Xác định bậc của đỉnh của đồ thị
Cách xác định bậc của đỉnh trong đồ thị toán 11
Bậc của đỉnh là một khái niệm cơ bản nhưng vô cùng quan trọng trong Lý thuyết đồ thị Toán 11. Việc xác định chính xác bậc của đỉnh không chỉ giúp học sinh hiểu rõ cấu trúc của đồ thị mà còn là nền tảng để giải các bài toán về đường đi, chu trình, đồ thị Euler, đồ thị Hamilton và nhiều ứng dụng thực tiễn khác. Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu cách xác định bậc của đỉnh một cách nhanh chóng và chính xác thông qua lý thuyết và ví dụ minh họa.
Bậc của đỉnh là gì?
Một đỉnh của đồ thị gọi là đỉnh bậc n nếu nó là đầu mút của n cạnh.
Chú ý: Đỉnh bậc 0 gọi là đỉnh cô lập. Đỉnh bậc 1 gọi là đỉnh treo
Ví dụ. Xác định bậc của đỉnh của dồ thị trong hình vẽ dưới đây?
Hướng dẫn
A là đỉnh bậc 2
B là đỉnh bậc 3
C là đỉnh bậc 4
F là đỉnh bậc 1 (đỉnh treo)
E là đỉnh bậc 0 (đỉnh cô lập)
Định lí:
Trong mọi đồ thị G, tổng tất cả các bậc của đỉnh là một số chẵn và bằng hai lần tổng tất cả các cạnh của G.
Hệ quả:
Số đỉnh bậc lẻ của mọi đồ thị là một số chẵn.
Ví dụ: Trước khi vào một hội nghị, các đại biểu bắt tay nhau (hai người bắt tay nhau nhiều nhất 1 làn)/. Có một đại biểu không bắt tay ai hết và thấy rằng có 4 người bắt tay nhau 4 lần, 5 người bắt tay 5 lần và 6 người bắt tay 6 lần. Nếu hội nghị có đúng 16 đại biểu thì ông ta đã đểm nhầm. Vì sao có thể kết luận như vậy?
Hướng dẫn
Ta vẽ đồ thị với 16 đỉnh tương ứng với 16 đại biểu tham dự hội nghị. Nếu hai đại biểu nào bắt tay nhau thì ta nối hai đỉnh tương ứng bằng một cạnh.
Theo số liệu mà đại biểu đếm số bắt tay cung cấp, ta có một đồ thị với 16 đỉnh, trong đó có 1 đỉnh bậc 0, 4 đỉnh bậc 4, 5 đỉnh bậc 5, 6 đỉnh bậc 6.
Ở đây số đỉnh bậc 5 là 5, là một số lẻ. Điều này mâu thuẫn với hệ quả của định lí bắt tay. Vậy đại biểu đã đếm sai.
----------------
FAQ
Làm sao để tính nhanh bậc của một đỉnh trong đồ thị?
Chỉ cần xác định tất cả các cạnh liên thuộc với đỉnh đó và đếm số cạnh, lưu ý tính khuyên hai lần nếu có.
Bậc lớn nhất của một đỉnh trong đơn đồ thị là bao nhiêu?
Trong đơn đồ thị có n đỉnh, bậc lớn nhất của một đỉnh là n − 1.
Có thể tồn tại đỉnh bậc âm không?
Không. Bậc của đỉnh luôn là số nguyên không âm.
-------------
Nắm vững cách xác định bậc của đỉnh là bước quan trọng để học tốt chuyên đề Lý thuyết đồ thị Toán 11. Khi hiểu rõ ý nghĩa và phương pháp tính bậc của đỉnh, học sinh sẽ dễ dàng tiếp cận các dạng bài tập nâng cao và vận dụng hiệu quả vào các bài toán đồ thị trong chương trình học cũng như các kỳ thi quan trọng.
