Hoán vị vòng quanh
Hoán vị vòng quanh là gì?
Hoán vị vòng quanh là dạng toán quan trọng trong phần tổ hợp xác suất lớp 11, thường gây nhầm lẫn với hoán vị thông thường. Nắm rõ bản chất và công thức sẽ giúp bạn giải nhanh các bài toán sắp xếp đặc biệt.
Công thức tính hoán vị vòng quanh
Cho tập 
gồm phần tử. Một cách sắp xếp phần tử của tập thành một dãy kín được gọi là một hoán vị vòng quanh của phần tử. Số các hoán vị vòng quanh của phần tử là .
Bài tập tính hoán vị vòng quanh
Ví dụ: Một thầy giáo có cuốn sách khác nhau trong đó có cuốn sách Toán, cuốn sách Lí, cuốn sách Hóa. Thầy muốn lấy ra cuốn và tặng cho em học sinh mỗi em một cuốn. Hỏi thầy giáo có bao nhiêu cách tặng cho các em học sinh sao cho sau khi tặng xong, mỗi một trong ba loại sách trên đều còn ít nhất một cuốn.
A. cách. B. cách. C. cách. D. cách.
Hướng dẫn giải
Ta thấy với bài toán này nếu làm trực tiếp thì sẽ khá khó, nên ta sẽ làm theo cách gián tiếp. Tìm bài toán đối đó là tìm số cách sao cho sau khi tặng sách xong có 1 môn hết sách.
TH1: Môn Toán hết sách:
Số cách chọn cuốn sách Toán là cách.
Số cách chọn cuốn trong cuốn còn lại là cách.
Vậy có cách chọn sách.
Số cách tặng cuốn sách đó cho em học sinh là cách.
Vậy có cách.
TH2: Môn Lí hết sách:
Số cách chọn cuốn sách Lí là cách.
Số cách chọn cuốn trong cuốn còn lại là cách.
Vậy có cách chọn sách.
Số cách tặng cuốn sách đó cho em học sinh là cách.
Vậy có cách.
TH3: Môn Hóa hết sách: Tương tự trường hợp thì có cách.
Số cách chọn cuốn bất kì trong cuốn và tặng cho em là cách.
Vậy số cách chọn sao cho sau khi tặng xong, mỗi loại sách trên đều còn lại ít nhất một cuốn là cách.
Mẹo: Ở đây có nhiều độc giả không xét đến công đoạn sau khi chọn sách còn công đoạn tặng sách nữa. Do các bạn là khác nhau nên mỗi cách tặng sách các môn cho các bạn là khác nhau, nên ta phải xét thêm công đoạn đó.
Ví dụ. Trong một căn phòng có người trong đó có người họ Nguyễn, người họ Trần. Trong số những người họ Nguyễn có cặp là anh em ruột (anh trai và em gái), người còn lại (gồm nam và nữ) không có quan hệ họ hàng với nhau. Trong người họ Trần, có cặp là anh em ruột (anh trai và em gái), người còn lại (gồm nam và nữ) không có quan hệ họ hàng với nhau. Chọn ngẫu nhiên người.
a) Hỏi có bao nhiêu cách chọn hai người cùng họ và khác giới tính?
A. . B. . C. . D. .
b) Hỏi có bao nhiêu cách chọn hai người sao cho không có cặp anh em ruột nào?
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải
* Có nam họ Nguyễn và có nữ họ Nguyễn.
Vậy có cặp cùng họ Nguyễn mà khắc giới tính.
* Tương tự có cách chọ cặp cùng họ Trần mà khác giới tính.
Vậy có cách chọn hai người cùng họ và khác giới tính.
b) Đáp án A.
Ta có cặp anh em trong đó 8 cặp họ Nguyễn và 3 cặp họ Trần.
Chọn bất kì 2 người trong số 36 người thì có cách chọn.
Vậy có tất cả cách chọn các cặp sao cho không có cặp anh em nào.
--------------------------------
Hiểu đúng hoán vị vòng quanh sẽ giúp bạn tránh sai lầm phổ biến và tối ưu thời gian làm bài. Hãy luyện tập đa dạng bài tập để ghi nhớ công thức một cách chắc chắn.
