Đề thi học sinh giỏi môn Toán 11 lần 2 năm 2019 - 2020 cụm trường THPT Thanh Chương
Đề thi HSG môn Toán lớp 11 có đáp án
1
VnDoc.com - Tải tài liệu, biểu mẫu, vbpl miễn phí
SỞ GD&ĐT NGHỆ AN
CỤM TRƯỜNG THPT THANH CHƯƠNG
ĐỀ THI KSCL ĐỘI TUYỂN HSG LỚP 11- LẦN 2
NĂM HỌC 2019-2020
Môn thi: Toán
Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề
Câu 1. (6,0 điểm).
a. Giải phương trình
1 3
4
cos sinx x
+ =
b. Giải phương trình
1 1
1 ( ).x x x
x x
- + - = Î ¡
Câu 2. (4,0 điểm).
a. Cho đa giác đều có 60 đỉnh. Hỏi có bao nhiêu tam giác có 3 cạnh là đường chéo của đa giác đó?
b. Cho khai triển
2 2 2 4
0 1 2 4
( 1) ( 1) ... ,
n n n
n
x x a a x a x a x+ + + = + + + +
với
n
là số tự nhiên,
1n ³
. Tìm
n
biết
1 2 3
, ,a a a
lập thành một cấp số cộng.
Câu 3. (2,0 điểm). Cho dãy số
( )
n
u
thỏa mãn
1
2
1 2
2
, , 2.
... .
n n
u
n n
u u u n u
ì
ï
=
ï
ï
í
ï
+ + + =
ï
ï
î
¥
Tìm công thức số
hạng tổng quát
n
u
và tính tổng
1 2 2020
... .S u u u= + + +
Câu 4. (2,0 điểm). Trong hệ tọa độ
,Oxy
cho tam giác
ABC
vuông tại
(2;5)A
và
H
là hình chiếu vuông
góc của
A
lên cạnh
.BC
Gọi
,I
(2; 1)J -
và
(6;1)K
lần lượt là tâm đường nội tiếp của tam giác
, , .ABC ABH ACH
Chứng minh
I
là trực tâm của tam giác
AJK
và tìm tọa độ các đỉnh
, .B C
Câu 5. (4,0 điểm). Cho tứ diện đều
ABCD
có trọng tâm
,G
cạnh
;AB a=
O
là tâm của tam giác
BCD
và
M
là điểm bất kỳ thuộc mặt phẳng
( )BCD
. Gọi
, ,H K L
lần lượt là hình chiếu vuông góc của
M
lên các
mặt phẳng
( ),( ),( )ACD A BD A BC
.
a. Mặt phẳng
( )P
bất kỳ đi qua trọng tâm
,G
cắt các cạnh
, ,AB AC AD
lần lượt tại
', ', '.B C D
Chứng
minh
4
' ' '
AB AC AD
AB AC AD
+ + =
.
b. Chứng minh đường thẳng
GM
luôn đi qua trọng tâm
E
của tam giác
.HKL
Câu 6. (2,0 điểm). Cho
, , 0x y z ³
thỏa mãn
1x y z+ + =
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
2 2 2
P x y y z z x= + +
---------- Hết --------
2
VnDoc.com - Tải tài liệu, biểu mẫu, vbpl miễn phí
Lưu ý. Thí sinh không được phép sử dụng máy tính bỏ túi. Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.
ĐÁP ÁN ĐỀ THI KSCL HSG TOÁN LỚP 11 LẦN 2- CỤM THANH CHƯƠNG- NĂM 2020
Câu
Nội dung
Điểm
1.a
(3 đ)
Điều kiện:
cos 0, sin 0 .
2
k
x x x
p
0.5
PT
sin 3 cos 4sin .cosx x x x+ =
1
sin 2 sin( )
3
x x
p
Û = +
1
2 2
2 ; , .
3 9 3
k
x k x k
p p p
pÛ = + = + Î ¢
0.5
1.b
(3 đ)
ĐK:
1 1
0;1 0; 0 1 0; 1x x x x
x x
-
0.5
C1 (Bình phương):
1 1
1x x
x x
- = - -
. Nếu
1 0x- £ <
thì PT vô nghiệm.
Nếu
1x ³
thì
2
1 1 1
2 1 1x x x
x x x
- = - - + -
1
2 2 2
1 5 1 5
( ) 2 1 0 1 0 ( ), (T/ m)
2 2
x x x x x x x Loai x
- +
Û - - - + = Û - - = Û = =
1.5
C2 : (Đặt 2 ẩn phụ chuyển về HPT) ĐK PT có nghiệm
1.x ³
Đặt
1 1
, 1a x b
x x
= - = -
2 2
1 1
( 1 )
1
1
2
a b x
a b x
a x
x
a b x
x
a b
x
ì
ï
+ =
ì
ï
ï
+ =
ï
ï
+ -
-
- = -
- =
ï
î
ï
ï
î
2
1 1 1 5 1 5
( ) 2 1 0 1 0 (Loai); ( )
2 2
x x x x x x Tm
x x
- +
- - - + = Û - - = Û = =
C3 : (Đánh giá theo BĐT Cauchy) ĐK có nghiệm
1.x ³
BĐT
, , 0.
