Khái niệm về phép dời hình và hai hình bằng nhau
Định nghĩa
Phép dời hình là phép biến hình bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì. Kí hiệu 
\(F\)
- Phép biến hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp hai phép dời hình cũng là một phép dời hình.
- Nếu \(F(A)=A',F(B)=B'\Rightarrow AB=A'B'\)
- Các phép đồng nhất, tịnh tiến, đối xứng trục, đối xứng tâm, phép quay đều là phép dời hình.
2. Tính chất của phép dời hình
Phép dời hình:
- Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự các điểm.
- Biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến góc thành góc bằng nó.
- Biến đường thẳng thành đường thẳng, đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tia thành tia bằng nó.
- Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.
Ví dụ: Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng \(d\): \(3x − y − 3 = 0\). Viết phương trình của đường thẳng \(d'\) là ảnh của \(d\) qua phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép đối xứng tâm \(I(1; 2)\) và phép tịnh tiến theo \(\overrightarrow v \left( { - 2;1} \right)\).
Hướng dẫn giải
Gọi phép dời hình cần tìm là \(F\).
Gọi \(d_1\) là ảnh của \(d\) qua phép đối xứng tâm \(I\), \(d'\) là ảnh của \(d_1\) qua phép tịnh tiến theo \(\overrightarrow v \left( { - 2;1} \right)\)
Khi đó \(d’ = F(d)\).
Vì \(d_1\) song song hoặc trùng với \(d\), \(d'\) song song hoặc trùng với \(d_1\) nên \(d'\) song song hoặc trùng với \(d\).
Từ đó phương trình của \(d'\) có dạng \(3x − y + C = 0\)
Lấy \(M(1; 0) ∈ d\). Phép đối xứng tâm \(I\) biến \(M\) thành \(M_1(1; 4)\).
Phép tịnh tiến theo \(\overrightarrow v\) biến \(M_1\) thành \(M’(−1; 5)\). Khi đó \(M’ = F(M)\)
=> \(M’\) thuộc \(d'\).
Thay tọa độ \(M’\) vào \(d'\) ta được \(C = 8\).
Vậy phương trình \(d'\): \(3x − y + 8 = 0\).
2. Hai hình bằng nhau
Định nghĩa
Hai hình được gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến hình này thành hình kia.
Chú ý
Nếu một phép dời hình biến tam giác \(ABC\) thành tam giác \(A'B'C'\) thì nó cũng biến trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp, nối tiếp của tam giác \(ABC\) tương ứng thành trọng tâm, trực tâm, tâm các đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp của tam giác \(A'B'C'\).
