Vi phân
Vi phân là dạng công thức liên quan đến công thức đạo hàm, tích phân, là một nhánh con của vi tích phân liên quan đến nghiên cứu sự thay đổi của hàm số khi biến số thay đổi.
Định nghĩa: Cho hàm số 
\(y=f(x)\) xác định trên khoảng \((a;b)\) và \(\Delta x\) là số gia của x. Ta gọi tíc của \(f'\left( {{x_0}} \right)\Delta x\) là vi phân của hàm số \(f(x)\) tại điểm \({x_0}\) ứng với số gia \(\Delta x\), kí hiệu là \(y = df\left( x \right)\) hay \(dy\) tức là:
\(dy = df\left( x \right) = f'\left( {{x_0}} \right)\Delta x\)
- Vi phân là một giá trị vô cùng nhỏ. Thường được kí hiệu: dx, dy, dt, …
- dx là sự thay đổi giá trị rất ít của biến x.
- dy là sự thay đổi rất ít của biến y.
- Khi so sánh 2 đại lượng có giá trị vô cùng nhỏ có mối quan hệ với nhau, như y là một hàm nào đó của biến x, ta nói vi phân \(dy\), với \(y=f\left( x \right)\) được viết là: \(dy=f'\left( x \right)dx\).
Chú ý: Áp dụng định nghĩa trên vào hàm số \(y=x\) ta có: \(dx = dx = x'\Delta x = \Delta x\).
Ví dụ: Tính vi phân của hàm số \(y = {\left( {x - 1} \right)^2}\).
Hướng dẫn giải
Ta có:
\(\begin{matrix}
y' = 2\left( {x - 1} \right) \hfill \\
\Rightarrow dy = y'dx = 2\left( {x - 1} \right)dx \hfill \\
\end{matrix}\)
Ví dụ: Tính vi phân của hàm số \(f\left( x \right) = 3{x^2} - x\) tại \(x=2\) ứng với \(\Delta x=0,1\).
Hướng dẫn giải
Ta có:
\(\begin{matrix}
f'\left( x \right) = 6x - 1 \hfill \\
\Rightarrow f'\left( 2 \right) = 11 \hfill \\
\Rightarrow df\left( 2 \right) = f'\left( 2 \right)\Delta x = 11.0,1 = 1,1 \hfill \\
\end{matrix}\)
2. Ứng dụng vi phân vào phép tính gần đúng
Theo định nghĩa của đạo hàm ta có:
\(f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}\)
Do đó với \({\Delta x}\) đủ nhỏ thì\(f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}\) hay \(\Delta y \approx f'\left( {{x_0}} \right)\Delta x\)
Từ đó ta có:
\(f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) \approx f'\left( {{x_0}} \right)\Delta x + f\left( {{x_0}} \right)\)
3. Ứng dụng của Vi phân
1. Ứng dụng vi phân trong tiếp tuyến và pháp tuyến
2. Ứng dụng trong công thức Newton
3. Ứng dụng trong chuyển động cong
4. Ứng dụng trong tốc độ liên quan
