Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm

Đóng

Điểm danh hàng ngày

Hôm nay +3
Ngày 2 +3
Ngày 3 +3
Ngày 4 +3
Ngày 5 +3
Ngày 6 +3
Ngày 7 +5

Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm! Đăng nhập ngay để nhận điểm

Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169

VnDoc.com

Cách tính nhanh đạo hàm

Công thức đạo hàm Toán 11

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 11

Môn: Toán

Loại File: Word + PDF

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Cách tính đạo hàm Toán 11

A. Đạo hàm của hàm phân thức
B. Đạo hàm của hàm phân thức bậc 1/ bậc 1
C. Đạo hàm của hàm phân thức bậc 2/ bậc 1
D. Đạo hàm của hàm phân thức bậc 2/ bậc 2
E. Công thức tính nhanh đạo hàm của một số hàm số thường gặp
F. Bài tập tính đạo hàm
G. Lịch thi THPT Quốc Gia 2024

Cách tính nhanh đạo hàm là một trong những kỹ năng quan trọng mà học sinh cần nắm vững khi học Toán 11. Việc ghi nhớ và vận dụng thành thạo các công thức đạo hàm, quy tắc tính đạo hàm và các mẹo giải nhanh sẽ giúp học sinh tiết kiệm thời gian làm bài, hạn chế sai sót và nâng cao kết quả học tập. Trong bài viết này, chúng tôi sẽ tổng hợp đầy đủ bảng công thức đạo hàm Toán 11, hướng dẫn cách tính đạo hàm nhanh, dễ nhớ kèm ví dụ minh họa và bài tập vận dụng giúp bạn chinh phục chuyên đề đạo hàm từ cơ bản đến nâng cao.

Bài tập Đạo hàm Toán lớp 11 vừa được VnDoc.com sưu tầm và xin gửi tới bạn đọc để bạn đọc cùng tham khảo. Mời các bạn cùng theo dõi bài viết dưới đây nhé.

A. Đạo hàm của hàm phân thức

Để tính đạo hàm phân thức ta sử dụng chung một công thức

$\left( {\frac{u}{v}} \right)$ $\left( {\frac{u}{v}} \right)' = \frac{{u'.v - v'.u}}{{{v^2}}}$

Công thức đặc biệt: $\left( {\frac{1}{x}} \right)$ $\left( {\frac{1}{x}} \right)' = \frac{{ - 1}}{{{x^2}}};\left( {\frac{1}{u}} \right)' = - \frac{{u'}}{{{u^2}}}$

B. Đạo hàm của hàm phân thức bậc 1/ bậc 1

$y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}} \Rightarrow y$ $y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}} \Rightarrow y' = \frac{{ad - bc}}{{{{\left( {cx + d} \right)}^2}}}$

Ví dụ: Tính đạo hàm của hàm số:

a. $y = \frac{{3x - 2}}{{x - 1}}$ $y = \frac{{3x - 2}}{{x - 1}}$

b. $y = \frac{{x + 5}}{{2x + 3}}$ $y = \frac{{x + 5}}{{2x + 3}}$

Hướng dẫn giải

a. Ta có: $y' = \frac{{3.\left( { - 1} \right) - \left( { - 2} \right).1}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \frac{{ - 1}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}$

b. Ta có: $y' = \frac{{1.3 - 5.2}}{{{{\left( {2x + 3} \right)}^2}}} = \frac{{ - 7}}{{{{\left( {2x + 3} \right)}^2}}}$

C. Đạo hàm của hàm phân thức bậc 2/ bậc 1

$y = \frac{{a{x^2} + bx + c}}{{dx + e}} \Rightarrow y$ $y = \frac{{a{x^2} + bx + c}}{{dx + e}} \Rightarrow y' = \frac{{ad{x^2} + 2aex + be - cd}}{{{{\left( {dx + e} \right)}^2}}}$

Ví dụ: Tính đạo hàm của hàm số $y = \frac{{3{x^2} - 2x + 1}}{{x + 2}}$ $y = \frac{{3{x^2} - 2x + 1}}{{x + 2}}$

