Hai mặt phẳng vuông góc
1. Định nghĩa góc giữa hai mặt phẳng
Hình vẽ minh họa
Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó.
Chú ý: Hai mặt phẳng song song hoặc trùng nhau thì góc giữa chúng bằng 00.
2. Cách xác định góc của hai mặt phẳng cắt nhau
Hình vẽ minh họa
Các bước để xác định góc của hai mặt phẳng cắt nhau:
Bước 1: Tìm giao tuyến c của (α) và (β)
Bước 2: Tìm hai đường thẳng a, b lần lượt thuộc hai mặt phẳng và cùng vuông góc với c tại một điểm.
Bước 3: Góc giữa (α) và (β) là góc giữa a và b.
Ví dụ: Cho tứ diện S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA ⊥ (ABC) và 
\(SA = \frac{{3a}}{2}\). Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC).
Hướng dẫn giải
Hình vẽ minh họa
Gọi góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) là α
Gọi M là trung điểm của BC. Do ΔABC đều nên AM ⊥ BC (1)
Theo giả thiết SA ⊥ (ABC), suy ra theo (1) ta có SM ⊥ BC (2)
Lại có (SBC) ∩ (ABC) = BC (3)
Từ (1), (2) và (3) ta có: \(\alpha = \widehat {SMA}\)
Ta có: \(AM = \sqrt {A{C^2} - C{M^2}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)
Xét tam giác SAM vuông tại A ta có:
\(\begin{matrix}
\tan \alpha = \dfrac{{SA}}{{AM}} = \dfrac{3}{{\sqrt 3 }} = \sqrt 3 \hfill \\
\Rightarrow \alpha = {60^0} \hfill \\
\end{matrix}\)
3. Diện tích hình chiếu của một đa giác
Cho đa giác H nằm trong mặt phẳng (α) có diện tích là S và H’ là hình chiếu vuông góc của H trên mặt phẳng (β). Khi đó diện tích S’ của hình H được tính theo công thức như sau:
\(S' = S.\cos \phi\)
Với φ là góc giữa hai mặt phẳng (α) và (β).
Ví dụ: Cho ΔABC cân tại A, đường cao \(AH = a\sqrt 3\), BC = 3a có BC nằm trong (P). Gọi A’ là hình chiếu của A lên (P). Khi ΔA’BC vuông tại A’, tính ((P), (ABC)).
Hướng dẫn giải
Hình vẽ minh họa
Gọi M là trung điểm của cạnh BC
Do ΔABC cân tại A => AM ⊥ BC
Mặt khác AA’ ⊥ (P) => A’H ⊥ BC
=> \(\alpha {\text{ }} = \left( {\left( P \right);\left( {ABC} \right)} \right) = \left( {\left( {ABC} \right),\left( {A'BC} \right)} \right) = \widehat {AHA'}\)
Theo đề ta có: \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}AH.BC = \frac{{3{a^2}\sqrt 3 }}{2}\)
Lại có \(A'H = \frac{1}{2}BC = \frac{{3a}}{2}\)
=> \({S_{A'BC}} = \frac{1}{2}.\frac{{3a}}{2}.3a = \frac{{9{a^2}}}{4}\)
Khi đó ta có:
\(\begin{matrix}
{S_{A'BC}} = {S_{ABC}}.\cos \alpha \hfill \\
\Rightarrow \cos \alpha = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow \alpha = {30^0} \hfill \\
\end{matrix}\)
II. Hai mặt phẳng vuông góc
Định nghĩa
Hai mặt phẳng gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa hai mặt phẳng đó là góc vuông.
Định lí 1
Điều kiện cần và đủ để hai mặt phẳng vuông góc với nhau là mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia.
Hệ quả 1
Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì bất cứ đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến thì vuông góc với mặt phẳng kia.
Hệ quả 2
Cho hai mặt phẳng (α) và (β) vuông góc với nhau. Nếu từ một điểm thuộc mặt phẳng (α) ta dựng một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (β) thì đường thẳng này nằm trong mặt phẳng (α).
Định lí 2
Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với một mặt phẳng thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng đó.
Ví dụ: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, SA ⊥ (ABCD). Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của A lên SB và SD. Chứng minh rằng (SAC) ⊥ (AMN).
Hướng dẫn giải
Hình vẽ minh họa
Ta có: BD ⊥ AC, BD ⊥ SA (vì SA ⊥ (ABCD))
=> BD ⊥ (SAC)
Mà MN // BD (do \(\frac{{SM}}{{SB}} = \frac{{SN}}{{SD}}\)) => MN ⊥ (SAC)
Vì vậy (SAC) ⊥ (AMN).
III. Hình lăng trụ đứng, hình hộp chữ nhật, hình lập phương
Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ có các cạnh bên vuông góc với đáy. Độ dài cạnh bên được gọi là chiều cao của hình lăng trụ đứng. Nhận xét: Các mặt bên của hình lăng trụ đứng là hình chữ nhật và vuông góc với mặt đáy.
Hình lăng trụ đều là hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều.
Nhận xét: Các mặt bên của hình lăng trụ đều là những hình chữ nhật bằng nhau và vuông góc với mặt đáy.
Hình hộp đứng là hình lăng trụ đứng có đáy là hình bình hành.
Nhận xét: Trong hình hộp đứng 4 mặt bên đều là hình chữ nhật.
Hình hộp chữ nhật là hình hộp đứng có đáy là hình chữ nhật.
Nhận xét: Tất cả 6 mặt của hình hộp chữ nhật đều là hình chữ nhật.
Hình lập phương là hình hộp chữ nhật có tất cả các cạnh bằng nhau.
Nhận xét: Tất cả 6 mặt của hình lập phương đều là hình vuông.
IV. Hình chóp đều và hình chóp cụt đều
1. Định nghĩa hình chóp đều
Một hình chóp được gọi là hình chóp đều nếu nó có đáy là một đa giác đều có chân đường cao trùng với tâm của đa giác đáy.
Nhận xét: Hình chóp đều có:
a) Các mặt bên là những tam giác cân bằng nhau. Các mặt bên tạo với mặt đáy các góc bằng nhau.
b) Các cạnh bên tạo với mặt đáy các góc bằng nhau.
2. Định nghĩa hình chóp cụt đều
Phần của hình chóp đều nằm giữa đáy và một thiết diện song song với đáy cắt các cạnh bên của hình chóp đều được gọi là hình chóp cụt đều.
Nhận xét: Hình chóp cụt đều có:
a) Hai đáy là hai đa giác đều và đồng dạng với nhau.
b) Các đường thẳng chứa các cạnh bên đồng qui tại một điểm.
c) Các mặt bên là các hình thang cân bằng nhau.
