Phép vị tự
Định nghĩa
Cho điểm 
\(O\) và số \(k\neq 0\). Phép biến hình biến mỗi điểm \(M\) thành điểm \(M'\)' sao cho: \(\overrightarrow {OM} = k\overrightarrow {OM'}\) được gọi là phép vị tự tâm \(O\) tỉ số \(k\).
Phép vị tự tâm \(O\) tỉ số \(k\) thường được kí hiệu là \(V_{(O,k)}\).
Hình vẽ minh họa
Nhận xét
- Phép vị tự biến tâm vị tự thành chính nó.
- Khi k = 1, phép vị tự là đồng nhất.
- Khi k = −1, phép vị tự là phép đối xứng tâm.
- \(M' = {V_{\left( {O;k} \right)}}\left( M \right) \Leftrightarrow M = {V_{\left( {O;\dfrac{1}{k}} \right)}}\left( {M'} \right)\)
2. Tính chất của phép vị tự
Tính chất 1
Nếu phép vị tự tỉ số \(k\) biến hai điểm \(M, N\) thành \(M', N'\) thì \(\vec{M'N'} =k\vec{MN}\) và \(M'N' = \left| k \right|MN\).
Tính chất 2
Phép vị tự tỉ số \(k\):
- Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự các điểm ấy.
- Biến một đường thẳng thành một đường thẳng song song hoặc trùng với đường thẳng ấy, biến một tia thành một tia, biến một đoạn thẳng thành một đoạn thẳng.
- Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.
- Biến một tam giác thành một tam giác đồng dạng với nó, một góc thành góc bằng nó.
Hình vẽ minh họa
Ví dụ: Trong mặt phẳng \(Oxy\) cho đường thẳng d có phương trình \(3x + 2y − 6 = 0\). Hãy viết phương trình của đường thẳng \(d'\) là ảnh của \(d\) qua phép vị tự tâm \(O\) tỉ số \(k = −2\).
Hướng dẫn giải
Do \(d'\) song song hoặc trùng với \(d\) nên \(d’: 3x + 2y + C = 0\)
Lấy \(M(0; 3) ∈ d\).
Gọi \(M’(x’; y’)\) là ảnh của \(M\) qua phép vị tự tâm \(O\) tỉ số \(k = −2\).
Ta thấy rằng \(\overrightarrow {OM} = \left( {0;3} \right);\overrightarrow {OM'} = \left( {x;y} \right) = - 2\overrightarrow {OM}\)
Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x{\text{ '}} = {\text{ }}0} \\
{y' = - 2.3 = - 6}
\end{array}} \right.\)
Do \(M’ ∈ d’\) nên \(2(−6) + C = 0\)
\(=> C = 12\)
Từ đó phương trình \(d’: 3x + 2y + 12 = 0\).
3. Cách tìm tâm vị tự của hai đường tròn
Cho hai đường tròn \((I, R)\) và \((I’, R’)\).
a) Trường hợp \(I\) trùng với \(I'\).
Hình vẽ minh họa
Phép vị tự tâm \(I\), tỉ số \(\frac{{R'}}{R}\) và phép vị tự tâm \(I\), tỉ số \(-\frac{{R'}}{R}\) biến đường tròn \((I, R)\) thành đường tròn \((I, R’)\).
b) Trường hợp \(I\) khác \(I'\) và \(R\) khác \(R’\).
Hình vẽ minh họa
Lấy \(M\) bất kì thuộc \((I, R)\), đường thẳng qua \(I'\) song song với \(IM\) cắt \((I’, R’)\) tại \(M’\) và \(M’’\).
Giả sử \(M, M’\) nằm cùng phía đối với đường thẳng \(II’\) còn \(M, M’’\) nằm khác phía với đường thẳng \(II’\).
Giả sử đường thằng \(M, M’\) cắt \(II’\) tại \(O\) nằm ngoài đoạn thẳng \(II’\), còn đường thằng \(M, M’’\) cắt \(II’\) tại \(O_1\) nằm ngoài đoạn thẳng \(II’\).
Khi đó phép vị tự tâm \(O\), tỉ số \(\frac{{R'}}{R}\) và phép vị tự tâm \(O_1\), tỉ số \(-\frac{{R'}}{R}\) biến đường tròn \((I, R)\) thành đường tròn \((I’, R’)\).
Ta gọi \(O\) là tâm vị tự ngoài, còn \(O_1\) là tâm vị tự trong của hai đường tròn nói trên.
c) Trường hợp \(I\) khác \(I'\) và \(R = R’\).
Hình vẽ minh họa
Khi đó \(MM’ // II’\) nên chỉ có phép vị tự tâm \(O_1\), tỉ số \(k=-\frac{{R'}}{R}=-1\) biến đường tròn \((I, R)\) thành đường tròn \((I’, R’)\). Nó chính là phép đối xứng tâm \(O_1\).
Ví dụ: Cho hai đường tròn \((O, 3R)\) và \((O’, R)\) nằm ngoài nhau. Tìm phép vị tự biến \((O, 3R)\) thành \((O’, R)\).
Hướng dẫn giải
Hình ảnh minh họa
Lấy \(L\) bất kì thuộc \((O, 3R)\), đường thẳng qua \(O'\) song song với \(OL\) cắt \((O’, R)\) tại \(M\) và \(N\).
Hai đường thằng \(LM\) và \(LN\) cắt \(OO’\) lần lượt tại \(I, J\).
Khi đó phép vị tự \({V_{\left( {I;\frac{1}{3}} \right)}}\) và \({V_{\left( {J; - \frac{1}{3}} \right)}}\) biến \((O, 3R)\) và \((O’, R)\).
