Giới hạn của hàm số

1. Định nghĩa giới hạn của hàm số tại một điểm

Chú ý: \(\left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} x = {x_0} \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} c = c,\left( {c = const} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.\)

Ví dụ: Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} - 4}}{{x + 2}}\). Chứng minh rằng \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} f\left( x \right) = - 4\).

Hướng dẫn giải

Tập xác định \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 2} \right\}\)

Giả sử (x_n) là một dãy số bất kì, thỏa mãn \({x_n} \ne 2\) và \({x_n} \to 2\) khi \(n \to + \infty\)

Ta có:

\(\begin{matrix} \lim f\left( x \right) = \lim \dfrac{{{x_n}^2 - 4}}{{{x_n} + 2}} \hfill \\ = \lim \dfrac{{\left( {{x_n} + 2} \right)\left( {{x_n} - 2} \right)}}{{{x_n} + 2}} \hfill \\ = \lim \left( {{x_0} - 2} \right) = - 4 \hfill \\ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} f\left( x \right) = - 4 \hfill \\ \end{matrix}\)

2. Định lí về giới hạn hữu hạn

Nói cách khác: Cho \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = P\), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left( x \right) = Q\). Ta có:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right] = P + Q\) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right] = P - Q\) Nếu \(f\left( x \right) \geqslant 0,\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = L\) thì\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} = \frac{P}{Q},Q \ne 0\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} = \frac{P}{Q},Q \ne 0\) Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = L\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left| {f\left( x \right)} \right| = \left| L \right|\)

3. Giới hạn một bên

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên \(\left( {{x_0},b} \right)\)

• Giới hạn phải: Số L gọi là giới hạn bên phải của hàm số \(y = f\left( x \right)\) khi x dần tới \({x_0}\) nếu với mọi dãy \(\left( {{x_n}} \right):{x_0} < {x_n} < b\) mà \({x_n} \to {x_0}\) thì ta có: \(f\left( {{x_n}} \right) \to L\). Kí hiệu: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } f\left( x \right) = L\)
• Giới hạn trái: Số L gọi là giới hạn bên trái của hàm số \(y = f\left( x \right)\) khi x dần tới nếu với mọi dãy \(\left( {{x_n}} \right):a < {x_0} < {x_n}\) mà \({x_n} \to {x_0}\) thì ta có: \(f\left( {{x_n}} \right) \to L\). Kí hiệu: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ - } f\left( x \right) = L\).

II. Giới hạn vô cực và giới hạn tại vô cực của hàm số

1. Định nghĩa giới hạn vô cực, giới hạn tại vô cực của hàm số

a. Giới hạn tại vô cực

Ví dụ: Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{3 + 2x}}{{ - 1 + x}}\). Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right);\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right)\)

Hướng dẫn giải

Hàm số đã cho xác định trên \(\left( { - \infty ;1} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\)

Giả sử (x_n) là một dãy số bất kì và thỏa mãn x_n < 1 và \({x_n} \to - \infty\)

Ta có:

\(\lim f\left( {{x_n}} \right) = \lim \frac{{3 + 2{x_n}}}{{ - 1 + {x_n}}} = \lim \dfrac{{2 + \dfrac{3}{{{x_n}}}}}{{ - \dfrac{1}{{{x_n}}} + 1}} = 2\)

Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = 2\)

Giả sử (x_n) là một dãy số bất kì và thỏa mãn x_n > 1 và \({x_n} \to + \infty\)

Ta có:

\(\lim f\left( {{x_n}} \right) = \lim \frac{{3 + 2{x_n}}}{{ - 1 + {x_n}}} = \lim \dfrac{{2 + \dfrac{3}{{{x_n}}}}}{{ - \dfrac{1}{{{x_n}}} + 1}} = 2\)

Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = 2\)

Chú ý: Với c, k là các hằng số và k nguyên dương ta luôn có:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } c = c;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } c = c;\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{c}{{{x^k}}} = 0;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{x}{{{x^k}}} = 0\)

b. Giới hạn vô cực

2. Giới hạn đặc biệt

\(\begin{matrix} \bullet \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {x^k} = + \infty ;\left( {k \in {\mathbb{Z}^ + }} \right) \hfill \\ \bullet \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {x^k} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} { + \infty {\text{ }}\forall {\text{k = 2n}}} \\ { - \infty {\text{ }}\forall {\text{k = 2n + 1}}} \end{array}} \right.\left( {n \in \mathbb{R}} \right) \hfill \\ \bullet \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } c = c \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left| {\dfrac{1}{x}} \right| = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left| {\dfrac{1}{x}} \right| = + \infty \hfill \\ \end{matrix}\)

\(\begin{matrix} \bullet \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \dfrac{c}{{{x^k}}} = 0 \hfill \\ \bullet \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \dfrac{1}{x} = - \infty \hfill \\ \mathop { \bullet \lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{1}{x} = + \infty \hfill \\ \end{matrix}\)

3. Quy tắc tính giới hạn vô cực và giới hạn tại vô cực

Quy tắc 1: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = P \ne 0\), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0 } g\left( x \right) = \pm \infty\) \(\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right).g\left( x \right) = \pm \infty\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right)\)	\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left( x \right)\)	\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right).g\left( x \right)\)
\(P>0\)	\(+ \infty\)	\(+ \infty\)
	\(- \infty\)	\(- \infty\)
\(P<0\)	\(+ \infty\)	\(- \infty\)
	\(- \infty\)	\(+ \infty\)

Quy tắc 2: 

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right)\)	\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left( x \right)\)	Dấu của g(x)	\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}\)
\(\alpha\)	\(\pm \infty\)	Tùy ý	0
\(P>0\)	0	+	\(+ \infty\)
		-	\(- \infty\)
\(P<0\)	0	+	\(- \infty\)
		-	\(+ \infty\)

Ví dụ: Tìm \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( {{x^3} - 2x} \right)\)

Hướng dẫn giải

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {{x^3} - 2x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {1 - \frac{2}{{{x^2}}}} \right) = - \infty\)

Vì \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {{x^3}} \right) = - \infty } \\ {\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {1 - \dfrac{2}{{{x^2}}}} \right) = 1 > 0} \end{array}} \right.\)

Ví dụ: Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {\frac{{2x - 3}}{{x - 1}}} \right)\)

Hướng dẫn giải

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {\frac{{2x - 3}}{{x - 1}}} \right) = + \infty\)

Vì \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {2x - 3} \right) = 2.1 - 3 = - 1 < 0} \\ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {x - 1} \right) = 0 \hfill \\ x - 1 < 0,\forall x < 1 \hfill \\ \end{gathered} \end{array}} \right.\)