Hướng dẫn giải

Ta có:

$y = \frac{{3{x^2} - 2x + 1}}{{x + 2}} \Rightarrow y$ $y = \frac{{3{x^2} - 2x + 1}}{{x + 2}} \Rightarrow y' = \frac{{3.1{x^2} + 2.3.2x + \left( { - 2} \right).2 - 1.1}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = \frac{{3{x^2} + 12x - 5}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}$

D. Đạo hàm của hàm phân thức bậc 2/ bậc 2

$\begin{matrix} y = \dfrac{{{a_1}{x^2} + {b_1}x + {c_1}}}{{{a_2}{x^2} + {b_2}x + {c_2}}} \Rightarrow y$ $\begin{matrix} y = \dfrac{{{a_1}{x^2} + {b_1}x + {c_1}}}{{{a_2}{x^2} + {b_2}x + {c_2}}} \Rightarrow y' = \dfrac{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1}}&{{b_1}} \\ {{a_2}}&{{b_2}} \end{array}} \right|{x^2} + 2\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1}}&{{c_1}} \\ {{a_2}}&{{c_2}} \end{array}} \right|x + \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{b_1}}&{{c_1}} \\ {{b_2}}&{{c_2}} \end{array}} \right|}}{{{{\left( {{a_2}{x^2} + {b_2}x + {c_2}} \right)}^2}}} \hfill \\ \Rightarrow y' = \dfrac{{\left( {{a_1}{b_2} - {a_2}{b_1}} \right){x^2} + 2\left( {{a_1}{c_2} - {a_2}{c_1}} \right)x + {b_1}{c_2} - {b_2}{c_1}}}{{{{\left( {{a_2}{x^2} + {b_2}x + {c_2}} \right)}^2}}} \hfill \\ \end{matrix}$

Ví dụ: Tính đạo hàm của hàm số $y = \frac{{3{x^2} - 2x + 1}}{{{x^2} + x + 2}}$ $y = \frac{{3{x^2} - 2x + 1}}{{{x^2} + x + 2}}$

Hướng dẫn giải

Ta có:

$y = \frac{{3{x^2} - 2x + 1}}{{{x^2} + x + 2}} \Rightarrow y$ $y = \frac{{3{x^2} - 2x + 1}}{{{x^2} + x + 2}} \Rightarrow y' = \frac{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 3&{ - 2} \\ 1&1 \end{array}} \right| + 2\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 3&1 \\ 1&2 \end{array}} \right|x + \left| {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2}&1 \\ 1&2 \end{array}} \right|}}{{{{\left( {{x^2} + x + 2} \right)}^2}}} = \frac{{5{x^2} + 10x - 5}}{{{{\left( {{x^2} + x + 2} \right)}^2}}}$

E. Công thức tính nhanh đạo hàm của một số hàm số thường gặp

Hàm số bậc nhất/bậc nhất: f(x)=ax+b/cx+d⇒f′(x)=ad−bc/(cx+d)².

Hàm số bậc hai/bậc nhất: f(x)=ax²+bx+c/mx+n⇒f(x)=amx²+2anx+bn−cm/(mx+n)²

Hàm số đa thức bậc ba: f(x)=ax³+bx²+cx+d⇒f(x)=3ax²+2bx+c

Hàm số trùng phương: f(x)=ax⁴+bx²+c⇒f′(x)=4ax³+2bx.

Hàm số chứa căn bậc hai: f(x)=√u(x)⇒f′(x)=u′(x)/2√u(x)

Hàm số chứa trị tuyệt đối: f(x)=|u(x)|⇒f′(x)=u′(x).u(x)/|u(x)|.

F. Bài tập tính đạo hàm

Câu 1. Tìm $m$ để các hàm số $y = (m - 1)x^{3} - 3(m + 2)x^{2} - 6(m + 2)x + 1$ $y = (m - 1)x^{3} - 3(m + 2)x^{2} - 6(m + 2)x + 1$ có $y' \geq 0,\ \forall x\mathbb{\in R}$?

