Dãy số
Định nghĩa
Mỗi hàm số 
\(u\) xác định trên tập các số nguyên dương \(\mathbb{N^*}\) được gọi là một dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số). Kí hiệu:
\(\begin{matrix}
n:{\mathbb{N}^*} \to \mathbb{R} \hfill \\
{\text{ }}n{\text{ }} \mapsto u\left( n \right) \hfill \\
\end{matrix}\)
Ví dụ:
a) Dãy số 1; 2; 3; 4; 5; ... là dãy các số nguyên dương.
b) Dãy số 1; 3; 5; 7; 9; ... là dãy các số nguyên dương lẻ.
c) Dãy số 2; 3; 5; 7; 11; 13; .... là dãy các số nguyên tố.
2. Số hạng của dãy số
- Các số trong một dãy được gọi là số hạng.
- Số hạng đầu tiên kí hiệu là \(u_1\), số hạng thứ hai là \(u_2\), số hạng thứ 3 là \(u_3\) ... (các kí hiệu có thể thay đổi)
3. Số hạng tổng quát
- \(u_n\) là số hạng thứ n và là số hạng tổng quát của dãy số.
- Số hạng tổng quát cho ta một công thức để tính được bất kì số hạng nào trong dãy bằng cách thay \(n\) bằng thứ tự của số hạng cần tính.
Ví dụ:
a) Dãy số 1; 2; 3; 4; 5; ... có \(u_n=n\)
b) Dãy số 1; 3; 5; 7; 9; ... có \(u_n=2n+1,(n \in \mathbb{N^*})\)
c) Dãy số 1; -1; 1; -1; 1; -1; .... có \({u_n} = {\left( { - 1} \right)^{n + 1}}\)
Chú ý:
- Mỗi dãy số có thể có vô số số hạng hoặc hữu hạn số hạng.
- Cần lưu ý phân biệt hai khái niệm dãy số và số hạng tổng quát của dãy số, trong đó kí hiệu dãy số "có dấu ngoặc" và kí hiệu số hạng tổng quát "không có dấu ngoặc".
Ví dụ: \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số có số hạng tổng quát là \({u_n}\).
4. Cách xác định dãy số
Có ba cách để xác định một dãy số:
Cách 1: Liệt kê một vài số hạng đầu của dãy số: \({u_1};{u_2};{u_3};{u_4};....\)
Cách 2: Cho quy tắc tính \({u_n}\), dãy được kí hiệu là \((u_n)\)
Cách 3: Cho kiểu "truy hồi": Cho vài số hạng đầu và một hệ thức giữa \({u_n}\) và các số hạng đứng trước hoặc sau nó.
5. Tính tăng giảm của dãy số
Định nghĩa
- Dãy số \((u_n)\) được gọi là dãy số tăng nếu với \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\) ta có: \({u_n} < {u_{n + 1}}\)
- Dãy số \((u_n)\) được gọi là dãy số tăng nếu với \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\) ta có: \({u_n} > {u_{n + 1}}\)
- Dãy số \((u_n)\) được gọi là không giảm, nếu như \(\forall n=1,2,...\) ta có: \({{u}_{n+1}}\ge {{u}_{n}}\)
- Dãy số \((u_n)\) được gọi là không tăng, nếu như \(\forall n=1,2,...\) ta có: \({{u}_{n+1}}\le {{u}_{n}}\)
Ví dụ: Xét tính tăng giảm của dãy số \((u_n)\) với \({u_n} = \frac{{2n + 1}}{{n + 1}}\).
Hướng dẫn giải
Ta có:
\({u_n} = \frac{{2n + 1}}{{n + 1}} = 2 - \frac{1}{{n + 1}}\)
\(\begin{matrix}
{u_{n + 1}} - {u_n} \hfill \\
= \left( {2 - \dfrac{1}{{n + 1 + 1}}} \right) - \left( {2 - \dfrac{1}{{n + 1}}} \right) \hfill \\
= \dfrac{1}{{n + 1}} - \dfrac{1}{{n + 2}} > 0,\forall n \in {\mathbb{N}^*} \hfill \\
\end{matrix}\)
Vậy dãy số \((u_n)\) là dãy số tăng.
6. Dãy số bị chặn
- Dãy số \((u_n)\) được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số \(M\) sao cho:
\({u_n} \leqslant M,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\)
- Dãy số \((u_n)\) được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại một số \(m\) sao cho:
\({u_n} \ge m,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\)
- Dãy số \((u_n)\) được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại các số \(M, m\) sao cho:
\(m \leqslant {u_n} \leqslant M,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\)
Ví dụ: Chứng minh dãy số \((u_n)\) với \({u_n} = \frac{{3n}}{{{n^2} + 9}}\) bị chặn trên bởi \(\dfrac{1}{2}\).
Hướng dẫn giải
Với \(\forall n \geqslant 1\) ta có:
\(\frac{{3n}}{{{n^2} + 9}} \leqslant \frac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow {n^2} + 9 \leqslant 6n \Leftrightarrow {\left( {n + 3} \right)^2} \leqslant 0\) (đúng)
Vậy dãy số đã cho bị chặn trên bởi \(\dfrac{1}{2}\)
