Luyện tập Tính chất ba đường cao của tam giác Chân trời sáng tạo

Xét tam giác ABC có BD và CE là hai đường cao cắt nhau tại I, suy ra tại M.

Tam giác ABC cân tại A có AM là đường cao nên AM là đường trung tuyến của tam giác đó

Suy ra BM = MC (tính chất đường trung tuyến)

Tam giác ABC cân tại A hay (tính chất tam giác cân)

Vì

Xét tam giác BEC và tam giác CDB có:

BC chung

(hai cạnh tương ứng)

Xét tam giác EBM và tam giác DCM có:

(hai cạnh tương ứng)

Suy ra tam giác EMD cân tại M (dấu hiệu nhận biết tam giác cân).

Hình vẽ minh họa

Xét tam giác ABC có:

(định lí tổng ba góc trong tam giác)

Mà AD là tia phân giác nên

là góc ngoài tại đỉnh A của tam giác ABC nên

Do đó

Tam giác EAI cân tại A

Mà AB là phân giác nên AB là đường trung trực của IE

Ta có: (hai góc đối đỉnh) nên

Do đó AC là phân giác của

Tam giác FAI cân tại I mà AC là phân giác nên AC là đường trung trực của IF.

Vì E nằm trên đường trung trực của IF nên EF = EI

Vì F nằm trên đường trung trực của IE nên EF = FI

Suy ra EF = EI = FI

Do đó tam giác IEF là tam giác đều.

Trực tâm của tam giác là giao của ba đường cao.

Tam giác AHC vuông tại H suy ra

Tam giác Abc vuông tại A suy ra

Mặt khác, là tia phân giác của (gt) và nên (tính chất tia phân giác)

+)  là tia phân giác của (tính chất phân giác)

Từ (3), (4) và (5) .

có : .

Vậy vuông tại .

Hình vẽ minh họa

Xét tam giác ABD vuông tại D có

Xét tam giác ACE vuông tại E có

(1)

Lại có: (2)

Từ (1) và (2) suy ra

Xét tam giác ABI và tam giác KCA có:

AB = AC

BI = AC

(hai cạnh tương ứng)

Suy ra tam giác AIK là tam giác cân tại A.(*)

(hai góc tương ứng) (3)

Tam giác AID vuông tại D nên (4)

Từ (3) và (4) suy ra

hay tam giác AIK vuông tại A.(**)

Từ (*) và (**) suy ra tam giác AIK vuông cân tại A.

Hình vẽ minh họa

Vì AM là đường trung tuyến của tam giác ABC nên M là trung điểm của BC

Vì tam giác ABC cân tại A mà AM là đường trung tuyến nên AM cũng là đường cao của tam giác ABC. Do tam giác AMB vuông tại M, áp dụng định lí Pythagore ta có:

Vậy .

Tam giác ABC có AM là đường phân giác đồng thời cũng là đường cao

Suy ra tam giác ABC là tam giác cân.

(Sử dụng tính chất: Trong một tam giác đường cao đồng thời là đường phân giác thì tam giác đó là tam giác cân).

Hình vẽ minh họa

Tam giác CDK vuông tại K nên

Tam giác CDH vuông tại h nên

Từ (1) và (2) suy ra:

mà

Hình vẽ minh họa

Qua H kẻ đường thẳng song song với AC cắt AB tại F, kẻ đường thẳng song song với AB cắt AC tại E.

Vì AE // HF nên (hai góc so le trong bằng nhau)

Vì AF // HE nên (hai góc so le trong bằng nhau)

Xét tam giác AEH và HFA có

AH chung

(hai cạnh tương ứng)

Vì

Ta có: CE; CH lần lượt là đường xiên và đường vuông góc kẻ từ C đến EH nên CE > CH (quan hệ đường xiên – đường vuông góc)

Xét tam giác AEH có (bất đẳng thức trong tam giác)

Ta có:

(vì )

Hình vẽ minh họa

Vì

Xét tam giác AMC có suy ra tam giác AMC vuông cân tại M.

