Luyện tập Tính chất ba đường trung trực của tam giác Chân trời sáng tạo

Hình vẽ minh họa

Vì các đường trung trực của BE và AC cắt nhau tại O nên

(tính chất đường trung trực của đoạn thẳng)

Xét tam giác AOB và tam giác COE có:

OA = OC

OB = OE

AB = CE

Vì thuộc đường trung trực của nên (tính chất đường trung trực của đoạn thẳng)
Khi đó cân tại (dấu hiêu nhận biết tam giác cân)

(tính chất tam giác cân)

Vì thuộc đường trung trực của nên tính chất đường trung trực của đoạn thẳng)
Khi đó cân tại (dấu hiêu nhận biết tam giác cân)

(tính chất tam giác cân)

Trong ta có

Mà

Giả sử tam giác ABC có AM là đường trung tuyến đồng thời là đường trung trực.

Ta sẽ chứng minh tam giác ABC là tam giác cân.

Thật vậy vì AM là đường trung tuyến của ABC nên BM = MC (tính chất)

Mặt khác AM là đường trung trực của ABC nên

Xét tam giác ABM và tam giác ACM có:

hay tam giác ABC cân tại A.

Hình vẽ minh họa

Theo đề bài ta có cân tại A nên

Trong ta có (định lí tổng ba góc trong tam giác)

Vi thuộc đường trung trực của   (tính chất đường trung trực của đoạn thẳng)

cân tại D (dấu hiệu nhận biết tam giác cân)

Hình vẽ minh họa

Xét tam giác ABC có (định lí tổng ba góc trong tam giác)

Vì O là giao điểm của các đường trung trực trong tam giác ABC nên OA = OB = OC(tính chất ba đường trung trực)

Do đó tam giác OAB, OBC, OAC là các tam giác cân tại O nên

Ta thấy

Hình vẽ minh họa

Trong tam giác đều đường cao cũng là đường trung trực, đường trung tuyến, đường phân giác mà O là giao điểm của ba đường trung trực nên O là trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Vì trung trực của hai cạnh AB, AC cắt nhau tại O.

Suy ra O thuộc đường trung trực của cạnh BC (tính chất ba đường trung trực của tam giác.

Mà AB = AC nên A thuộc đường trung trực cạnh BC.

Do đó AO thuộc đường trung trực của cạnh BC.

Vậy đáp án cần tìm là:

Hình vẽ minh họa

Vì D là giao điểm của hai đường trung trực của hai cạnh AB, AC nên D là giao của ba đường trung trực trong tam giác ABC. Suy ra D thuộc đường trung trực của đoạn thẳng BC (1)

Mà M là trung điểm của BC nên AM là trung tuyến của tam giác ABC cân tại A.

Do đó AM là đường trung trực của tam giác ABC (trong tam giác cân, trung tuyến tại đỉnh đồng thời cũng là đường trung trực ứng với đáy) (2)

Từ (1) và (2) suy ra ba điểm A; D; M thẳng hàng.

Hình vẽ minh họa

Ba đường trung trực của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này cách đều ba đỉnh của tam giác và là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đó.

Vì các đường trung trực của cắt nhau tại hay là giao điểm các đường trung trực của nên (tính chất ba đường trung trực)

Do đó là các tam giác cân tại nên

Vì thuộc đường trung trực của nên (tính chất đường trung trực của đoạn thẳng)

Khi đó cân tại (dấu hiêu nhận biết tam giác cân) (tính chất tam giác cân)

Vì thuộc đường trung trực của nên tính chất đường trung trực của đoạn thẳng)

Khi đó cân tại (dấu hiêu nhận biết tam giác cân) (tính chất tam giác cân)

Ta thấy

Chứng minh tương tự ta có

Mặt khác nên cân tại O hay

Mà tia OA nằm giữa tia OM và ON nên

Vậy OA là đường phân giác của

Hình vẽ minh họa

Vì tam giác ABC cân tại A, AM là đường trung tuyến ứng với đáy AB nên AM cũng là đường trung trực của BC.

Vì D là giao điểm của các đường trung trực AC và BC nên D thuộc đường trung trực của AB (tính chất ba đường trung trực của tam giác).

Theo tính chất đường trung trực ta có: DA = DB.

Vì thuộc đường trung trực của cannh nên (tính chất đường trung trực của đoạn thẳng)

cân tại

(tinh chất tam giác cân) (1)

Vì là đường phân giác của nên (tính chất tia phân giác)

Từ (1) và (2)

Mặt khác mà (gt) nên

Vì nên mà nên

Xét và ta có.

(hai cạnh tương ứng)

Hình vẽ minh họa

Trong ta có:

(định lí tổng ba góc tam giác)

Vì là giao điểm các đường trung trực của nên (tính chất ba đường trung trực)

Do đó là các tam giác cân tại nên

Ta thấy

Trong ta có (định lí tồng ba góc trong tam giác)

Ba đường trung trực của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này cách đều ba đỉnh của tam giác và là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đó.

Vậy cụm từ cần điền là “ba đỉnh”.

Hình vẽ minh họa

Vì ba đường trung trực của tam giác DEF cùng đi qua điểm I nên DI = IE = IF (tính chất ba đường trung trực của tam giác).

Hình vẽ minh họa

Vì O là giao điểm của ba đường trung trực trong tam giác ABC nên OA = OB = OC (tính chất ba đường trung trực của tam giác)

Trong tam giác OAB có OA + OB > AB (bất đẳng thức tam giác)

Tương tự trong tam giác OAC có: OA + OC > AC (bất đẳng thức tam giác)

Trong tam giác OBC có OB + OC > BC (bất đẳng thức tam giác)

Suy ra 2OA + 2OB + 2OC > AB + AC + BC

Suy ra 6OA > AB + AC + BC

Vậy cả 2 khẳng định đều đúng.

Hình vẽ minh họa

Ba đường trung trực của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này cách đều ba đỉnh của tam giác và là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đó.

Hình vẽ minh họa

Theo đề bài ta có: tam giác ABC cân tại A nên

Trong tam giác ABC có (định lí tổng ba góc trong tam giác)

Vì O là giao điểm của các đường trung trực trong ABC nên OA = OB = OC (tính chất ba đường trung trực của tam giác)

Do đó tam giác OAB, OBC, OAC là các tam giác cân tại O nên

Ta thấy