Bài tập Toán nâng cao lớp 6: Chứng minh quan hệ chia hết
Toán nâng cao số học 6
VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí\
Bài tập Toán lớp 6: Chứng minh quan hệ chia hết
Phương pháp chứng minh một số chia hết cho một số Toán lớp 6
Để chứng minh A(n) chia hết cho một số m ta phân tích A(n) thành nhân tử có
một nhân tử làm hoặc bội của m, nếu m là hợp số thì ta lại phân tích nó thành
nhân tử có các đôi một nguyên tố cùng nhau, rồi chứng minh A(n) chia hết cho
các số đó.
Và lưu ý một số chú ý dưới đây:
+ Với k số nguyên liên tiếp bao giờ cũng tồn tại một bội của k
+ Khi chứng minh A(n) chia hết cho m ta xét mọi trường hợp về số dư khi chia
A(n) cho m
+ Với mọi số nguyên a, b và số tự nhiên n thì:
a
n
– b
n
chia hết cho a – b (a – b)
a
2n + 1
+ b
2n + 1
chia hết cho a + b
(a + b)
n
= B(a) + b
n
(a + 1)
n
là BS(a )+ 1
(a – 1)
2n
là B(a) + 1
(a – 1)
2n + 1
là B(a) – 1
Với mỗi ví dụ sẽ có hướng phân tích đề bài và lời giải.
Ví dụ1. Chứng minh rằng:
A = n
3
(n
2
-7)
2
– 36n chia hết cho 5040 với mọi số tự nhiên n.
Hướng phân tích:
+ Trước hết cho hoc sinh nhận xét về các hạng tử của biểu thức A
+ Từ đó phân tích A thành nhân tử
Giải: Ta có
A =n[n
2
(n
2
-7)
2
- 36] = n[(n
3
-7n
2
)-36]
VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí\
= n(n
3
-7n
2
-6)( n
3
-7n
2
+6)
Mà n
3
-7n
2
-6 = (n+1) (n+2) (n-3)
n
3
-7n
2
+6 = (n-1)(n-2)(n+3)
Do đó:
A= (n-3)(n-2)(n-1)(n+1)(n+2)(n+3)
Đây là tích của 7 số nguyên liên tiếp.Trong 7 số nguyên liên tiếp
+ Tồn tại một bội của 5 ⇒ A chia hết cho 5
+ Tồn tại một bội của 7
⇒
A chia hết cho 7
+ Tồn tại hai bội của 3
⇒
A chia hết cho 9
+ Tồn tại ba bội số của 2,trong đó có một bội số của 4 ⇒ A chia hết cho 16
A chia hết cho các số 5,7,9,16 đôi một nguyên tố cùng nhau nên A chia hết cho
5.7.9.16 =5040.
+ Qua ví dụ 1 rút ra cách làm như sau:
Gọi A (n) là một biểu thức phụ thuộc vào n (n
∈
N hoặc n
∈
Z).
Chú ý 1:
+Để chứng minh biểu thức A(n) chia hết cho một số, ta thường phân tích A(n)
thành thừa số, trong đó có một thừa số là m.Nếu m là hợp số, ta phân tích nó
thành môt tích các thừa số đôi một nguyên tố cùng nhau, rồi chứng minh
A(n)chia hết cho tất cả các số đó.
+Trong quá trình chứng minh bài toán trên ta đã sử dụng các kiến thức của lớp
6 :
-Phân tích một số ra thừa số nguyên tố .
-Tính chất chia hết của một tích (thừa số là số nguyên tố )
-Nguyên lý Dirich- le
Lưu ý: Trong k số nguyên liên tiếp, bao giờ cũng tồn tại một bội số của k.
VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí\
Ví dụ 2. Chứng minh rằng với moi số nguyên a thì
a) a
2
-a chia hết cho 2.
b) a
3
-a chia hết cho 3.
c) a
5
-a chia hết cho 5.
d) a
7
-a chia hết cho 7.
Giải:
a) a
2
– a =a(a-1), chia hết cho 2.
b) a
3
-a = a( a
2
– 1) = a(a-1)(a+1), tích này chia hết cho 3 vì tồn tại một bội của
3.
+ Ở phần a, b học sinh dễ dàng làm được nhờ các bài toán đã quen thuộc
+ Để chứng minh a(a -1 ) chia hết cho 2, ta đã xét số dư của a khi chia cho 2
(hoặc dụng nguyên lý Dirich- le )
c) Cách 1
A = a
5
-1= a(a
2
+1)(a
2
-1)
Xét các trường hợp a = 5k, a= 5k ± 1, a=5k ± 2
+Ta vận dụng vào tính chia hết của số nguyên về xét số dư
suy ra A chia hết cho 5.
Cách 2.
A = a
5
-1= a(a
2
+1)(a
2
-1)
= a(a
2
+1)(a
2
-4+5)
= a(a
2
+1)(a
2
-4)+ 5a( a
2
-1)
= (a -2) (a-1)a(a+1)(a+2) + 5a(a
2
-1)
Số hạng thứ nhất là tích của năm số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 5,số hạng
thứ hai cũng chia hết cho 5.
Do đó A = a
5
-1 chia hết cho 5.
Dạng bài tập chứng minh quan hệ chia hết lớp 6
Bài tập Toán nâng cao lớp 6: Chứng minh quan hệ chia hết bao gồm chi tiết các dạng toán có đáp án giúp các em học sinh ôn tập, củng cố kỹ năng giải Toán phân tích, chứng minh quan hệ chia hết của biểu thức, rèn kỹ năng giải Toán nâng cao lớp 6. Mời các em tham khảo chi tiết.
Dạng bài tập chứng minh quan hệ chia hết số học 6 có ví dụ và bài tập vận dụng kèm hướng dẫn giải chi tiết cho các em học sinh tham khảo vận dụng kỹ năng giải Toán chi hết, bổ sung và nâng cao kiến thức chuẩn bị cho các kỳ thi học kì 1 lớp 6, thi học sinh giỏi lớp 6.