(tính chất tam giác vuông cân)

Xét tam giác BMD có suy ra tam giác BMD vuông cân tại M.

(tính chất tam giác vuông cân)

Xét tam giác ABE có: (định lí tổng ba góc của tam giác).

Hình vẽ minh họa

Gọi D là giao của AH và BC

Tam giác ABC có các đường cao BE và CF cắt nhau tại H nên tại D (tính chất ba đường cao của tam giác)

Trên đoạn AH lấy điểm I’ sao cho suy ra tam giác AI’F cân tại I’

Suy ra I’A = I’F

vuông tại nên .

Mà cân tại .

Lại có . Hay là trung diểm của .

Mà cũng là trung diểm của nên trùng với '.

Do đó (vì ).

Chứng minh tương tự ta có:

vuông tại nên .

Từ (1), (2) và (3) suy ra .

Ta có:

Sử dụng kết quả câu 16 ta có: hay vuông tại .

I là trung diểm của AH nên .

Ta có .

Tương tự ta có: .

Áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác vuông ta có:

Hình vẽ minh họa

Nếu DA = DB thì tam giác DAB cân tại D, suy ra (tính chất tam giác cân)

Tam giác AHB vuông tại H

Tam giác ABK vuông tại H

Suy ra hay

Suy ra tam giác ABC cân tại C.

Vì tam giác ABC cân tại A có AM là đường trung tuyến nên AM cũng là đường cao, đường trung trực, đường phân giác trong của tam giác ABC.

Vậy cả 3 phát biểu đều đúng.

Tam giác ABC có hai đường cao AM và BN cắt nhau tại H nên CH vuông góc với AB.

Trên đoạn BF lấy điểm F sao cho BG = BC

Khi đó G nằm giữa D và F

Ta có: BG = BD + DG; DF = DG + GF

Mà BG = DF (cùng bằng BC) nên BD = GF

Gọi H là giao điểm của BE và GC

Tam giác BCG cân tại B

nên BH là phân giác đồng thời là đường cao của tam giác BCG

Tam giác BHG vuông tại H nên

Tam giác ABD vuông tại A nên

Mà nên

Suy ra tam giác CDG cân tại C suy ra CD = CG (tính chất)

(hai góc kề bù)

(hai góc kề bù)

Suy ra

Xét tam giác CDB và tam giác CGF có:

CD = CG

BD = FG

suy ra CB = CF (hai cạnh tương ứng)

Mà DF = BC (gt) suy ra CF = DF (vì cùng bằng BC)

Suy ra CDF cân tại F.

Hình vẽ minh họa

Gọi K là giao điểm của ED và BC

Tam giác ABC vuông cân tại A nên

Tam giác ADE có nên tam giác ADE vuông cân tại A

Suy ra hay

Tam giác có

Vậy

Xét tam giác BCE có các đường cao BA, EK cắt nhau tại H nên tại I (tính chất ba đường cao của tam giác).

Do đó .

Hình vẽ minh họa

Tam giác ABC đều nên AB = BC = AC = a

Có AM là đường trung tuyến nên AM cũng là đường cao của tam giác ABC hay tại M

Ta có (AM là trung tuyến tam giác ABC)

Xét tam giác AMV vuông tại M, theo định lí Pythagre ta có:

Vậy bình phương độ dài đường cao của tam giác đều cạnh a là .

Hình vẽ minh họa

Xét tam giác ABC có:

(định lí tổng ba góc trong tam giác)

Mà AD là tia phân giác nên

là góc ngoài tại đỉnh A của tam giác ABC nên

Do đó

Tam giác EAI cân tại A

Mà AB là phân giác nên AB là đường trung trực của IE

Ta có: (hai góc đối đỉnh) nên

Do đó AC là phân giác của

Tam giác FAI cân tại I mà AC là phân giác nên AC là đường trung trực của IF