Cấp số cộng
Định nghĩa
Dãy số 
\(\left( {{U}_{n}} \right)\) được xác định bởi: \(\left( {{U}_{n}} \right)=\left\{ \begin{matrix}{{u}_{1}}=a \\{{u}_{n+1}}={{u}_{n}}+d \\\end{matrix}\left( n\in \mathbb{N*} \right) \right.\) thì dãy số này được gọi là cấp số cộng với số hạng đầu là \(u_1\), \(d\) là công sai.
Ví dụ: Dãy số -2; 1; 4; 7; 10; 13; ... là một cấp số cộng.
2. Số hạng tổng quát
Nếu cấp số cộng \((u_n)\) có số hạng đầu \(u_1\) và công sai \(d\) thì số hạng tổng quát \(u_n\) được xác định bởi công thức \(m+n=k+t\) thì
\({{u}_{n+1}}={{u}_{1}}+\left( n-1 \right)d ,(n \ge 1)\)
\(\Rightarrow d=\frac{{{u}_{n+1}}-{{u}_{1}}}{n-1}\)
Ví dụ: Cho cấp số cộng \((u_n)\) biết \({u_1} = - 3;d = 7\). Tìm \({u_{15}};{u_{20}};{u_{25}}\)
Hướng dẫn giải
Theo công thức ta có:
\(\begin{matrix}
{u_{15}} = {u_1} + \left( {15 - 1} \right)d = - 3 + 14.7 = 95 \hfill \\
{u_{20}} = {u_1} + \left( {20 - 1} \right)d = - 3 + 19.7 = 130 \hfill \\
{u_{25}} = {u_1} + \left( {55 - 1} \right)d = - 3 + 24.7 = 165 \hfill \\
\end{matrix}\)
3. Tính chất của cấp số cộng
Định lí
Cho cấp số cộng \((u_n)\). Khi đó:
\({u_k} = \frac{{{u_{k - 1}} + {u_{k + 1}}}}{2},\left( {\forall k \geqslant 2} \right)\)
Hệ quả
Nếu \((u_n)\) là cấp số cộng và \(m,n,k,t\) thỏa mãn \(m+n=k+t\) thì
\({u_m} + {u_n} = {u_k} + {u_t}\)
Chú ý:
- Để chứng minh dãy số \((u_n)\) là một cấp số cộng thì ta chứng minh \({u_{n + 1}} = {u_n} + d,\left( {n \in {\mathbb{N}^*}} \right)\) hay \({u_{n + 1}} - {u_n} = d\), với \(d\) là số không đổi.
- Để chứng minh ba số \(a,b,c\) theo thứ tự lập thành một cấp số cộng ta chứng minh \(b-a=c-b\)
Ví dụ: Tìm \(m\) biết ba số \(10-3m,3m^2+5,5-4m\) theo thứ tự lập thành một cấp số cộng.
Hướng dẫn giải
Đặt \(\left\{ \begin{gathered}
a = 10 - 3m \hfill \\
b = 3{m^2} + 5 \hfill \\
c = 5 - 4m \hfill \\
\end{gathered} \right.\). Vì \(a,b,c\) theo thứ tự lập thành một cấp số cộng nên \(a+c=2b\)
Do đó ta có:
\(\begin{matrix}
a + c = 2b \hfill \\
\Leftrightarrow 10 - 3m + 5 - 4m = 2\left( {3{m^2} + 5} \right) \hfill \\
\Leftrightarrow 6{m^2} + 7m - 5 = 0 \hfill \\
\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{m = \dfrac{1}{2}} \\
{m = - \dfrac{5}{3}}
\end{array}} \right. \hfill \\
\end{matrix}\)
4. Tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng
Tổng của n số hạng đầu của cấp số cộng được gọi là tổng riêng thứ n xác định bởi công thức:
\(\begin{matrix}
S = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n} \hfill \\
S = \dfrac{{n\left( {{u_1} + {u_n}} \right)}}{2} = \dfrac{{n\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right]}}{2} \hfill \\
\end{matrix}\)
Chứng minh công thức:
Ta có:
\(S_n=u_1+u_1+d+u_1+2d+...+u_1+\left(n-1\right)d\ \ \ \ \ \ \ \ \ (1)\)
Mặt khác:
\(S_n=u_n-\left(n-1\right)d+u_n-\left(n-2\right)d+...+u_n-d+u_{n\ \ \ \ \ \ \ }(2)\)
Lấy (1) cộng (2) ta được
\(\Rightarrow2S_n=n\left(u_1+u_n\right)\Rightarrow S_n=\frac{n\left(u_1+u_n\right)}{2}\)
\(\Rightarrow S_n=\frac{n\left(u_1+u_1+\left(n-1\right)d\right)}{2}=\frac{n\left(2u_1+\left(n-1\right)d\right)}{2}\)
Ví dụ: Tính tổng \(S = 100 + 105 + 110 + ... + 995\)
Hướng dẫn giải
Các số hạng của tổng \(S\) lập thành cấp số cộng \((u_n)\) với \({u_1} = 100,d = 5\)
Giả sử 995 là số hạng thứ \(n,(n \in \mathbb{N^*})\) ta có:
\(\begin{matrix}
995 = 100 + \left( {n - 1} \right).5 \hfill \\
\Leftrightarrow 5n = 90 \hfill \\
\Leftrightarrow n = 180 \hfill \\
\Rightarrow S = {S_{100}} = \dfrac{{180\left( {100 + 995} \right)}}{2} = 98550 \hfill \\
\end{matrix}\)