A. m ≥ 3.	B. m ≥ 1.
C. m ≥ 4.	D. $m \geq 4\sqrt{2}$ $m \geq 4\sqrt{2}$

Lời giải

Chọn C

Ta có: y' = 3[(m - 1)x² - 2(m + 2)x - 2(m + 2)]

Do đó y'≥ 0 => (m - 1)x² - 2(m + 2)x - 2(m + 2) ≥ 0

m = 1 thì $\Leftrightarrow - 6x - 6 \geq 0 \Leftrightarrow x \leq - 1$ $\Leftrightarrow - 6x - 6 \geq 0 \Leftrightarrow x \leq - 1$ nên m = 1

$m \neq 1$ $m \neq 1$ thì đúng với $\forall x\mathbb{\in R \Leftrightarrow}\left\{ \begin{matrix} a = m - 1 > 0 \\ \Delta$ $\forall x\mathbb{\in R \Leftrightarrow}\left\{ \begin{matrix} a = m - 1 > 0 \\ \Delta' \leq 0 \\ \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m > 1 \\ (m + 1)(4 - m) \leq 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow m \geq 4$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m > 1 \\ (m + 1)(4 - m) \leq 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow m \geq 4$

Vậy m ≥ 4 là những giá trị cần tìm.

Câu 2. Tìm các giá trị tham số m để các hàm số $y = \frac{mx^{3}}{3} - mx^{2} + (3m - 1)x + 1$ $y = \frac{mx^{3}}{3} - mx^{2} + (3m - 1)x + 1$ có $y' \leq 0,\ \forall x\mathbb{\in R}$.

A. $m \leq \sqrt{2}$ $m \leq \sqrt{2}$	B. m ≤ 2.
C. m ≤ 0.	D. m < 0.

Lời giải

Chọn C

Ta có: y' = mx² - 2mx + 3m - 1

Nên $y' \leq 0 \Leftrightarrow mx^{2} - 2mx + 3m - 1 \leq 0$

m = 0 thì trở thành: $- 1 \leq 0$ $- 1 \leq 0$ đúng với $\forall x\mathbb{\in R}$ $\forall x\mathbb{\in R}$

$m \neq 0$ $m \neq 0$, khi đó đúng với $\forall x\mathbb{\in R \Leftrightarrow}\left\{ \begin{matrix} a = m < 0 \\ \Delta$ $\forall x\mathbb{\in R \Leftrightarrow}\left\{ \begin{matrix} a = m < 0 \\ \Delta' \leq 0 \\ \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m < 0 \\ m(1 - 2m) \leq 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m < 0 \\ 1 - 2m \geq 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow m < 0$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m < 0 \\ m(1 - 2m) \leq 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m < 0 \\ 1 - 2m \geq 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow m < 0$

Vậy m ≤ 0 là những giá trị cần tìm.

Câu 3. Giải bất phương trình 2xf'(x) - f(x) ≥ 0 với $f(x) = x + \sqrt{x^{2} + 1}$ $f(x) = x + \sqrt{x^{2} + 1}$.

A. $\mathbf{x \geq}\frac{\mathbf{1}}{\sqrt{\mathbf{3}}}$ $\mathbf{x \geq}\frac{\mathbf{1}}{\sqrt{\mathbf{3}}}$	B. $\mathbf{x >}\frac{\mathbf{1}}{\sqrt{\mathbf{3}}}$ $\mathbf{x >}\frac{\mathbf{1}}{\sqrt{\mathbf{3}}}$
C. $\mathbf{x <}\frac{\mathbf{1}}{\sqrt{\mathbf{3}}}$ $\mathbf{x <}\frac{\mathbf{1}}{\sqrt{\mathbf{3}}}$	D. $\mathbf{x \geq}\frac{\mathbf{2}}{\sqrt{\mathbf{3}}}$ $\mathbf{x \geq}\frac{\mathbf{2}}{\sqrt{\mathbf{3}}}$

Lời giải

Chọn A

TXĐ: $D\mathbb{= R}$ $D\mathbb{= R}$

Ta có: $f'(x) = 1 + \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}} = \frac{f(x)}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

Mặt khác: $f(x) > x + \sqrt{x^{2}} = x + |x| \geq 0,\ \forall x\mathbb{\in R}$ $f(x) > x + \sqrt{x^{2}} = x + |x| \geq 0,\ \forall x\mathbb{\in R}$

Nên $2xf'(x) - f(x) \geq 0 \Leftrightarrow \frac{2xf(x)}{\sqrt{x^{2} + 1}} - f(x) \geq 0$

$\Leftrightarrow 2x \geq \sqrt{x^{2} + 1} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x \geq 0 \\ 3x^{2} \geq 1 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow x \geq \frac{1}{\sqrt{3}}$ $\Leftrightarrow 2x \geq \sqrt{x^{2} + 1} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x \geq 0 \\ 3x^{2} \geq 1 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow x \geq \frac{1}{\sqrt{3}}$.

Câu 4. Cho hai hàm số f(x) và g(x) đều có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ $\mathbb{R}$ và thỏa mãn:

$f^{3}(2 - x) - 2f^{2}(2 + 3x) + x^{2}.g(x) + 36x = 0$ $f^{3}(2 - x) - 2f^{2}(2 + 3x) + x^{2}.g(x) + 36x = 0$, với $\forall x\mathbb{\in R}$ $\forall x\mathbb{\in R}$. Tính A = 3f(2) + 4f'(x).

A. 11.	B. 13.
C. 14.	D. 10.

Lời giải

Chọn D

Với $\forall x\mathbb{\in R}$ $\forall x\mathbb{\in R}$, ta có f³(2x- x) - 2f²(2 + 3x) + x².g(x) + 36x = 0 (1) .

Đạo hàm hai vế của $(1)$, ta được

$- 3f^{2}(2 - x).f$ $- 3f^{2}(2 - x).f'(2 - x) - 12f(2 + 3x).f'(2 + 3x) + 2x.g(x) + x^{2}.g'(x) + 36 = 0$ $(2)$.

Từ (1) và (2), thay x = 0, ta có $\left\{ \begin{matrix} f^{3}(2) - 2f^{2}(2) = 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (3) \\ - 3f^{2}(2).f$ $\left\{ \begin{matrix} f^{3}(2) - 2f^{2}(2) = 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (3) \\ - 3f^{2}(2).f'(2) - 12f(2).f'(2) + 36 = 0\ \ \ (4) \\ \end{matrix} \right.$

Từ (3), ta có f(2) = 0 hoặc f(2) = 2.

Với f(2) = 0, thế vào (4) ta được 36 = 0.

Với f(2) = 2, thế vào (4) ta được -36f'(2) + 36 = 0 => f'(2) = 1.

Vậy A = 3f(2) + 4f'(x) = 3.2 + 4.1 = 10.

Câu 5. Cho hàm số $f(x) = \frac{1 - 3x + x^{2}}{x - 1}$ $f(x) = \frac{1 - 3x + x^{2}}{x - 1}$. Tập nghiệm của bất phương trình f'(x) > 0 là

A. $\mathbb{R}\backslash\left\{ 1 \right\}$ $\mathbb{R}\backslash\left\{ 1 \right\}$	B. $\varnothing$ $\varnothing$
C. $(1; + \infty)$ $(1; + \infty)$	D. $\mathbb{R}$ $\mathbb{R}$

Lời giải

Chọn A

Ta có:

$\begin{matrix} f$ $\begin{matrix} f'(x) = \left( \frac{1 - 3x + x^{2}}{x - 1} \right)^{'} \\ = \frac{\left( 1 - 3x + x^{2} \right)^{'}(x - 1) - \left( 1 - 3x + x^{2} \right)(x - 1)^{'}}{(x - 1)^{2}} \\ = \frac{( - 3 + 2x)(x - 1) - \left( 1 - 3x + x^{2} \right)}{(x - 1)^{2}} = \frac{x^{2} - 2x + 2}{(x - 1)^{2}} \\ = \frac{(x - 1)^{2} + 1}{(x - 1)^{2}} > 0,\ \forall x \neq 1 \\ \end{matrix}$

Câu 6. Cho hàm số $y = f(x) = \left( 1 - 2x^{2} \right)\sqrt{1 + 2x^{2}}$ $y = f(x) = \left( 1 - 2x^{2} \right)\sqrt{1 + 2x^{2}}$. Ta xét hai mệnh đề sau:

$(I)$ $f'(x) = \frac{- 2x\left( 1 + 6x^{2} \right)}{\sqrt{1 + 2x^{2}}}$

$(II)$ $f(x).f'(x) = 2x\left( 12x^{4} - 4x^{2} - 1 \right)$

Mệnh đề nào đúng?

A. Chỉ (II)	B. Chỉ (I)
C. Cả hai đều sai.	D. Cả hai đều đúng.

Lời giải

Chọn D

Ta có

$f'(x) = \left( 1 - 2x^{2} \right)^{'}\sqrt{1 + 2x^{2}} + \left( 1 - 2x^{2} \right)\left( \sqrt{1 + 2x^{2}} \right)^{'}$

$= - 4x\sqrt{1 + 2x^{2}} + \left( 1 - 2x^{2} \right)\frac{2x}{\sqrt{1 + 2x^{2}}}$ $= - 4x\sqrt{1 + 2x^{2}} + \left( 1 - 2x^{2} \right)\frac{2x}{\sqrt{1 + 2x^{2}}}$

$= \frac{- 4x\left( 1 + 2x^{2} \right) + \left( 1 - 2x^{2} \right).2x}{\sqrt{1 + 2x^{2}}}$ $= \frac{- 4x\left( 1 + 2x^{2} \right) + \left( 1 - 2x^{2} \right).2x}{\sqrt{1 + 2x^{2}}}$

$= \frac{- 2x - 12x^{3}}{\sqrt{1 + 2x^{2}}} = \frac{- 2x\left( 1 + 6x^{2} \right)}{\sqrt{1 + 2x^{2}}}$ $= \frac{- 2x - 12x^{3}}{\sqrt{1 + 2x^{2}}} = \frac{- 2x\left( 1 + 6x^{2} \right)}{\sqrt{1 + 2x^{2}}}$

Suy ra

$f(x).f'(x) = \left( 1 - 2x^{2} \right)\sqrt{1 + 2x^{2}}.\frac{- 2x\left( 1 + 6x^{2} \right)}{\sqrt{1 + 2x^{2}}}$

= - 2x(1- 2x²)(1 + 6x²

= -2x(-12x⁴ + 4x² + 1) = 2x(12x⁴ - 4x² - 1)

Câu 7. Tính đạo hàm của hàm số sau tại điểm chỉ ra $\mathbf{f}\mathbf{(}\mathbf{x}\mathbf{)}\mathbf{=}\frac{\mathbf{x}^{\mathbf{2}}\mathbf{+ x +}\left| \mathbf{x +}\mathbf{1} \right|}{\mathbf{x}}$ $\mathbf{f}\mathbf{(}\mathbf{x}\mathbf{)}\mathbf{=}\frac{\mathbf{x}^{\mathbf{2}}\mathbf{+ x +}\left| \mathbf{x +}\mathbf{1} \right|}{\mathbf{x}}$ tại x₀= -1.

Lời giải

Ta có hàm số liên tục tại x₀= -1 và

$\frac{f(x) - f( - 1)}{x + 1} = \frac{x^{2} + x + |x + 1|}{x(x + 1)}$ $\frac{f(x) - f( - 1)}{x + 1} = \frac{x^{2} + x + |x + 1|}{x(x + 1)}$

Nên $\lim_{x \rightarrow - 1^{+}}\frac{f(x) - f( - 1)}{x + 1} = \lim_{x \rightarrow - 1^{+}}\frac{x^{2} + 2x + 1}{x(x + 1)} = 0$ $\lim_{x \rightarrow - 1^{+}}\frac{f(x) - f( - 1)}{x + 1} = \lim_{x \rightarrow - 1^{+}}\frac{x^{2} + 2x + 1}{x(x + 1)} = 0$

$\lim_{x \rightarrow - 1^{-}}\frac{f(x) - f( - 1)}{x + 1} = \lim_{x \rightarrow - 1^{-}}\frac{x^{2} - 1}{x(x + 1)} = 2$ $\lim_{x \rightarrow - 1^{-}}\frac{f(x) - f( - 1)}{x + 1} = \lim_{x \rightarrow - 1^{-}}\frac{x^{2} - 1}{x(x + 1)} = 2$

Do đó $\lim_{x \rightarrow - 1^{+}}\frac{f(x) - f( - 1)}{x + 1} \neq \lim_{x \rightarrow - 1^{-}}\frac{f(x) - f( - 1)}{x + 1}$ $\lim_{x \rightarrow - 1^{+}}\frac{f(x) - f( - 1)}{x + 1} \neq \lim_{x \rightarrow - 1^{-}}\frac{f(x) - f( - 1)}{x + 1}$

Vậy hàm số không có đạo hàm tại điểm x₀= -1.

Nhận xét: Hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x = x₀ thì phải liên tục tại điểm đó.

Câu 8. Cho hàm số $f(x) = \left\{ \begin{matrix} x^{2}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x \leq 2 \\ - \frac{x^{2}}{2} + bx - 6\ khi\ x > 2 \\ \end{matrix} \right.$ $f(x) = \left\{ \begin{matrix} x^{2}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x \leq 2 \\ - \frac{x^{2}}{2} + bx - 6\ khi\ x > 2 \\ \end{matrix} \right.$. Để hàm số này có đạo hàm tại x = 2 thì giá trị của b bằng bao nhiêu?

Lời giải

Ta có:

$f(2) = 4$, $\lim_{x \rightarrow 2^{-}}f(x) = \lim_{x \rightarrow 2^{-}}x^{2} = 4$ $\lim_{x \rightarrow 2^{-}}f(x) = \lim_{x \rightarrow 2^{-}}x^{2} = 4$, $\lim_{x \rightarrow 2^{-}}f(x) = \lim_{x \rightarrow 2^{-}}\left( - \frac{x^{2}}{2} + bx - 6 \right) = 2b - 8$ $\lim_{x \rightarrow 2^{-}}f(x) = \lim_{x \rightarrow 2^{-}}\left( - \frac{x^{2}}{2} + bx - 6 \right) = 2b - 8$.

$f(x)$ có đạo hàm tại $x = 2$ khi và chỉ khi $f(x)$ liên tục tại $x = 2$

$\Leftrightarrow \lim_{x \rightarrow 2^{-}}f(x) = \lim_{x \rightarrow 2^{-}}f(x) = f(2) \Leftrightarrow 2b - 8 = 4 \Leftrightarrow b = 6$ $\Leftrightarrow \lim_{x \rightarrow 2^{-}}f(x) = \lim_{x \rightarrow 2^{-}}f(x) = f(2) \Leftrightarrow 2b - 8 = 4 \Leftrightarrow b = 6$.

Câu 9. Cho hàm số $f(x) = \left\{ \begin{matrix} a\sqrt{x}\ \ \ \ \ \ khi\ 0 < x < x_{0} \\ x^{2} + 12\ \ \ khi\ x \geq x_{0} \\ \end{matrix} \right.$ $f(x) = \left\{ \begin{matrix} a\sqrt{x}\ \ \ \ \ \ khi\ 0 < x < x_{0} \\ x^{2} + 12\ \ \ khi\ x \geq x_{0} \\ \end{matrix} \right.$. Biết rằng ta luôn tìm được một số dương $x_{0}$ $x_{0}$ và một số thực a để hàm số f có đạo hàm liên tục trên khoảng $\left( 0;x_{o} \right) \cup \left( x_{o}; + \infty \right)$ $\left( 0;x_{o} \right) \cup \left( x_{o}; + \infty \right)$. Tính giá trị $S = x_{0} + a$ $S = x_{0} + a$.

Lời giải

Chọn B

+ Khi $0 < x < x_{0}$ $0 < x < x_{0}$: $f(x) = a\sqrt{x}$ $f(x) = a\sqrt{x}$ $\Rightarrow f$ $\Rightarrow f'(x) = \frac{a}{2\sqrt{x}}$.

Ta có f'(x) xác định trên $\left( 0;x_{0} \right)$ $\left( 0;x_{0} \right)$ nên liên tục trên khoảng $\left( 0;x_{0} \right)$ $\left( 0;x_{0} \right)$.

+ Khi $x > x_{0}$ $x > x_{0}$: f(x) = x² + 12 => f'(x) = 2x.

Ta có f'(x) xác định trên $\left( x_{0}; + \infty \right)$ $\left( x_{0}; + \infty \right)$ nên liên tục trên khoảng $\left( x_{0}; + \infty \right)$ $\left( x_{0}; + \infty \right)$.

+ Tại $x = x_{0}$ $x = x_{0}$:

$\lim_{x \rightarrow x_{0}^{-}}\frac{f(x) - f\left( x_{0} \right)}{x - x_{0}} = \lim_{x \rightarrow x_{0}^{-}}\frac{a\sqrt{x} - a\sqrt{x_{0}}}{x - x_{0}}$ $\lim_{x \rightarrow x_{0}^{-}}\frac{f(x) - f\left( x_{0} \right)}{x - x_{0}} = \lim_{x \rightarrow x_{0}^{-}}\frac{a\sqrt{x} - a\sqrt{x_{0}}}{x - x_{0}}$ $= \lim_{x \rightarrow x_{0}^{-}}\frac{a\left( \sqrt{x} - \sqrt{x_{0}} \right)}{x - x_{0}} = \lim_{x \rightarrow x_{0}^{-}}\frac{a}{\sqrt{x} + \sqrt{x_{0}}} = \frac{a}{2\sqrt{x_{0}}}$ $= \lim_{x \rightarrow x_{0}^{-}}\frac{a\left( \sqrt{x} - \sqrt{x_{0}} \right)}{x - x_{0}} = \lim_{x \rightarrow x_{0}^{-}}\frac{a}{\sqrt{x} + \sqrt{x_{0}}} = \frac{a}{2\sqrt{x_{0}}}$

$\lim_{x \rightarrow x_{0}^{+}}\frac{f(x) - f\left( x_{0} \right)}{x - x_{0}} = \lim_{x \rightarrow x_{0}^{+}}\frac{x^{2} + 12 - \left( x_{0}^{2} + 12 \right)}{x - x_{0}}$ $\lim_{x \rightarrow x_{0}^{+}}\frac{f(x) - f\left( x_{0} \right)}{x - x_{0}} = \lim_{x \rightarrow x_{0}^{+}}\frac{x^{2} + 12 - \left( x_{0}^{2} + 12 \right)}{x - x_{0}}$

$= \lim_{x \rightarrow x_{0}^{+}}\frac{x^{2} - x_{0}^{2}}{x - x_{0}} = \lim_{x \rightarrow x_{0}^{+}}\left( x + x_{0} \right) = 2x_{0}$ $= \lim_{x \rightarrow x_{0}^{+}}\frac{x^{2} - x_{0}^{2}}{x - x_{0}} = \lim_{x \rightarrow x_{0}^{+}}\left( x + x_{0} \right) = 2x_{0}$.

Hàm số f có đạo hàm trên khoảng $(0; + \infty)$ $(0; + \infty)$ khi và chỉ khi

$\lim_{x \rightarrow x_{0}^{-}}\frac{f(x) - f\left( x_{0} \right)}{x - x_{0}} = \lim_{x \rightarrow x_{0}^{+}}\frac{f(x) - f\left( x_{0} \right)}{x - x_{0}} \Leftrightarrow \frac{a}{2\sqrt{x_{0}}} = 2x_{0}$ $\lim_{x \rightarrow x_{0}^{-}}\frac{f(x) - f\left( x_{0} \right)}{x - x_{0}} = \lim_{x \rightarrow x_{0}^{+}}\frac{f(x) - f\left( x_{0} \right)}{x - x_{0}} \Leftrightarrow \frac{a}{2\sqrt{x_{0}}} = 2x_{0}$.

Khi đó $f'\left( x_{0} \right) = \frac{a}{2\sqrt{x_{0}}} = 2x_{0}$ và $f'(x) = \left\{ \begin{matrix} \frac{a}{2\sqrt{x}}\ \ \ khi\ 0 < x < x_{0} \\ 2x\ \ \ \ \ \ \ khi\ x \geq x_{0} \\ \end{matrix} \right.$ nên hàm số f có đạo hàm liên tục trên khoảng $(0; + \infty)$ $(0; + \infty)$.

Ta có $\frac{a}{2\sqrt{x_{0}}} = 2x_{0} \Leftrightarrow a = 4x_{0}\sqrt{x_{0}}$ $\frac{a}{2\sqrt{x_{0}}} = 2x_{0} \Leftrightarrow a = 4x_{0}\sqrt{x_{0}}$ $(1)$

Mặt khác: Hàm số f liên tục tại $x_{0}$ $x_{0}$ nên $x_{0}^{2} + 12 = a\sqrt{x_{0}}$ $x_{0}^{2} + 12 = a\sqrt{x_{0}}$ $(2)$

Từ (1) và (2) suy ra x₀ = 2 và $a = 8\sqrt{2}$ $a = 8\sqrt{2}$

Vậy $S = a + x_{0} = 2\left( 1 + 4\sqrt{2} \right)$ $S = a + x_{0} = 2\left( 1 + 4\sqrt{2} \right)$.

Câu 10. Cho hàm số f(x) = (2018 + x)(2017 + 2x)(2016 + 3x)...(1 + 2018x). Tính f'(1).

Lời giải

Chọn C

f'(x) = (2017 + 2x)(2016 + 3x)...(1 + 2018x) + ... (2018 + x)(2017 + 2x)(2016 + 3x)....2018 + (2018 + x).2.(2016 + 3x) ....(1 + 2018x).

Suy ra

$f'(1) = 2019^{2017} + 2.2019^{2017} + 3.2019^{2017} + ... + 2018.2019^{2017}$

$= 2019^{2017}(1 + 2 + 3 + ... + 2018)$ $= 2019^{2017}(1 + 2 + 3 + ... + 2018)$

$= 2019^{2017}.\frac{2018.2019}{2} = 1009.2019^{2018}$ $= 2019^{2017}.\frac{2018.2019}{2} = 1009.2019^{2018}$.

---------------------------

FAQ

Công thức đạo hàm Toán 11 nào cần ghi nhớ nhất?

Các công thức đạo hàm của hàm số lũy thừa, căn thức, tổng, hiệu, tích và thương là những công thức quan trọng nhất.

Đạo hàm của hàm số bậc hai được tính như thế nào?

Áp dụng quy tắc đạo hàm lũy thừa để tính nhanh đạo hàm của đa thức bậc hai.

Có thể học thuộc bảng đạo hàm trong bao lâu?

Nếu luyện tập thường xuyên, học sinh có thể ghi nhớ phần lớn công thức đạo hàm cơ bản trong thời gian ngắn.

Vì sao cần học cách tính nhanh đạo hàm?

Việc tính nhanh giúp tiết kiệm thời gian làm bài và tạo lợi thế khi giải các bài toán vận dụng cao.

Đạo hàm có ứng dụng trong thực tế không?

Có. Đạo hàm được ứng dụng trong vật lý, kinh tế, kỹ thuật, công nghệ và nhiều lĩnh vực khoa học khác.

-----------------

Cách tính nhanh đạo hàm là kỹ năng quan trọng giúp học sinh Toán 11 tiết kiệm thời gian và nâng cao độ chính xác khi làm bài tập. Việc ghi nhớ các công thức đạo hàm cơ bản, quy tắc tính đạo hàm và thường xuyên luyện tập các dạng toán điển hình sẽ giúp học sinh giải quyết hiệu quả các bài toán từ cơ bản đến nâng cao. Đây cũng là nền tảng quan trọng để học tốt chương trình Giải tích ở các lớp tiếp theo và chuẩn bị cho các kỳ thi quan trọng.

Tải về

Chọn file muốn tải về: