Quy tắc tính đạo hàm
Việc tính đạo hàm của hàm số bằng định nghĩa nói chung khá phức tạp. Đối với một số hàm thường gặp, ta có những công thức cho phép tính một cách nhanh chóng đạo hàm của chúng tại một điểm.
Định lí:
Hàm số 
\(y = {x^n};\left( {n \in \mathbb{N},n > 1} \right)\) có đạo hàm tại mọi \(x \in \mathbb{R}\) và
\(\left( {{x^n}} \right)' = n.{x^{n - 1}}\)
Chứng minh định lí:
Giả sử \(\Delta x\) là số gia của \(x\) ta có:
\(\begin{matrix} \Delta y = {\left( {x + \Delta x} \right)^n} - {x^n} \hfill \\ = \left( {x + \Delta x - x} \right)[{\left( {x + \Delta x} \right)^{n - 1}} + {\left( {x + \Delta x} \right)^{n - 2}}x \hfill \\ + ... + \left( {x + \Delta x} \right).{x^{n - 2}} + {x^{n - 1}}] \hfill \\ = \Delta x[{\left( {x + \Delta x} \right)^{n - 1}} + {\left( {x + \Delta x} \right)^{n - 2}}x \hfill \\ + .... + \left( {x + \Delta x} \right).{x^{n - 1}} + {x^{n - 1}}] \hfill \\ \end{matrix}\)
\(\begin{matrix} \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = {\left( {x + \Delta x} \right)^{n - 1}} + {\left( {x + \Delta x} \right)^{n - 2}}x \hfill \\ + ... + \left( {x + \Delta x} \right).{x^{n - 2}} + {x^{n - 1}} \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to 0 } \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \underbrace {{x^{n - 1}} + {x^{n - 1}} + ... + {x^{n - 1}}}_{n{\text{ so hang}}} = n.{x^{n - 1}} \hfill \\ \end{matrix}\)
Vậy \(y' = n.{x^{n - 1}}\)
Chú ý:
- Đạo hàm của hàm hằng bằng 0: \(\left( c \right)' = 0\)
- Đạo hàm của hàm số \(y = x\) bằng 1: \(\left( x \right)' = 1\)
Ví dụ: Tính đạo hàm của \(y = {x^5}\)
Hướng dẫn giải
Ta có:
\(\begin{matrix}
y = {x^5} \hfill \\
\Rightarrow y' = 5.{x^{5 - 1}} = 5{x^4} \hfill \\
\end{matrix}\)
Định lí 2:
Hàm số \(y = \sqrt x\) có đạo hàm tại mọi x dương và
\(\left( {\sqrt x } \right)' = \frac{1}{{2\sqrt x }}\)
Chứng minh định lí:
Giả sử \(\Delta x\) là số gia của \(x\) dương sao cho \(x+ \Delta x > 0\). Ta có:
\(\begin{matrix}
\Delta y = \sqrt {x + \Delta x} - \sqrt x \hfill \\
\dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \dfrac{{\sqrt {x + \Delta x} - \sqrt x }}{{\Delta x}} \hfill \\
= \dfrac{{\left( {\sqrt {x + \Delta x} - \sqrt x } \right)\left( {\sqrt {x + \Delta x} + \sqrt x } \right)}}{{\Delta x\left( {\sqrt {x + \Delta x} + \sqrt x } \right)}} \hfill \\
= \dfrac{{x + \Delta x - x}}{{\Delta x\left( {\sqrt {x + \Delta x} + \sqrt x } \right)}} \hfill \\
= \dfrac{1}{{\sqrt {x + \Delta x} + \sqrt x }} \hfill \\
\end{matrix}\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \frac{1}{{\sqrt {x + \Delta x} + \sqrt x }} = \frac{1}{{2\sqrt x }}\)
Vậy đạo hàm của hàm số \(y = \sqrt x\) là \(y'=\frac{1}{{2\sqrt x }}\)
II. Đạo hàm tổng, hiệu, tích và thương của một số
Định lí:
Giả sử \(u = u\left( x \right);v = v\left( x \right)\) là các hàm số có đạo hàm tại điểm \(x\) thuộc khoảng xác định. Ta có:
\(\begin{matrix} \left( {u + v} \right)\prime = u\prime + v\prime \hfill \\ \left( {u - v} \right)\prime = u\prime - v\prime \hfill \\ \left( {uv} \right)\prime = u\prime v + uv\prime \hfill \\ \left( {\dfrac{u}{v}} \right)\prime = \dfrac{{u\prime v - v\prime u}}{{{v^2}}},v = v\left( x \right) \ne 0 \hfill \\ \end{matrix}\)
Bằng phương pháp quy nạp toán học ta có một số công thức đạo hàm mở rộng như sau:
- \(\left( {{u}_{1}}\pm {{u}_{2}}\pm ...\pm {{u}_{n}} \right)'={{u}_{1}}'\pm {{u}_{2}}'\pm ...\pm {{u}_{n}}'\)
- \(\left( u.v.w \right)'=\acute{u}.v.w+u.v'.w+u.v.w'\)
- \(\left[ k.u\left( x \right) \right]'=k.u\left( x \right)'\left( k=const \right)\)
- \({{\left[ \frac{u\left( x \right)}{v\left( x \right)} \right]}^{'}}=\frac{u'\left( x \right).v\left( x \right)-v'\left( x \right).u\left( x \right)}{v{{\left( x \right)}^{2}}}\)
- \(\left[ u'\left( x \right) \right]'=n{{u}^{n-1}}\left( x \right)u'\left( x \right)\)
- \(\left[ \frac{a}{u\left( x \right)} \right]'=-\frac{a.u'\left( x \right)}{{{u}^{2}}\left( x \right)}\)
Ví dụ: Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{1}{3}{x^3} - 2\sqrt 2 {x^2} + 8x - 1\) có đạo hàm là \(f'(x)\). Tìm tập hợp những giá trị của x để \(f'(x)=0\).
Hướng dẫn giải
Ta có:
\(\begin{matrix}
y' = \dfrac{1}{3}.3.{x^{3 - 1}} - 2\sqrt 2 .2.{x^{2 - 1}} + 8.{x^{1 - 1}} - \left( 1 \right)\prime \hfill \\
\Rightarrow y' = {x^2} - 4\sqrt 2 x + 8 \hfill \\
\end{matrix}\)
Xét phương trình \(f'(x)=0\) ta có:
\(\begin{matrix}
f'(x) = 0 \hfill \\
\Leftrightarrow {x^2} - 4\sqrt 2 x + 8 = 0 \hfill \\
\Leftrightarrow \Leftrightarrow x = 2\sqrt 2 \hfill \\
\end{matrix}\)
Ví dụ: Tính đạo hàm của hàm số \(y = x\sqrt x + \frac{1}{x}\)
Hướng dẫn giải
Ta có:
\(\begin{matrix}
y = x\sqrt x + \dfrac{1}{x} \hfill \\
\Rightarrow y\prime = \left( {x\sqrt x } \right)\prime + \left( {\dfrac{1}{x}} \right)\prime \hfill \\
= \left( x \right)'.\sqrt x + x.\left( {\sqrt x } \right)' + \dfrac{{1'.x - x'.1}}{{{x^2}}} \hfill \\
= \sqrt x + x.\dfrac{1}{{2\sqrt x }} - \dfrac{1}{{{x^2}}} \hfill \\
\end{matrix}\)
Hệ quả:
Nếu \(k\) là một hằng số thì \(\left( {ku} \right)' = ku'\)
\(\left( {\frac{1}{v}} \right)' = - \frac{{v'}}{{{v^2}}};\left( {v = v\left( x \right) \ne 0} \right)\)
III. Đạo hàm của hàm số hợp
Nếu hàm số \(u = g\left( x \right)\) có đạo hàm tại \(x\) là \(u{'_x}\) và hàm số \(y = f\left( u \right)\) có đạo hàm tại \(u\) là \(y{'_u}\) thì hàm hợp \(y = f\left( {g\left( x \right)} \right)\) tại \(x\) là:
\(y{{'}_{x}}=y{{'}_{u}}.u{{'}_{x}}\)
Bảng công thức đạo hàm các hàm số sơ cấp cơ bản
| Đạo hàm | Hàm hợp |
|
|
