Hàm số liên tục
Định nghĩa
Cho hàm số 
\(y = f(x)\) xác định trên khoảng \(D\) và \({{x}_{0}}\in D\)
- Hàm số \(y = f(x)\) liên tục tại \({{x}_{0}}\) nếu
\(\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=f({{x}_{0}})\).
- Hàm số y = f(x) không liên tục tại \({{x}_{0}}\) ta nói hàm số gián đoạn tại \({{x}_{0}}\).
Ví dụ: Xét tính liên tục của hàm số \(y=\left\{ \begin{matrix}
\dfrac{x+\sqrt{x+2}}{x+1} \\
2x+3 \\
\end{matrix}\text{ }\begin{matrix}
x\ge -1 \\
x<-1 \\
\end{matrix} \right.\) tại x = -1
Hướng dẫn giải
Ta có: \(f(-1)=1\)
\(\begin{align}
& \underset{x\to -{{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{x+\sqrt{x+2}}{x+1}=\underset{x\to -{{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}-x+2}{(x+1)(x-\sqrt{x+2})}=\underset{x\to -{{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{x-2}{x-\sqrt{x+2}}=\frac{3}{2} \\
& \underset{x\to -{{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to -{{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,(2x+3)=1 \\
& \underset{x\to -{{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)\ne \underset{x\to -{{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x) \\
\end{align}\)
Vậy hàm số gián đoạn tại x = -1.
II. Hàm số liên tục trên một khoảng
Định nghĩa
- Hàm số \(y = f(x)\) liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng đó.
- Hàm số \(y = f(x)\) liên tục trên đoạn \(\text{ }\!\![\!\!\text{ }a,b\text{ }\!\!]\!\!\text{ }\) nếu nó liên tục trên \((a,b)\) và
\(\underset{x\to {{a}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=f(a),\underset{x\to {{b}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=f(b)\)
Ví dụ: Xét tính liên tục của hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\dfrac{{{x^2} - x - 2}}{{x + 1}}{\text{ khi }}x \ne - 1} \\
{{\text{ - 3 khi }}x = - 1}
\end{array}} \right.\) trên tập xác định.
Hướng dẫn giải
Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\)
Khi \(x \ne - 1\) thì \(y={\frac{{{x^2} - x - 2}}{{x + 1}}}\) là hàm phân thức hữu tỉ liên tục trên \(\left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( { - 1; + \infty } \right)\)
Tại điểm \(x=-1\) ta có: \(f(-1)=-3\)
\(\begin{matrix}
\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \dfrac{{{x^2} - x - 2}}{{x + 1}} \hfill \\
= \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \left( {x - 2} \right) = - 3 = f\left( { - 1} \right) \hfill \\
\end{matrix}\)
Do đó hàm số liên tục tại \(x=-1\)
Vậy hàm số liên tục trên \(\mathbb{R}\).
II. Các định lí cơ bản
Định lí 1
a) Hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tập số thực \(\mathbb{R}\).
b) Hàm số phân thức hữu tỉ (thương của hai đa thức) và hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của chúng.
Định lí 2: Cho hàm số f liên tục trên đoạn \(\text{ }\!\![\!\!\text{ }a,b\text{ }\!\!]\!\!\text{ }\)
Nếu \(f(a)\ne f(b)\) và P là một điểm nằm giữa \(f(a),f(b)\) thì tồn tại ít nhất một số \(c\in (a,b)\) sao cho \(f(c)=P\)
Định lí 3: Cho các hàm số \(y=f(x),y=g(x)\) liên tục tại \({{x}_{0}}\). Khi đó:
a) Các hàm số \(y = f\left( x \right) + g\left( x \right)\), \(y = f\left( x \right) - g\left( x \right)\), \(y = f\left( x \right) . g\left( x \right)\) liên tục tại \({{x}_{0}}\).
b) Hàm số \(y=\frac{f(x)}{g(x)}\) liên tục tại \({{x}_{0}}\) nếu \(g(x)\ne 0\).
Hệ quả
Cho hàm số liên tục trên đoạn \(\text{ }\!\![\!\!\text{ }a,b\text{ }\!\!]\!\!\text{ }\). Nếu \(f(a).f(b)<0\) thì tồn tại ít nhất một số \(c\in (a,b)\) sao cho \(f(c)=0\).
Nói cách khác:
Nếu \(f(a).f(b)<0\) thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc \((a,b)\).
Ví dụ: Chứng minh rằng phương trình \(2{x^4} - 2{x^3} - 3 = 0\) có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng \((-1;0)\)
Hướng dẫn giải
Đặt \(f\left( x \right) = 2{x^4} - 2{x^3} - 3\)
Vì \(f(x)\) là hàm đa thức xác định trên \(\mathbb{R}\) nên \(f(x)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\)
=> \(f(x)\) liên tục trên \([-1;0]\)
Ta có:
\(\begin{matrix}
f\left( 0 \right) = - 3;f\left( { - 1} \right) = 1 \hfill \\
\Rightarrow f\left( { - 1} \right).f\left( 0 \right) < 0 \hfill \\
\end{matrix}\)
=> \(f(x) =0\) có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng \((-1;0)\) (điều phải chứng minh).
