Tính số phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Trong chương Ứng dụng đạo hàm Toán 11, dạng toán tính số phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số xuất hiện khá phổ biến và thường gây nhầm lẫn nếu học sinh không nắm chắc mối liên hệ giữa đạo hàm và tiếp tuyến. Việc xác định đúng điều kiện để tồn tại tiếp tuyến là yếu tố then chốt giúp giải bài toán chính xác.

Bài viết này sẽ hướng dẫn cách tính số phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số theo phương pháp rõ ràng, giúp người học hiểu bản chất và áp dụng hiệu quả khi làm bài.

A. Bài tập minh họa tính số phương trình tiếp tuyến

Hướng dẫn giải

Gọi điểm M(x₀; y₀) thuộc đồ thị.

Vì tiếp tuyến song song với trục hoành nên

\(y'\left( x_{0} \right) = 4x_{0}^{3} - 4x_{0} = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x_{0} = 0 \\ x_{0} = \pm 1 \end{matrix} \right.\).

Vậy đồ thị hàm số đã cho có 3 tiếp tuyến.

Hướng dẫn giải

Gọi phương trình tiếp tuyến có dạng y = f'(x₀)(x - x₀) + y₀ với \(\left\{ \begin{matrix} f'\left( x_{0} \right) = 3x_{0}^{2} - 6 \\ y_{0} = x_{0}^{3} - 6x_{0} + 2 \end{matrix} \right.\)

Vì tiếp tuyến đi qua điểm A(1; -3) nên ta có:

\(- 3 = \left( 3x_{0}^{2} - 6 \right)\left( 1 - x_{0} \right) + x_{0}^{3} - 6x_{0} + 2\)

\(\Leftrightarrow - 2x_{0}^{3} + 3x_{0}^{2} - 1 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x_{0} = - \frac{1}{2} \\ x_{0} = 1 \end{matrix} \right.\).

Vậy đồ thị hàm số đã cho có 2 tiếp tuyến kẻ được qua A.

Hướng dẫn giải

Gọi phương trình tiếp tuyến có dạng y = f'(x₀)(x - x₀) + y₀ với \(\left\{ \begin{matrix} f'\left( x_{0} \right) = 3x_{0}^{2} - 3 \\ y_{0} = x_{0}^{3} - 3x_{0} + 2 \end{matrix} \right.\)

Gọi điểm M(a; 4) thuộc đường thẳng d

Vì tiếp tuyến đi qua điểm M(a; 4)  nên ta có:

\(4 = \left( 3x_{0}^{2} - 3 \right)\left( a - x_{0} \right) + x_{0}^{3} - 3x_{0} + 2\)

\(\Leftrightarrow \left( 3x_{0}^{2} - 3 \right)\left( a - x_{0} \right) + \left( x_{0} + 2 \right)\left( x_{0} - 1 \right)^{2} = 0\)

\(\Leftrightarrow \left( x_{0} - 1 \right)\left\lbrack - 2x_{0}^{2} + x_{0}(3a - 2) + 3a - 2 \right\rbrack = 0\)

\(\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x_{0} = 1 \\ f\left( x_{0} \right) = - 2x_{0}^{2} + x_{0}(3a - 2) + 3a - 2 = 0(1) \end{matrix} \right.\)

Để kẻ được hai tiếp tuyến khi phương trình (1) có nghiệm kép hoặc có \(1\) nghiệm khác 1

Xét phương trình \(- 2x_{0}^{2} + x_{0}(3a - 2) + 3a - 2 = 0\ \ (1)\) với Δ = (3a - 2)(3a + 4)

Trường hợp 1. Phương trình (1) có nghiệm kép khác 1

=> Δ = (3a - 2)(3a + 4) = 0

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} a = \frac{2}{3} \Rightarrow {x_1} = {x_2} = \frac{{2 - 3a}}{{ - 2}} = 0 \hfill \\ a = - \frac{4}{3} \Rightarrow {x_1} = {x_2} = \frac{{2 - 3a}}{{ - 2}} = - 3 \hfill \\ \end{gathered} \right.\) thỏa mãn

Trường hợp 2: Phương trình (1) có một nghiệm là 1

f(a) = 6a - 6 = 0 => a = 1

Vậy đồ thị hàm số đã cho có 3 điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán

Hướng dẫn giải

Gọi phương trình tiếp tuyến có dạng y = f'(x₀)(x - x₀) + y₀ với \(\left\{ \begin{matrix} f'\left( x_{0} \right) = - 3x_{0}^{2} + 3 \\ y_{0} = - x_{0}^{3} + 3x_{0} \end{matrix} \right.\)

Gọi điểm M(a; -a) thuộc đường thẳng y = -x

Vì tiếp tuyến đi qua điểm M(a; -a) nên ta có:

\(- a = \left( - 3x_{0}^{2} + 3 \right)\left( a - x_{0} \right) -x_{0}^{3} + 3x_{0}\)

\(\Leftrightarrow 2x^{3} - 3ax^{2} + 4a = 0\)

Số tiếp tuyến tương ứng là số nghiệm của phương trình (1)

Xét hàm số y = 2x³ - 3ax² + 4a

Để phương trình (1) có hai nghiệm khi \(y_{C}.y_{CT} = 0\)

Ta có:\(y' = 6x^{2} - 6ax = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0;y = 4a \\ x = a;y = - a^{3} + 4a \end{matrix} \right.\)

Khi đó ta có \(\left\{ \begin{matrix} a \neq 0 \\ 4a\left( - a^{3} + 4a \right) = 0 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow a = \pm 2 \Rightarrow M( - 2;2),N(2; - 2)\)

C. Bài tập tự rèn luyện có hướng dẫn giải chi tiết

Bài tập 1. Trên đồ thị hàm số y = x⁴ - 2x² có bao nhiêu tiếp tuyến song song với trục hoành?

Bài tập 2. Trên đồ thị hàm số y = -x³ - x² có bao nhiêu tiếp tuyến song song với trục hoành?

Bài tập 3. Cho hàm số y = x³ - 6x. Hỏi có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị đi qua điểm A(1; -3)?

Bài tập 4. Cho hàm số y = 3x⁴ - 6x². Hỏi có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị đi qua điểm A(1; -3)?

Bài tập 5. Cho đồ thị hàm số y = x³ - 3x   (C). Trên đường thẳng d: y = -2 có bao nhiêu điểm mà từ đó kẻ được đúng hai tiếp tuyến đến đồ thị (C).

✨ Bài viết chỉ trích dẫn một phần nội dung, mời bạn tải tài liệu đầy đủ để nắm trọn kiến thức.

--------------------------------------------

FAQ – Tính Số Phương Trình Tiếp Tuyến Của Đồ Thị Hàm Số

1. Tính số phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số là dạng toán gì?

Đây là dạng toán yêu cầu xác định có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị hàm số thỏa mãn một điều kiện cho trước như đi qua một điểm, song song với một đường thẳng hoặc vuông góc với một đường thẳng.

Dạng bài này thuộc chuyên đề ứng dụng đạo hàm và thường xuất hiện trong chương trình Toán 11 nâng cao.

2. Muốn tìm số tiếp tuyến của đồ thị hàm số cần sử dụng kiến thức nào?

Học sinh thường cần vận dụng:

• Đạo hàm của hàm số.

• Phương trình tiếp tuyến.

• Điều kiện tiếp xúc giữa đường thẳng và đồ thị.

• Giải phương trình hoặc hệ phương trình liên quan.

Đây là nhóm kiến thức trọng tâm của chuyên đề ứng dụng đạo hàm Toán 11.

3. Làm thế nào để xác định số tiếp tuyến đi qua một điểm cho trước?

Thông thường, ta gọi tọa độ tiếp điểm là một ẩn số, sau đó lập phương trình tiếp tuyến tại điểm đó.

Khi thay điều kiện đi qua điểm đã cho, bài toán sẽ được đưa về phương trình theo ẩn. Số nghiệm của phương trình chính là cơ sở để xác định số tiếp tuyến cần tìm.

4. Dạng toán tìm số tiếp tuyến song song với một đường thẳng được giải như thế nào?

Trong trường hợp này, hệ số góc của tiếp tuyến phải bằng hệ số góc của đường thẳng đã cho.

Học sinh cần:

• Tính đạo hàm.

• Cho đạo hàm bằng hệ số góc đã biết.

• Giải phương trình tìm các tiếp điểm.

Từ đó xác định số phương trình tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu.

5. Tại sao đạo hàm đóng vai trò quan trọng trong bài toán tiếp tuyến?

Đạo hàm tại một điểm biểu diễn hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị tại điểm đó.

Nhờ tính chất này, học sinh có thể chuyển bài toán hình học về bài toán đại số để tìm số lượng tiếp tuyến một cách chính xác.

6. Những dạng bài tập tiếp tuyến nào thường gặp trong Toán 11?

Các dạng phổ biến gồm:

• Tìm phương trình tiếp tuyến tại một điểm.

• Tính số tiếp tuyến đi qua một điểm ngoài đồ thị.

• Tìm tiếp tuyến song song với đường thẳng cho trước.

• Tìm tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng cho trước.

• Tìm tiếp tuyến thỏa mãn điều kiện đặc biệt.

Đây là các dạng bài thường xuất hiện trong kiểm tra và đề thi học sinh giỏi.

-----------------

Khi nắm vững phương pháp tính số phương trình tiếp tuyến, học sinh sẽ giải quyết nhanh và chính xác các bài toán liên quan đến đạo hàm và đồ thị hàm số. Việc hiểu rõ điều kiện tồn tại tiếp tuyến không chỉ giúp tránh sai sót mà còn nâng cao khả năng vận dụng kiến thức Toán 11 vào các dạng bài nâng cao.