Cấp số nhân
Định nghĩa
Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn) hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai trở đi, mỗi số hạng đều bằng tích của số hạng đứng liền trước với một số không đổi 
\(q\). Số không đổi \(q\) đó được gọi là công bội của cấp số nhân.
Dãy số \(\left( {{U}_{n}} \right)\) được xác định bởi công thức truy hồi: \(\left( {{U}_{n}} \right)=\left\{ \begin{matrix}
{{u}_{1}}=a \\
{{u}_{n+1}}={{u}_{n}}.q \\
\end{matrix}\left( n\in \mathbb{N}* \right) \right.\) thì dãy số này được gọi là cấp số nhân, q là công bội.
Như vậy ta có thể hiểu cấp số nhân có dạng: \(a,aq,a{{q}^{2}},a{{q}^{3}},a{{q}^{4}},...\) với a là số hạng đầu tiên và q là công bội.
Ví dụ: Cấp số nhân có số hạng đầu bằng 2 và công sai bằng 2 là \(2,4,8,16,32,64,128,....\)
Đặc biệt:
- Khi \(q=1\) thì cấp số nhân là một dãy số không đổi (tất cả các số hạng đều bằng nhau).
- Khi \(q=0\) thì cấp số nhân có dạng \(u_1;0;0;0;...0;....\)
- Khi \(u_1=0\) thì với mọi \(q\) cấp số nhân có dạng \(0;0;0...0;0;...\)
2. Số hạng tổng quát của cấp số nhân
Định lí
Nếu cấp số nhân \((u_n)\) có số hạng đầu \({{u}_{1}}\) và công bội \(q\) thì số hạng tổng quát \(u_n\) của cấp số nhân được tính theo công thức:
\({{u}_{n}}=a.{{q}^{n-1}},n\ge 2\)
Ví dụ: Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân \((u_n)\) biết: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{u_4} - {u_2} = 72} \\
{{u_5} - {u_3} = 144}
\end{array}} \right.\)
Hướng dẫn giải
Theo bài ra ta có:
\(\begin{matrix}
\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{u_4} - {u_2} = 72} \\
{{u_5} - {u_3} = 144}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{u_1}.{q^3} - {u_1}q = 72} \\
{{u_1}.{q^4} - {u_1}.{q^2} = 144}
\end{array}} \right. \hfill \\
\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{u_1}.q\left( {{q^2} - 1} \right) = 72} \\
{{u_1}.{q^2}\left( {{q^2} - 1} \right) = 144}
\end{array}} \right. \hfill \\
\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{q = \dfrac{{144}}{{72}} = 2} \\
{{u_1} = 12}
\end{array}} \right. \hfill \\
\end{matrix}\)
Hệ quả
Cho cấp số nhân \((u_n)\) với các số hạng khác \(0\). Khi đó ta có:
a) \({u_m} = {u_k}.{q^{m - k}},k < m\)
b) \({q^{m - k}} = \frac{{{u_m}}}{{{u_k}}},k < m\)
3. Tính chất của cấp số nhân
Trong cấp số nhân \((u_n)\), bình phương mỗi số hạng (trừ số hạng đầu tiên) đều là tích của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là
\({u_k}^2 = {u_{k - 1}}.{u_{k + 1}},\left( {k \geqslant 2} \right)\)
Một cách tổng quát
Nếu \((u_n)\) là cấp số nhân thì \({u_m}^2 = {u_{m - k}}.{u_{m + k}},\left( {k < m} \right)\)
Ví dụ: Tồn tại hay không một cấp số nhân mà trong đó có ba số hạng bằng 2, 3, 5?
Hướng dẫn giải
Câu trả lời là không tồn tại.
Chứng minh phản chứng
Giả sử ngược lại tồn tại một cấp số nhân sao cho 2, 3, 5 lần lượt là số hạng thứ \(m+1,n+1,p+1\), (\(u_1\) là số hạng đầu, \(q\) là công bội). Khi đó:
\(\begin{matrix}
\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{2 = {u_1}{q^m}} \\
{3 = {u_1}{q^n}} \\
{5 = {u_1}{q^p}}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\dfrac{2}{3} = {q^{m - n}}} \\
{\dfrac{5}{3} = {q^{p - n}}}
\end{array}} \right. \hfill \\
\Rightarrow {\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^{p - n}} = {\left( {\dfrac{5}{3}} \right)^{m - n}} = 1 \hfill \\
\Rightarrow {2^{p - n}}{.3^{m - p}}{.5^{n - m}} = {2^n}{.3^p}{.5^m} \hfill \\
\end{matrix}\)
Vì \(m,n,p\) là các số nguyên dương nên điều này vô lý.
4. Tổng n số hạng đầu của một cấp số nhân
Cho một cấp số nhân \((u_n)\) với công bội \(q \ne 1\). Đặt \(S = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n}\). Khi đó:
\(S_n = {u_1}.\frac{{1 - {q^n}}}{{1 - q}} = \frac{{{u_1} - {u_{n + 1}}}}{{1 - q}}\)
Chứng minh công thức
Tổng số hạng đầu của cấp số nhân :
\(\sum\limits_{k=0}^{n}{a{{q}^{k}}=a{{q}^{0}}+a{{q}^{1}}+a{{q}^{2}}+a{{q}^{3}}+...+a{{q}^{n}}}\)
Nhân cả 2 vế với: \(\left( 1-q \right)\)
\(\Leftrightarrow \left( 1-q \right){{S}_{n+1}}=\left( 1-q \right)\sum\limits_{k=0}^{n}{a{{q}^{k}}=a-a{{q}^{n+1}}}\)
Vì tất cả các số hạng khác đã loại trừ lẫn nhau
\(\Rightarrow {{S}_{n+1}}=\sum\limits_{k=0}^{n}{a{{q}^{k}}=\frac{a\left( 1-{{q}^{n+1}} \right)}{1-q}}\)
Nhận xét:
- Chúng ta thường sử dụng công thức \(S_n = {u_1}.\frac{{1 - {q^n}}}{{1 - q}}\) để tính \(S_n\) khi biết số hạng đầu \(u_1\) và công bội \(q\) của cấp số nhân.
- Công thức \(S_n = \frac{{{u_1} - {u_{n + 1}}}}{{1 - q}}\) được sử dụng để tính \(S_n\) trong trường hợp biết các số hạng \({u_1};{u_{n + 1}}\) và công bội \(q\) của cấp số nhân.
Ví dụ: Tính tổng sau: \(A = 2 - 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{{512}}\)
Hướng dẫn giải
Ta có các số hạng trong tổng lập thành cấp số nhân với
\(\begin{matrix} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1} = 2,q = - \dfrac{1}{2}} \\ {{u_n} = \dfrac{1}{{512}} = 2.{{\left( { - \dfrac{1}{2}} \right)}^{n - 1}}} \end{array}} \right. \hfill \\ \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1} = 2,q = - \đfrac{1}{2}} \\ {\dfrac{1}{{1020}} = {{\left( { - \dfrac{1}{2}} \right)}^{n - 1}}} \end{array}} \right. \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1} = 2,q = - \dfrac{1}{2}} \\ {n = 11} \end{array}} \right. \hfill \\ \end{matrix}\)
Khi đó:
\(\begin{matrix}
A = {S_{11}} = {u_1}.\dfrac{{{q^{11}} - 1}}{{q - 1}} \hfill \\
\Rightarrow A = 2.\dfrac{{{{\left( { - \dfrac{1}{2}} \right)}^{11}} - 1}}{{ - \dfrac{1}{2} - 1}} = \dfrac{{638}}{{512}} \hfill \\
\end{matrix}\)
