{5}{2}x_{0}^{2} + m$

Phương trình tiếp tuyến qua $A\left( \frac{2}{3};0 \right)$ $A\left( \frac{2}{3};0 \right)$ nên:

$0 = \left( \frac{5}{2}x_{0}^{2} + m\right)\left( \frac{2}{3} - x_{0} \right) + \frac{5x_{0}^{3}}{6} +mx_{0} - \frac{2m}{3}$ $0 = \left( \frac{5}{2}x_{0}^{2} + m\right)\left( \frac{2}{3} - x_{0} \right) + \frac{5x_{0}^{3}}{6} +mx_{0} - \frac{2m}{3}$

$- \frac{5x_{0}^{3}}{3} + \frac{5x_{0}^{2}}{3} = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x_{0} = 0 \\ x_{0} = 1 \end{matrix} \right.$ $- \frac{5x_{0}^{3}}{3} + \frac{5x_{0}^{2}}{3} = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x_{0} = 0 \\ x_{0} = 1 \end{matrix} \right.$

Vậy $f'_{(0)}.f'_{(1)} = m\left( m + \frac{5}{2} \right) = - 1 \Leftrightarrow m = - 2;m = - \frac{1}{2}$.

Bài tập 2. Cho hàm số $y = - x^{3} + 3x^{2} + (2m - 1)x + 2m - 3\ \ \left( C_{m} \right)$ $y = - x^{3} + 3x^{2} + (2m - 1)x + 2m - 3\ \ \left( C_{m} \right)$. Với giá trị nào của tham số $m$ thì tiếp tuyến có hệ số góc lớn nhất của đồ thị $\left( C_{m} \right)$ $\left( C_{m} \right)$ vuông góc với đường thẳng Δ: x - 2y - 4 = 0?

Hướng dẫn giải

Ta có:

$y' = - 3x^{2} + 6x + 2m - 1 = - 3(x - 1)^{2} + 2m + 2$

$\Rightarrow f$ $\Rightarrow f'\left( x_{0} \right) = - 3\left( x_{0} - 1 \right)^{2} + 2m + 2 \leq 2m + 2$

Do đó hệ số góc lớn nhất là k = 2m + 2

Do tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng $k.\frac{1}{2} = - 1 \Leftrightarrow 2m + 2 = - 2 \Leftrightarrow m = - 2$ $k.\frac{1}{2} = - 1 \Leftrightarrow 2m + 2 = - 2 \Leftrightarrow m = - 2$.

Bài tập 3. Cho hàm số $y = \frac{x + 1}{ax - b}\ \ (C)$ $y = \frac{x + 1}{ax - b}\ \ (C)$. Biết a; b là các giá trị sao cho tiếp tuyến của (C) tại điểm M(1; 2) vuông góc với đường thẳng d: x + y - 4 = 0. Tính a + b.

Hướng dẫn giải

Ta có: $y'(1) = \frac{- b - a}{(a - b)^{2}}.( - 1) = - 1$ do tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d: x + y - 4 = 0.

Mà đồ thị đi qua điểm M(1; 2) nên $2 = \frac{2}{a - b} \Leftrightarrow a - b = 1$ $2 = \frac{2}{a - b} \Leftrightarrow a - b = 1$

Vậy ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{matrix} a + b = - 1 \\ a - b = 1 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 0;b = - 1 \\ a + b = - 1 \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} a + b = - 1 \\ a - b = 1 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 0;b = - 1 \\ a + b = - 1 \end{matrix} \right.$.

Bài tập 4. Cho hàm số y = x³ - x² + 1 (C). Nếu điểm M thuộc (C) có hoành độ nguyên cùng với hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (C) tạo thành một tam giác vuông tại M thì có bao nhiêu điểm thỏa mãn?

Hướng dẫn giải

Gọi điểm $M\left( a;a^{3} - a^{2} + 1 \right) \in (C)$ $M\left( a;a^{3} - a^{2} + 1 \right) \in (C)$

Ta có: y' = 3x² - 2x = 0 => $\left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \Rightarrow A(0;1) \\ x = \frac{2}{3} \Rightarrow B\left( \frac{2}{3};\frac{23}{27} \right) \end{matrix} \right.$ $\left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \Rightarrow A(0;1) \\ x = \frac{2}{3} \Rightarrow B\left( \frac{2}{3};\frac{23}{27} \right) \end{matrix} \right.$

Khi đó: $\left\{ \begin{gathered} \overrightarrow {MA} = \left( { - a; - {a^3} + {a^2}} \right) \hfill \\ \overrightarrow {MB} = \left( {\frac{2}{3} - a;\frac{{ - 4}}{{27}} - {a^3} + {a^2}} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.$ $\left\{ \begin{gathered} \overrightarrow {MA} = \left( { - a; - {a^3} + {a^2}} \right) \hfill \\ \overrightarrow {MB} = \left( {\frac{2}{3} - a;\frac{{ - 4}}{{27}} - {a^3} + {a^2}} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.$ $\Rightarrow \overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} = 0$ $\Rightarrow \overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} = 0$

$\Leftrightarrow a\left( a - \frac{2}{3} \right) + \left( - a^{3} + a^{2} \right)\left( \frac{- 4}{27} - a^{3} + a^{2} \right) = 0$ $\Leftrightarrow a\left( a - \frac{2}{3} \right) + \left( - a^{3} + a^{2} \right)\left( \frac{- 4}{27} - a^{3} + a^{2} \right) = 0$

=> a = 0 thỏa mãn.

-----------------------------------------------------

FAQ

1. Cách tìm m để tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng cho trước là gì?

Muốn tìm tham số m, cần xác định hệ số góc của đường thẳng đã cho, sau đó sử dụng điều kiện hai đường thẳng vuông góc để thiết lập phương trình tìm m.

2. Khi nào hai đường thẳng vuông góc với nhau?

Hai đường thẳng vuông góc khi tích các hệ số góc của chúng bằng -1.

3. Hệ số góc của tiếp tuyến được xác định như thế nào?

Hệ số góc của tiếp tuyến tại một điểm trên đồ thị hàm số chính là giá trị đạo hàm của hàm số tại điểm đó.

4. Vì sao phải sử dụng đạo hàm khi tìm tiếp tuyến?

Đạo hàm cho biết hệ số góc của tiếp tuyến, từ đó giúp thiết lập các điều kiện song song hoặc vuông góc với đường thẳng cho trước.

5. Dạng toán tìm m để tiếp tuyến vuông góc có khó không?

Đây là dạng toán vận dụng phổ biến. Nếu nắm chắc công thức đạo hàm và điều kiện vuông góc thì việc giải bài toán sẽ khá đơn giản.

6. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số là gì?

Phương trình tiếp tuyến là phương trình đường thẳng tiếp xúc với đồ thị tại một điểm xác định và có cùng hệ số góc với đồ thị tại điểm đó.

7. Công thức viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số là gì?

Phương trình tiếp tuyến được xây dựng dựa trên tọa độ tiếp điểm và hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm đó.

8. Hệ số góc của đường thẳng cho trước được xác định như thế nào?

Hệ số góc có thể được suy ra từ phương trình tổng quát hoặc phương trình dạng hàm số bậc nhất.

9. Có thể có nhiều giá trị m thỏa mãn điều kiện bài toán không?

Có. Tùy thuộc vào dạng hàm số và điều kiện đề bài, bài toán có thể có một hoặc nhiều giá trị của tham số.

------------------------------

Khi nắm chắc điều kiện vuông góc của tiếp tuyến, học sinh sẽ giải quyết nhanh các bài toán tìm m liên quan đến phương trình tiếp tuyến. Đây là dạng toán quan trọng giúp củng cố kiến thức về đạo hàm và đồ thị hàm số, đồng thời nâng cao kỹ năng giải bài tập hàm số ở mức vận dụng.

Xem thử Tải về

Chọn file muốn tải về: