Cách xác định góc giữa hai đường thẳng nhanh và chính xác
Bài tập góc giữa hai đường thẳng trong không gian
Trong hình học không gian lớp 11, xác định góc giữa hai đường thẳng là dạng toán quen thuộc nhưng đòi hỏi cách dựng và lựa chọn phương pháp hợp lý để tránh nhầm lẫn. Nhiều học sinh mất nhiều thời gian do chưa nắm được hướng tiếp cận ngắn gọn và chính xác.
Bài viết này sẽ trình bày cách xác định góc giữa hai đường thẳng nhanh và chính xác, kèm ví dụ minh họa cụ thể, giúp người học áp dụng hiệu quả khi giải bài tập.
A. Hướng dẫn xác định góc giữa hai đường thẳng trong không gian
Để tính số đo của góc giữa hai đường thẳng (d1) và (d2) ta có thể thực hiện tính thông qua góc giữa hai đường thẳng cắt nhau lần lượt song song với hai đường thẳng đã cho.
-
Bước 1: Sử dụng tính chất sau:
\(\left\{ \begin{matrix}
\left( d_{1},d_{2} \right) = \alpha \\
d_{2}//d_{3}
\end{matrix} \right.\ \Rightarrow \left( d_{1},d_{2} \right) = \left(
d_{1},d_{3} \right) = \alpha\) -
Bước 2: Áp dụng định lí côsin trong tam giác để xác định góc.
Để tính góc giữa hai đường thẳng trong không gian ta cần nhớ các công thức sau:
Định lý cosin trong tam giác ABC:
\(\cos\widehat{BAC} = \frac{AB^{2} +
AC^{2} - BC^{2}}{2.AB.AC}\)
\(\cos\widehat{ABC} = \frac{BA^{2} +
BC^{2} - AC^{2}}{2.BA.BC}\)
\(\cos\widehat{ACB} = \frac{CA^{2} +
CB^{2} - AB^{2}}{2.CA.CB}\)
B. Bài tập minh họa tính góc giữa hai đường thẳng
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, SA⊥9ABC) và \(SA = a\sqrt{3}\). Gọi M, N lần lượt là trung điểm AB và SC. Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng AN và CM.
Hướng dẫn giải
Hình vẽ minh họa:
Dựng hình bình hành AMCE suy ra \(AM = CE = \frac{a}{2}\).
Khi đó \(AE//CM \Rightarrow \left(
\widehat{AN;CM} \right) = \left( \widehat{AN;AE} \right) =
\varphi\).
Mặt khác \(SC = \sqrt{SA^{2} + AC^{2}} = 2a
\Rightarrow AN = \frac{SC}{2} = a \Leftarrow AE = CM =
\frac{a\sqrt{3}}{2}\).
Do tam giác ABC đều nên CM⊥AM => AMCE là hình chữ nhật.
Khi đó CE⊥AE mà CE⊥SA => CE⊥(SAE) => CE⊥SE.
Tam giác SEC vuông tại e có đường trung tuyến \(EN = \frac{1}{2}SC = a\).
Ta có:
\(\cos\widehat{NAE} = \frac{AN^{2} +
AE^{2} - NE^{2}}{2.AN.AE} = \frac{\sqrt{3}}{4} > 0 \Rightarrow
\cos\varphi = \frac{\sqrt{3}}{4}\).
Ví dụ 2. Cho tứ diện ABCD có AB vuông góc với mặt phẳng (BCD). Biết tam giác BCD vuông tại C và \(AB =
\frac{a\sqrt{6}}{2},AC = a\sqrt{2},CD = a\). Gọi E là trung điểm của AC (tham khảo hình vẽ bên).
Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CE.
Hướng dẫn giải
Hình vẽ minh họa:
Gọi H là trung điểm BD => EH // AB => EH ⊥(BCD)
Vậy EH ⊥ CH, ta có \(BC = \sqrt{AC^{2} - AB^{2}} =
\frac{a\sqrt{2}}{2}\)
Suy ra \(BD = \sqrt{BC^{2} + CD^{2}} =
\frac{a\sqrt{6}}{2} \Rightarrow CH = \frac{BD}{2} =
\frac{a\sqrt{6}}{4}\)
Lại có \(EH = \frac{AB}{2} =
\frac{a\sqrt{6}}{4} = CH\)
=> Tam giác EHC vuông cân tại H
Do đó \(\widehat{(AB;CE)} =
\widehat{(EH;CE)} = \widehat{CEH} = 45{^\circ}\).
Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh 2a, SA⊥(ABCD) và \(SB = a\sqrt{5}\). Gọi M là trung điểm AB và N là trung điểm BC. Tính cosin góc giữa hai đường thẳng SM và DN.
Hướng dẫn giải
Hình vẽ minh họa:
Do SA⊥(ABCD).
Ta có: \(SA = \sqrt{SB^{2} - AB^{2}} = a\).
Gọi E là trung điểm của AD và I là trung điểm AE.
Dễ thấy BNDE là hình bình hành và MI là đường trung bình trong tam giác ABE.
Khi đó: DN // BE // MI nên ta có:\(AM = a;\ AI = \frac{AE}{2} =
\frac{a}{2}\).
Mặt khác: \(SM^{2} = SA^{2} + AM^{2} =
2a^{2};\ SI^{2} = \frac{5a^{2}}{4}\)
\(\Rightarrow MI^{2} = AI^{2} + AM^{2} =
\frac{5a^{2}}{4}\).
Do vậy \(\cos\widehat{SMI} = \frac{SM^{2} +
MI^{2} - SI^{2}}{2.SM.MI} = \frac{\sqrt{10}}{5} =
\cos\widehat{(SM;DN)}\)
C. Bài tập tự rèn luyện có hướng dẫn đáp án chi tiết
Bài tập 1. Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = AB = a và \(BC =
a\sqrt{3}\). Tính cosin góc giữa hai đường thẳng SC và AB.
Bài tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có \(AB = a;AD = a\sqrt{2}\), SA⊥(ABCD) và SA = 2a.
a) Tính cosin góc giữa hai đường thẳng BC và SD.
b) Gọi \(I\)là trung điểm của CD. Tính cosin góc giữa hai đường thẳng SB và AI.
Bài tập 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, \(\widehat{ABC} = 60^{0}\). Tam giác SAB cân tại S và thuộc mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết rằng SC tạo với đáy một góc 300. Tính cosin của góc giữa
a) SD và BC.
b) DH và SC với H là chân đường cao hạ từ S xuống mặt đáy (ABCD).
Bài tập 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B có AD = 2AB = 2CD = 2a và SA⊥(ABCD). Biết rằng SC tạo với đáy một góc 600. Tính cosin góc giữa:
a) BC và SD.
b) AI và SD với I là trung điểm CD.
🔍 Để thuận tiện cho việc học tập và lưu trữ, mời bạn tải tài liệu tham khảo bên dưới.
-----------------------------
FAQ
Góc giữa hai đường thẳng chéo nhau được xác định như thế nào?
Ta chọn hai đường thẳng lần lượt song song với hai đường thẳng đã cho và cắt nhau tại một điểm, sau đó xác định góc giữa chúng.
Có cần vẽ hình khi tìm góc giữa hai đường thẳng không?
Việc vẽ hình giúp quan sát trực quan hơn và hạn chế sai sót trong quá trình xác định các yếu tố hình học.
Góc giữa hai đường thẳng có thể lớn hơn 90° không?
Theo quy ước trong chương trình phổ thông, góc giữa hai đường thẳng là góc nhỏ nhất nên luôn không vượt quá 90°.
Làm thế nào để nhận biết hai đường thẳng vuông góc?
Nếu tích vô hướng của hai vectơ chỉ phương bằng 0 thì hai đường thẳng vuông góc với nhau.
Dạng toán góc giữa hai đường thẳng có thường xuất hiện trong đề thi không?
Có. Đây là một trong những dạng toán trọng tâm của hình học không gian và xuất hiện thường xuyên trong các đề kiểm tra cũng như đề thi THPT.
-------------------------------
Khi nắm vững phương pháp xác định góc giữa hai đường thẳng, học sinh sẽ giải quyết bài toán hình học không gian một cách chủ động và hiệu quả hơn. Những ví dụ minh họa Toán 11 trong bài giúp củng cố bản chất vấn đề, tạo nền tảng vững chắc để xử lý các dạng bài nâng cao liên quan đến góc trong không gian.
