Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
VnDoc.com Lớp 11 Toán 11 Lý thuyết Toán 11

Cách tính góc nhị diện

Hướng Dẫn Tính Góc Nhị Diện Nhanh, Chính Xác
Tải về
Lớp: Lớp 11
Môn: Toán
Loại File: Word + PDF
Phân loại: Tài liệu Tính phí

Cách Tính Góc Nhị Diện Giữa Hai Mặt Phẳng Trong Hình Học Không Gian

Cách tính góc nhị diện là một trong những vấn đề quan trọng và thú vị trong hình học không gian. Việc xác định góc giữa hai mặt phẳng trong không gian 3D không chỉ giúp bạn giải quyết các bài toán hình học mà còn có ứng dụng rộng rãi trong các lĩnh vực như kỹ thuật, vật lý, cơ học, và thiết kế kiến trúc. Tuy nhiên, nhiều bạn học sinh, sinh viên và những người mới bắt đầu học môn hình học không gian thường gặp khó khăn trong việc tính toán chính xác góc nhị diện.

Trong bài viết này, chúng tôi sẽ hướng dẫn bạn cách tính góc nhị diện một cách nhanh chóng và chính xác, đồng thời cung cấp những phương pháp và công thức hữu ích giúp bạn dễ dàng áp dụng vào thực tế. Bất kể bạn là người mới học hay đang tìm kiếm cách tối ưu hóa quá trình giải bài toán, bài viết này sẽ giúp bạn hiểu rõ và làm chủ được phương pháp tính góc nhị diện.

1. Góc nhị diện là gì?

Góc nhị diện là hình gồm hai nửa mặt phẳng có chung bờ.

Minh họa

  • Đường thẳng d được gọi là cạnh của góc nhị diện, mỗi nửa mặt phẳng (P) và (Q)gọi là một mặt của góc nhị diện.
  • Kí hiệu là \lbrack P,d,Q\rbrack.

Chú ý: Góc nhị diện còn được kí hiệu là \lbrack A,d,B\rbrack với A,B lần lượt là các điểm thuộc các nửa mặt phẳng (P) và (Q).

2. Số đo của góc nhị diện

  • Số đo của góc phẳng nhị diện xOy không phụ thuộc vào vị trí của điểm O trên cạnh nhị diện và được gọi là đó của góc nhị diện đã cho.
  • Số đo của góc nhị diện từ 0^{0} đến 180^{0}.

Minh họa

Trong không gian, cho góc nhị diện:

  • Một góc có đỉnh thuộc cạnh của góc nhị diện, hai cạnh của góc đó lần lượt thuốc hai mặt phẳng vuông góc với cạnh của góc nhị diện, được gọi là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện đã cho.
  • Số đo của một góc phẳng nhị diện được gọi là số đo của góc nhị diện đó.
  • Nếu số đo góc phẳng nhị diện bằng 90^{0} thì góc nhị diện đó gọi là góc nhị diện vuông.

Chú ý:

  • Hai mặt phẳng cắt nhau theo giao tuyến d tạo thành bốn góc nhị diện.
  • Mỗi đường thẳng d trong một mặt phẳng chia mặt phẳng thành hai phần, mỗi phần cùng với d là một nửa mặt phẳng bờ d.

3. Góc phẳng nhị diện

Góc phẳng nhị diện của góc nhị diện là góc có đỉnh nằm trên cạnh của nhị diện có hai cạnh lần lượt nằm trên hai mặt của nhị diện và vuông góc với cạnh của nhị diện.

Chú ý:

a) Đối với một góc nhị diện, các góc phẳng nhị diện đều bằng nhau.

b) Nếu mặt phẳng (R) vuông góc với cạnh d của góc nhị diện và cắt hai mặt (P) và (Q) của góc nhị diện theo hai nửa đường thẳng Ou và Ov thì uOv là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện tạo bởi (P) và (Q).

c) Góc nhị diện có góc phẳng nhị diện là góc vuông được gọi là góc nhị diện vuông.

d) Số đo góc phẳng nhị diện được gọi là số đo góc nhị diện.

e) Số đo góc nhị diện nhận giá trị từ 00 đến 1800.

4. Bài tập minh họa tính góc nhị diện

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, biết (SAB) ⊥ (ABCD), (SAD) ⊥ (ABCD) và SA= a. Tính côsin của số đo góc nhị diện [S; BD; C] và góc nhị diện [B; SC; D].

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

Ta có:

SO ⊥BD; CO⊥ BD nên góc nhị diện [S; BD; C] bằng góc SOC.

Vì tam giác SAO vuông tại A nên SO = \sqrt{SA^{2} + AO^{2}} = \frac{a\sqrt{6}}{2} và \cos\widehat{SOC} = - \cos\widehat{SOA} = - \frac{OA}{SO} = \frac{- \sqrt{3}}{3}

Kẻ BM⊥ SC tại M thì DM ⊥ SC nên [B; SC; D] là góc BMD.

Ta có BC⊥(SAB) nên tam giác SBC vuông tại B, tính được:

\left\{ \begin{matrix} SB = a\sqrt{2};SC = a\sqrt{3} \\ DM = BM = \dfrac{SB.BC}{SC} = \dfrac{a\sqrt{6}}{3} \\ \end{matrix} \right.

Áp dụng định lí côsin trong tam giác BDM, ta có:

\cos\widehat{BMD} = \frac{BM^{2} + DM^{2} - BD^{2}}{2BM.DM} = - \frac{3}{4}

Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = \frac{a\sqrt{2}}{2}. Tính số đo góc nhị diện \lbrack S,BD,C\rbrack.

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

Gọi O là giao điểm của AC và BD khi đó \left\{ \begin{matrix} CO\bot BD \\ SO\bot BD \\ \end{matrix} \right.

Do đó, góc phẳng nhị diện \lbrack S,BD,C\rbrack bằng góc \widehat{SOC}

Xét tam giác SAO có: AO = SA = \frac{a\sqrt{2}}{2}

\widehat{SAO} = 90^{0}

Nên tam giác SAO vuông cân tại A

\Rightarrow \widehat{SOA} = 45^{0};\widehat{SOC} = 135^{0}

Vậy số đo góc nhị diện \lbrack S,BD,C\rbrack bằng 1350.

Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC, SA\bot(ABC), AB = AC = a, \widehat{BAC} = 120^{0}, SA = \frac{a\sqrt{3}}{2}. Tính số đo góc phẳng nhị diện \lbrack S,BC,A\rbrack?

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

Gọi M là trung điểm của BC

Ta có: AB = AC \Rightarrow AM\bot BC

Mặt khác SB = SC (do \Delta SAC = \Delta SAB) nên tam giác SBC cân tại S

\Rightarrow SM\bot BC

\Rightarrow \widehat{SMA} là góc phẳng nhị diện của \lbrack S,BC,A\rbrack.

Ta có: \widehat{MAB} = \frac{\widehat{BAC}}{2} = 60^{0}

\Rightarrow AM = AB.cos\widehat{MAB} = \frac{a}{2}

Trong tam giác SAM vuông tại A ta có:

\tan\widehat{SAM} = \frac{SA}{MA} = \frac{a\sqrt{3}}{2}.\frac{2}{a} = \sqrt{3}

\Rightarrow \widehat{SAM} = 60^{0}.

Ví dụ 4. Cho tứ diện ABCD có BCD là tam giác vuông tại đỉnh B, cạnh CD = a,BD = \frac{a\sqrt{6}}{3}, AB = AC = AD = \frac{a\sqrt{3}}{2}. Tính cosin của góc nhị diện [A, BC, D].

Hướng dẫn giải:

Gọi M, H lần lượt là trung điểm của BC, CD.

Do \Delta BCD vuông tại B nên BH = CH = DH hay H là tâm đường tròn ngoại tiếp \Delta BCD.

Mà AB = AC = AD nên AH là đường cao kẻ từ A xuống (BCD) hay AH\bot(BCD).

\Rightarrow AH\bot BC. (1)

M, H là trung điểm của BC, CD nên MH là đường trung bình của \Delta BCD

\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}MH = \dfrac{1}{2}BD = \dfrac{a\sqrt{6}}{6}. \\MH//BD \\\end{matrix} ight.

Mà MD\bot BC nên MH\bot BC. (2)

Từ (1), (2) suy ra: BC\bot(AMH).

Suy ra: \left\{ \begin{matrix} BC\bot AM \\ BC\bot MH \\ \end{matrix} \Rightarrow \lbrack A,BC,Dbrack = \widehat{AMH} ight..

Lại có: AH = \sqrt{AC^{2} - CH^{2}} = \sqrt{\left( \frac{a\sqrt{3}}{2} ight)^{2} - \left( \frac{a}{2} ight)^{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{2}.

\Rightarrow \tan\widehat{AMH} = \frac{AH}{MH} = \sqrt{3}\Rightarrow \widehat{AMH} = \frac{\pi}{3}\Rightarrow \cos\widehat{AMH} = \frac{1}{2}.

5. Bài tập tự rèn luyện có hướng dẫn đáp án cụ thể

Bài tập 1. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, Olà giao điểm của AC và BD, M là trung điểm AD. Góc nào sau đây là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện \lbrack B,AD,S\rbrack?

A. \widehat{SAB}. B. \widehat{SDB}. C. \widehat{SMO}. D. \widehat{SMB}.

Bài tập 2. Cho hình chóp S.ABCD có SA\bot(ABCD),ABCD là hình thoi cạnh a,AC = a, SA = \frac{a}{2}. Gọi H là hình chiếu của S trên cạnh CD. Xét tính đúng sai của các khẳng định dưới đây?

a) AH\bot CD.

b) AH = \frac{a\sqrt{3}}{2}.

c) Góc SDC là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện \lbrack S,CD,A\rbrack.

d) Số đo của góc nhị diện \lbrack S,CD,A\rbrack bằng 30^{\circ}.

Bài tập 3. Cho hình lâp phương ABCD.A'B'C'D'. Xét tính đúng sai của các khẳng định dưới đây?

a) Góc giữa hai đường thẳng AB và A'C' bằng 45^{\circ}.

b) Gọi \alpha là góc giữa đường thẳng A'C và mặt phẳng \left( A'B'C'D \right.). Giá trị \tan\alpha bằng \sqrt{2}.

c) Gọi \beta là số đo của góc nhị diện \lbrack B,A'C',B'\rbrack. Giá trị \tan\beta bằng \frac{\sqrt{2}}{2}.

d) Số đo của góc nhị diện \lbrack B',A'C,D'\rbrack bằng 120^{\circ}.

Bài tập 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA\bot(ABCD) và số đo của góc nhị diện \lbrack S,BC,A\rbrack bằng 60^{\circ}. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và BD bằng \frac{a\sqrt{30}}{n}. Tìm giá trị của n.

Đáp án chi tiết bài tập vận dụng

Bài tập 1.

Hình vẽ minh họa:

Chọn C

Ta có:

O,Mlần lượt là trung điểm củaBD,ADnên song song với ABmà AB\bot AD \Rightarrow OM\bot ADS.ABCD đều \Rightarrow SAD cân tại S \Rightarrow SM\bot AD

Có: \left\{ \begin{matrix} OM\bot AD \\ SM\bot AD \end{matrix} \right.\ \Rightarrow \lbrack B,AD,S\rbrack = \widehat{SMO}.

📥 Để xem trọn vẹn nội dung, ví dụ minh họa, bạn vui lòng tải tài liệu tham khảo tại đây.

----------------------------------

Như vậy, việc tính góc nhị diện không chỉ đơn giản là áp dụng công thức, mà còn là quá trình hiểu rõ về mối quan hệ giữa các mặt phẳng và đường thẳng trong không gian 3D. Hướng dẫn tính góc nhị diện nhanh, chính xác mà chúng tôi cung cấp sẽ giúp bạn dễ dàng nắm vững các phương pháp từ cơ bản đến nâng cao, áp dụng vào các bài toán hình học trong thực tế. Bằng cách thực hành thường xuyên, bạn sẽ cải thiện khả năng giải quyết các bài toán phức tạp liên quan đến góc nhị diện.

Nếu bạn cảm thấy cần thêm ví dụ cụ thể, hoặc muốn khám phá các ứng dụng thực tế của tính góc nhị diện trong các ngành học như hình học không gian, cơ học hay kỹ thuật, đừng ngần ngại tham khảo thêm các bài viết chi tiết trên website của chúng tôi. Chúng tôi luôn cập nhật những kiến thức mới và các mẹo giải bài toán hình học hiệu quả, giúp bạn nâng cao trình độ một cách nhanh chóng.

Hy vọng rằng bài viết này đã giúp bạn có cái nhìn rõ ràng và chi tiết hơn về cách tính góc nhị diện. Nếu có bất kỳ câu hỏi nào, hoặc bạn muốn chia sẻ những kinh nghiệm cá nhân trong việc tính toán góc nhị diện, hãy để lại ý kiến của bạn trong phần bình luận dưới bài viết. Chúng tôi sẽ trả lời nhanh chóng và chi tiết để bạn không còn gặp khó khăn trong việc tính toán này.

Xem thử Tải về
Chọn file muốn tải về:

Cách tính góc nhị diện

465 KB
1
9.128 Bài viết đã được lưu
Mục lục

Có thể bạn quan tâm

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Tìm bài trong mục này

Thông tin thanh toán nhanh

Cách tính góc nhị diện

15.000đ

Hỗ trợ Zalo