Đề thi Học sinh giỏi lớp 9 cấp Quận Cầu Giấy năm học 2012 - 2013

MÔN THI: TOÁN

Bài 1: (4 điểm)

a) Cho hàm số: y = f(x) = (x³ + 9x - 11)²⁰¹³

Tính f(a), biết

b) Cho x, y, z là ba số dương thỏa mãn điều kiện xyz = 144

Tính giá trị biểu thức:

Bài 2: (4 điểm)

a) Tìm một số chính phương có bốn chữ số, biết rằng cả bốn chữ số của số đó đều nhỏ hơn 9 và nếu thêm vào mỗi chữ số 1 đơn vị thì ta được một số mới cũng là số chính phương.

b) Giải phương trình:

Bài 3: (3 điểm)

Cho ba số dương a, b, c. Chứng minh rằng:

Bài 4: (1 điểm)

Một khu vườn có dạng hình chữ nhật, chiều dài m 95, chiều rộng m 74. Trong vườn có 50 cây dừa, cây to nhất có đường kính gốc cm 40. Chứng minh rằng trong khu vườn đó có ít nhất 13 mảnh đất, diện tích mỗi mảnh 100m², không có một cây dừa nào.

Bài 5: (6 điểm)

Cho đoạn thẳng AB và điểm M nằm giữa A và B sao cho BM > AM. Vẽ đường tròn (O₁) đường kính AM và đường tròn (O₂) đường kính BM. Một tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn tiếp xúc với (O₁) tại C , tiếp xúc với (O₂) tại D. Gọi E là giao điểm của AC và BD

a) Chứng minh rằng đường thẳng EM là tiếp tuyến chung trong của hai đường tròn (O₁) và (O₂).

b) Chứng minh: EC.EA = ED.EB

c) Cho AB = 12cm và AM = 4cm. Vẽ đường tròn (O) đường kính AB. Đường thẳng CD cắt đường tròn (O) tại H và K sao cho H thuộc cung AK nhỏ. Tính độ dài đoạn thẳng HK.

Bài 6: (2 điểm)

Cho đường tròn (O) nằm trong góc xAy sao cho (O) không có điểm chung với các cạnh của góc xAy, M là điểm di động trên đường tròn (O). Tìm vị trí của điểm M sao cho tổng khoảng cách từ M đến hai đường thẳng chứa hai cạnh của góc xAy là nhỏ nhất.