Luyện tập Tam giác cân CTST

Gọi số đo góc ở đáy tam giác là x

Khi đó số đo ở đỉnh của tam giác là 2x

Tam giác đã cho là tam giác cân nên hai góc ở đáy bằng nhau, theo định lí tổng ba góc của tam giác ta có :

x + x + 2x = 180⁰

4x = 180⁰

x = 45⁰

Vậy số đo ở đáy của tam giác cân đó là 45⁰.

Vì MN = MP = 4cm nên tam giác MNP cân tại M

Suy ra

Theo định lí tổng ba góc của tam giác ta có:

Hình vẽ minh họa

Vẽ tam giác đều . Ta có:

Mà (gt)

Nên .

Chứng minh , do đó

cân tại A, mà

đều nên , tia nằm giữa hai tia

Xét và có cạnh chung;

Vậy

Mà (góc ngoài của )

Nên .

Hình vẽ minh họa

Trong tam giác ABC có

(tổng ba góc của tam giác)

Mà (vì tam giác ABD cân tại A)

Ta lại có:

(hai góc kề bù)

Xét tam giác ADC có suy ra tam giác ADC cân tại D

Hình vẽ minh họa

Xét cân tại

cân tại B

Vậy

Gọi số đo góc ở đỉnh tam giác là x

Khi đó số đo ở đáy của tam giác là 2x

Tam giác đã cho là tam giác cân nên hai góc ở đáy bằng nhau, theo định lí tổng ba góc của tam giác ta có :

x + 2x + 2x = 180⁰

5x = 180⁰

x = 36⁰

Vậy số đo góc ở đỉnh tam giác là 36⁰.

Hình vẽ minh họa

Xét có:

(tổng ba góc trong một tam giác)

Mà ( cân tại )

Ta có: (gt)

cân tại .

Xét có:

(tổng ba góc trong một tam giác)

Mà ( cân tại )

Hình vẽ minh họa

Vì tam giác ABD vuông cân tại A nên AB = AD (1)

Vì tam giác ACE vuông cân tại A nên AC = AE (2)

Lại có AB < AC (giả thiết) (3)

Từ (1); (2); (3) suy ra AD < AE.

Chứng minh nhận xét: Nếu một tam giác vuông có một góc nhọn bằng  thì cạnh góc vuông đối diện với nó bằng nửa cạnh huyền.

Xét , ta có: ,

Trên cạnh lấy điểm sao cho

Ta có: cân tại .

Mà (tính chất tam giác vuông)

Suy ra:

Suy ra: đều

Suy ra: và

Ta có:

Suy ra: cân tại (vì có góc kề cạnh bằng nhau)

Hay

Suy ra: mà .

Vậy: Nếu một tam giác vuông có một góc nhọn bằng  thì cạnh góc vuông đối diện với nó bằng nửa cạnh huyền.

Áp dụng vào bài tập

Ta có: (Vì là tia phân giác của )

Xét có:

cân tại

Xét vuông tại có

Trong tam giác ABC vuông tại A có AB = AC nên tam giác ABC vuông cân tại A

Xét tam giác ADC có AC = DC nên tam giác ADC cân tại C

Ta lại có là góc ngoài của tam giác ADC

Do đó

Hình vẽ minh họa

cân tại , suy ra

Mà  đều suy ra

Có là tia phân giác của suy ra

Xét và có

(cạnh đều)

Cạnh chung

(vì tam giác cân tại )

Suy ra  (c.c.c)

, (hai góc tương ứng)

Ta có: mà

Ta có

mà suy ra  (1)

Xét và có

()

Cạnh chung

()

Suy ra (g.c.g) ; (hai cạnh tương ứng)

Xét và có

()

Suy ra (g.c.g)

(hai góc tương ứng) (2)

Xét có

(3)

Từ (1), (2), (3)

Hình vẽ minh họa

Trên tia lấy điểm sao cho (1) suy ra cân tại

Mà (đối đỉnh)

cân tại

và

(cùng bù với hai góc bằng nhau).

Mà nên

Xét và có

( cân tại )

(cmt)

(cmt)

Do đó (c-g-c)

(hai góc tương ứng)

Vì nên (2 góc so le trong) (1)

Vì nên cân tại suy ra (tính chất tam giác cân) (2)

Vì nên cân tại suy ra (tính chất tam giác cân)

Mà

( vì ) (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra

Vậy

Tam giác tù là tam giác có 1 góc bất kì lớn hơn 90⁰

Giả sử tam giác ABC cân tại A có góc A bằng 120⁰

Suy ra 120⁰ + B + C = 180⁰

Suy ra 120⁰ + B + B = 180⁰ (vì tam giác cân nên B = C)

Do đó 2B = 60⁰ hay B = C = 30⁰

Ta thấy tam giác ABC cân tại A và có số đo các cạnh các góc đều dương mà A = 120⁰ > 90⁰

Nên tam giác tù vẫn có thể là tam giác cân.

Hình vẽ minh họa

Kẻ tia sao cho tia cắt tại

đều

.

có:

cân tại

Có

Suy ra

cân tại

Tam giác đã cho là tam giác cân nên hai góc ở đáy bằng nhau.

Hai góc ở đáy tam giác cân là:

Hình vẽ minh họa

Ta có: có cân tại .

(Vì là tia phân giác của góc )

Xét và có:

(cmt)

(Vì là tia phân giác của góc )

là cạnh chung.

(c.g.c)

(2 cạnh tương ứng).

(2 cạnh tương ứng).

Mà

Vậy cả 3 kết luận đều đúng.

Hình vẽ minh họa

Tam giác cân tại nên

Mà

Nên