2
a b
ab a b
+
£ " ³
1 1
1 1
1 1 1
1( ) ; 1 .( 1)
2 2
x x
x x
x x
x x x
+ - + -
- £ - = - £
1 1
1 1
2 2
x x
x x
VT x VP
+ - + -
+ = =
Phương trình tương đương với dấu bằng xảy ra
1 1 1 5
1 ; 1, 1
2
x x x x
x x
+
= - = - =
2.a
(2 đ)
C1 : Chọn 1 đỉnh A có 60 cách, giả sử chọn thêm 2
đỉnh B, C thỏa mãn, hay AB, BC, CA là đường chéo
của đa giác do đó giữa cung
»
¼
»
, ,AB BC CA
luôn có ít
nhất 1 đỉnh của đa giác.
0.5
Giả sử
, ,x y z
là số đỉnh của đa giác nằm trên cung
0.5
3
VnDoc.com - Tải tài liệu, biểu mẫu, vbpl miễn phí
»
»
¼
, ,AB CA BC
, trong đó
, , ; , , 1x y z x y z¢
Bài toán trở thành tìm số nghiệm nguyên dương của
phương trình
57x y z+ + =
57 1 .. 1 1 .. 1 1 .. 1
x y z
= + + + + + + + +
144424443 144424443 14442 4443
(có 56 dấu + )
0.5
Do vai trò của 3 đỉnh như nhau nên có
2
2
56
56
60.
20
3
C
C=
tam giác thỏa mãn.
0.5
C2 : Số tam giác tạo thành là
3
n
C
. Số tam giác có 1 cạnh của đa giác là
1
4n
nC
-
. Số tam giác
có 2 cạnh là cạnh của đa giác bằng
n
.
Số tam giác thỏa mãn là
3 1 2
4 4
3
n n n
n
C nC n C
- -
- - =
2.b
(2 đ)
1 2 1 3
1 2 2 3
; ;
n n n n
a C a C C a C= = + =
0.5
1 2 3
, ,a a a
là một cấp số công nên
1 3 2
2a a a+ =
0.5
1 3 2 1
2
(n 1)(n 2) ( 1)
2( ) 2 2
6 2
n n n n
n n n
C C C C n n
- - -
÷
ç
÷
+ = + Û + = +
ç
÷
ç
÷
ç
0.5
2
9 10 0 1( ); 10( )n n n Loai n TmÛ - - = Û = - =
0.5
3
(2 đ)
2 2
1
( 1) .
n n n
n u u n u
-
- + =
0.5
2 2
1
( 1) ( 1).
n n
n u n u
-
Û - = -
1
1
1
n n
n
u u
n
-
-
Û =
+
0.5
1
1 2 1 4
. ...
1 3 ( 1)
n
n n
u u
n n n n
- -
= =
+ +
0.5
Tổng
2
2
1 2 2020 2020
4.2020 8080
... 2020 .
2020.2021 2021
S u u u u= + + + = = =
0.5
4
(2 đ)
Chứng minh tâm I đường tròn nội tiếp tam giác
ABC là trực tâm của tam giác AJK.
·
·
·
·
· ·
ABC HAC ABJ JBH HAK KAC= Þ = = =
·
·
·
·
·
0
90 BAC BAK KAC BAK ABJ= = + = +
AK BJÞ ^
.
Tương trự chứng minh
CK AJ^
Do đó
I
là trực tâm của tam giác AJK.
0.5
Gọi
( ; )I a b
ta có
0
0
AI JK
KI AJ
ì
ï
=
ï
ï
í
ï
=
ï
ï
î
uur uuur
uur uuur
4( 2) 2(b 5) 0 4
(4;1)
0( 6) 6( 1) 0 1
a a
I
a b b
- + - = =
- - - = =
0.5
Phương trình
: 3 0BI x y- - =
Phương trình
: 1 0CI y - =
0.25
Đề thi HSG môn Toán 11 cụm trường THPT Thanh Chương
VnDoc.com xin gửi tới bạn đọc bài viết Đề thi HSG môn Toán 11 cụm trường THPT Thanh Chương năm 2019 - 2020 để bạn đọc cùng tham khảo và có thêm tài liệu ôn tập cho kì thi học sinh giỏi sắp tới nhé. Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết tại đây.
- Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 11 năm học 2019-2020 trường THPT Hậu Lộc 4, Thanh Hóa
- Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 11 Sở GD&ĐT Vĩnh Phúc
Đề thi HSG môn Toán 11 cụm trường THPT Thanh Chương năm 2019 - 2020 vừa được VnDoc.com sưu tập và xin gửi tới bạn đọc cùng tham khảo. Đề thi gồm có 6 câu tự luận, thí sinh làm đề trong thời gian 150 phút và có đáp án kèm theo. Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết tại đây.
Trên đây VnDoc.com vừa giới thiệu tới các bạn Đề thi HSG môn Toán 11 cụm trường THPT Thanh Chương năm 2019 - 2020, mong rằng qua bài viết này các bạn có thể học tập tốt hơn môn Toán lớp 11. Mời các bạn cùng tham khảo thêm kiến thức các môn Ngữ văn 11, Tiếng Anh 11, đề thi học kì 1 lớp 11, đề thi học kì 2 lớp 11...
